2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項和學(xué)案 新人教A版必修5

1、2.3預(yù)習(xí)課本P4245，思考并完成以下問題 (1)數(shù)列前n項和的定義是什么？通常用什么符號表示？(2)能否根據(jù)首項、末項與項數(shù)求出等差數(shù)列的前n項和？(3)能否根據(jù)首項、公差與項數(shù)求出等差數(shù)列的前n項和？1數(shù)列的前n項和對于數(shù)列an，一般地稱a1a2an為數(shù)列an的前n項和，用Sn表示，即Sna1a2an.2等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式SnSnna1d1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)數(shù)列的前n項和就是指從數(shù)列的第1項a1起，一直到第n項所有項的和()(2)anSnSn1(n2)化簡后關(guān)于n與an的函數(shù)式即為數(shù)列an的通項公式(

2、)(3)在等差數(shù)列an中，當(dāng)項數(shù)m為偶數(shù)2n時，則S偶S奇an1()解析：(1)正確由前n項和的定義可知正確(2)錯誤例如數(shù)列an中，Snn22.當(dāng)n2時，anSnSn1n2(n1)22n1.又a1S13，a1不滿足anSnSn12n1，故命題錯誤(3)錯誤當(dāng)項數(shù)m為偶數(shù)2n時，則S偶S奇nd.答案：(1)(2)(3)2等差數(shù)列an中，a11，d1，則Sn等于()AnBn(n1)Cn(n1) D.解析：選D因為a11，d1，所以Snn1，故選D.3設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1，S420，則S6等于()A16 B24C36 D48解析：選D設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得4a1d20

3、，即4d20，解得d3，S66334548.4在等差數(shù)列an中，S42，S86，則S12_.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，S4，S8S4，S12S8成等差數(shù)列，所以2(S8S4)S4(S12S8)，S123(S8S4)12.答案：12等差數(shù)列的前n項和的有關(guān)計算典例已知等差數(shù)列an(1)a1，a15，Sn5，求d和n；(2)a14，S8172，求a8和d.解(1)a15(151)d，d.又Snna1d5，解得n15或n4(舍)(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和

4、Sn，這五個量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題解題時注意整體代換的思想(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq，常與求和公式Sn結(jié)合使用活學(xué)活用設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，已知a23，a811，則S9等于()A13 B35C49 D63解析：選Dan為等差數(shù)列，a1a9a2a8，S963.已知Sn求問題典例已知數(shù)列an的前n項和Sn2n2n2.(1)求an的通項公式；(2)判斷an是否為等差數(shù)列？解(1)Sn2n2n2，當(dāng)n2時，Sn12(n1)2(n1)22n25n1，anS

5、nSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.又a1S11，不滿足an4n3，數(shù)列an的通項公式是an(2)由(1)知，當(dāng)n2時，an1an4(n1)3(4n3)4，但a2a15164，an不滿足等差數(shù)列的定義，an不是等差數(shù)列(1)已知Sn求an，其方法是anSnSn1(n2)，這里常常因為忽略條件“n2”而出錯(2)在書寫an的通項公式時，務(wù)必驗證n1是否滿足an(n2)的情形如果不滿足，則通項公式只能用an表示活學(xué)活用1已知數(shù)列an的前n項和為Snn2，則()Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1解析：選B當(dāng)n1時，a1S11；n2時，anSnSn1n2(n1)22n1，此

6、時滿足a11.綜上可知an2n1.2已知Sn是數(shù)列an的前n項和，根據(jù)條件求an.(1)Sn2n23n2；(2)Sn3n1.解：(1)當(dāng)n1時，a1S17，當(dāng)n2時，anSnSn1(2n23n2)2(n1)23(n1)24n1，又a17不適合上式，所以an(2)當(dāng)n1時，a1S12，當(dāng)n2時，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1，顯然a1適合上式，所以an23n1(nN*).等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)典例(1)等差數(shù)列前n項的和為30，前2n項的和為100，則它的前3n項的和為()A130 B170C210 D260(2)等差數(shù)列an共有2n1項，所有的奇數(shù)項之和為132，所有的偶數(shù)項之和

7、為120，則n等于_(3)已知an，bn均為等差數(shù)列，其前n項和分別為Sn，Tn，且，則_.解析(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)：Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列所以Sn(S3nS2n)2(S2nSn)，即30(S3n100)2(10030)，解得S3n210.(2)因為等差數(shù)列共有2n1項，所以S奇S偶an1，即132120，解得n10.(3)由等差數(shù)列的性質(zhì)，知.答案(1)C(2)10(3)等差數(shù)列的前n項和常用的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的依次k項之和，Sk，S2kSk，S3kS2k組成公差為k2d的等差數(shù)列(2)數(shù)列an是等差數(shù)列Snan2bn(a，b為常數(shù))數(shù)列為等差數(shù)列(3)若S奇表示奇數(shù)

