2018年高考數(shù)學一輪復習 第八章 立體幾何 8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學案 理

1、8.3空間點、線、面之間的位置關(guān)系1.理解空間直線與平面位置關(guān)系的定義。2.理解可以用作推理基礎的公理和定理。3.我們可以用公理、定理和所得結(jié)論來證明一些關(guān)于空間圖形位置關(guān)系的簡單命題。試驗場1平面的基本特性和應用平面的基本性質(zhì)(1)公理1:如果直線上的_ _ _ _ _ _ _ _ _在一個平面上，那么直線就在這個平面上。(2)公理2:只有一個平面通過_ _ _ _ _ _ _ _的三個點。(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有并且只有一條通過該點的公共線。(4)公理2的三個推論推論1:只有一個平面穿過一條直線和這條直線外的一個點；推論2:只有一個平面通過兩條_ _ _

2、_ _ _ _ _直線；推論3:只有一個平面穿過兩條_ _ _ _ _ _ _ _線?；卮穑?1)兩點(2)不在一條直線上(3)一(4)交叉和平行(1)課本習題改編直線甲、乙、丙平行，但不共面。穿過兩條直線的平面數(shù)是()A.1 B.3C.6 D.0答：乙(2)課本練習適應 _ _ _ _ _平面可以由每兩條相交的三條直線確定?；卮穑?判斷點的共線性和共線：直接方法(直接應用公理或定理)。(1)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD為直角梯形，BC=AD=FAb=90，BC=AD，be=fa，g和h分別為fa和FD的中點。(1)四邊形BCHG的形狀是_ _ _ _ _ _ _ _；c、d、e、f、g

3、點中，共面的四個點是_ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑浩叫兴倪呅蜟，D，E，F(xiàn)分析表明：G、h分別是前場和前場的中點，GH 廣告。公元前，所以公元前，因此，四邊形BCHG是一個平行四邊形。從be=FA的中點開始，g為FA，be=fg，因此，四邊形BEFG是一個平行四邊形，所以EFBG。根據(jù)(1)，BGCH，所以EFCH，所以EF和CH共面。和DFH，所以c，D，e和f共面。(2)在立方體ABCD-A1B1C1D1中，對角A1C和平面BDC1在點o相交，交流和平面BDC在點m相交，因此點o和直線C1M之間的關(guān)系是_ _ _ _ _ _。答：點0在直線C1M上分析：如圖所示，因為A1C平面

4、A1ACC1，OA1C，所以O平面A1ACC1，并且O是平面BDC1和直線A1C的交點，所以O平面BDC1，所以點O在平面BDC1和平面A1ACC1的交點上。因為交流BD=m，所以M。標題1 (1)在以下四個命題中，正確命題的數(shù)目是()(1)在四個非共面點中，任意三個點不共線；如果點a、b、c和d共面，那么點a、b、c、d和e共面；如果線甲和線乙共面，線甲和線丙共面，那么線乙和線丙共面；依次首尾相連的四條線段必須共面。A.0 B.1C.2 D.3回答乙解析顯然是正確的，可以用反證的方法證明；如果甲、乙、丙共線，那么甲、乙、丙、丁、戊不一定共面；長方體的結(jié)構(gòu)如圖所示，顯然B和C是不同的平面，所以

5、不正確；中間空間四邊形中的四條線段不共面，因此只有是正確的。(2)給定空間四邊形ABCD(如圖所示)，E和F分別是AB和AD的中點，G和H分別是BC和CD上的點，CG=BC和CH=DC。驗證：E、F、G和H共面；三條直線FH、EG和AC共用一個點。證明 連接EF、GH、e和f分別是AB和AD的中點。EFBD.和CG=BC，ch=DC，GHBD,EFGH，E、f、g和h共面。很容易知道FH不平行于直線AC，而是共面的。讓FHAC=m，M飛機EFHG，M飛機ABC。和飛機efhg飛機ABC=eg，MEG，F(xiàn)H，如AC共同點。共面、共線和公共點問題的證明(1)證明點或線共面的兩種方法：在給定條件下，