8、項的和，S偶表示偶數(shù)項的和，公差為d，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶S奇nd，；當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n1時，S奇S偶an，.活學(xué)活用1設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S48，S820，則a11a12a13a14()A18 B17C16 D15解析：選A設(shè)an的公差為d，則a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得d，a11a12a13a14S440d18.2等差數(shù)列an的通項公式是an2n1，其前n項和為Sn，則數(shù)列的前10項和為_解析：因為an2n1，所以a13，所以Snn22n，所以n2，所以是公差為1，首項為3的等差數(shù)列，所以前10項和為310175.答案：75等差數(shù)列的前

9、n項和最值問題典例在等差數(shù)列an中，a125，S17S9，求前n項和Sn的最大值解由S17S9，得2517d259d，解得d2，法一公式法Sn25n(2)(n13)2169.由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)n13時，Sn有最大值169.法二鄰項變號法a1250，由得即12n13.又nN*，當(dāng)n13時，Sn有最大值169.求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值的解題策略(1)將Snna1dn2n配方，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)單調(diào)性來解決(2)鄰項變號法：當(dāng)a10，d0時，滿足的項數(shù)n使Sn取最大值當(dāng)a10時，滿足的項數(shù)n使Sn取最小值活學(xué)活用已知an為等差數(shù)列，若1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當(dāng)S

10、n取得最小正值時，n()A11 B17C19 D21解析：選CSn有最大值，da11，又1，a110a10，a10a110，S2010(a1a20)10(a10a11)0，S19為最小正值故選C.層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1已知數(shù)列an的通項公式為an23n，則an的前n項和Sn等于()An2Bn2C.n2 D.n2解析：選Aan23n，a1231，Snn2.2等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a70，a80，則下列結(jié)論正確的是()AS7S8 BS150 DS150解析：選C由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得，S1313a70，S1515a8a5，則Sn取得最小值時n的值為()A5 B6C7 D8解析：選B由

11、7a55a90，得.又a9a5，所以d0，a10.因為函數(shù)yx2x的圖象的對稱軸為x，取最接近的整數(shù)6，故Sn取得最小值時n的值為6.5設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則等于()A1 B1C2 D.解析：選A1.6若等差數(shù)列an的前n項和為SnAn2Bn，則該數(shù)列的公差為_解析：數(shù)列an的前n項和為SnAn2Bn，所以當(dāng)n2時，anSnSn1An2BnA(n1)2B(n1)2AnBA，當(dāng)n1時滿足，所以d2A.答案：2A7設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sm2，Sm10，Sm23，則m_.解析：因為Sn是等差數(shù)列an的前n項和，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即0，解得m4.答案：48設(shè)項數(shù)為

12、奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項是_，項數(shù)是_解析：設(shè)等差數(shù)列an的項數(shù)為2n1，S奇a1a3a2n1(n1)an1，S偶a2a4a6a2nnan1，所以，解得n3，所以項數(shù)2n17，S奇S偶an1，即a4443311為所求中間項答案：1179已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn1)n1，求數(shù)列an的通項公式解：由已知條件，可得Sn12n1，則Sn2n11.當(dāng)n1時，a1S13，當(dāng)n2時，anSnSn1(2n11)(2n1)2n，又當(dāng)n1時，321，故an10在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項的和，已知a1a322，S545.(1)求an，Sn

13、；(2)設(shè)數(shù)列Sn中最大項為Sk，求k.解：(1)由已知得即所以所以an2n15，Snn214n.(2)由an0可得n7，所以S7最大，k7.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S440，Sn210，Sn4130，則n()A12B14C16 D18解析：選B因為SnSn4anan1an2an380，S4a1a2a3a440，所以4(a1an)120，a1an30，由Sn210，得n14.2在等差數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且S2 011S2 014，SkS2 009，則正整數(shù)k為()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：選C因為等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)

14、于n的二次函數(shù)，所以由二次函數(shù)的對稱性及S2 011S2 014，SkS2 009，可得，解得k2 016.故選C.3已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S10，67a1167(a110d)67a1670d0，即a110.故選A.4已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是()A2 B3C4 D5解析：選D7，當(dāng)n取1,2,3,5,11時，符合條件，符合條件的n的個數(shù)是5.5若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項a10，a203a2040，則使前n項和Sn0a1a4060S4060，又由a10且a203a2040，知a2030，所以公差d0，則數(shù)列an的前203項都是負(fù)數(shù)，那么2a203a1a4050，所以S4050，所以使前n項和Sn0，前n項和為Sn，且a2a345