6、一個平面由一些線(或點)決定，然后證明其他線(或點)在這個平面上；將所有條件分成兩部分，然后分別確定平面，然后證明兩個平面重合。(2)證明點的共線性的兩種方法：首先從兩點確定一條直線，然后證明所有其他點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定的直線上。(3)證明直線公共點問題的常用方法：首先證明兩條直線在一點相交，然后證明其他直線通過該點。測試場地2空間中兩條直線之間的位置關(guān)系(1)教材練習改編眾所周知，直線甲和直線乙是平行的，直線丙和直線乙相交，所以直線甲和直線丙之間的位置關(guān)系是_ _ _ _ _ _。答案：交集還是相異分析：當直線C在直線A和B確定的平面內(nèi)時，A和C相交；當C線與A線和

7、B線定義的平面相交時，A線和C線在平面之外。(2)課本練習改編如圖所示，在立方體ABCD-A1B1C1D1中，PQ是不同平面上的直線A1D和AQ的公共垂線，所以直線PQ和BD1的位置關(guān)系是_ _ _ _ _ _ _ _(填入序號)(1)平行；不同的面孔；相交但不垂直；垂直?；卮穑航馕觯篴1db1c，pqb1c. pqa1d和pqpqac的AB1C飛機。ACBD,ACDD1,ACBD1，同樣，bd1b1cbd1飛機AB1C，PQBD1.判斷兩條直線之間關(guān)系的錯誤：對非平面直線的概念，了解甚少。下列關(guān)于不同平面上的直線的陳述是正確的。(1)如果a ，b ，那么a和b是面外直線；如果甲和乙不同，乙和

8、丙不同，那么甲和丙就不同；如果A和B在平面上不同，那么A和B在平面外；如果甲和乙在任何一個平面上不同，那么甲和乙就在平面外?；卮穑悍治觯?中的兩條直線可能平行、相交或在平面外。從平面外直線的定義來看，是正確的?！究键c】判斷空間中兩條直線的位置關(guān)系是每年高考的內(nèi)容，經(jīng)常被作為一個選項來考查，其中不同平面上的直線和平行關(guān)系是考查的重點。主要有以下主張：角度一兩條直線之間位置關(guān)系的判斷標題2 (1)已知A、B和C是三條不重合的直線，并已知以下結(jié)論：(1)如果ab和ac，那么bc；如果ab，ac，那么bc；如果ab，bc，那么a C .正確的數(shù)字是()A.0 B.1C.2 D.3回答乙【解析】解1:在

9、空間中，如果ab和ac，那么b和c可能平行，相交，或者在平面外，所以 是錯誤的，顯然是正確的。解決方案2:構(gòu)建長方體或正方體模型可以快速判斷， 是錯的，是對的。(2) 2017浙江余姚模擬如圖所示，在立方體ABCD-A1B1C1D1中，m和n分別是BC1和CD1的中點，那么下面的說法是錯誤的()A.錳垂直于CC1B.錳垂直于交流電C.錳與硼平行D.Mn與A1B1平行答案 D【解析】如圖所示，連接C1D，在C1DB中，MNBD，所以c是正確的；CC1飛機ABCD，BD飛機ABCD，CC1BD，MN垂直于CC1，所以a是正確的；ACBD,MNBD，MN垂直于交流，所以b是正確的；A1B1不同于BD

10、，MNBD，MN和A1B1不能平行，所以d是錯的。因此，選擇d。借助立方體模型，以立方體為主線，可以直觀地感知和理解點、線、面之間的位置關(guān)系，從而準確地確定線是平行的、垂直的、平行的、垂直的、平行的、垂直的。角度2非平面直線的判定標題3 (1)在下圖中，G、N、M和H是正三棱柱的頂點或邊的中點，這意味著直線GH和MN是非平面直線。(填寫所有正確答案的序列號) 答案 分析在圖1中，直線GHMn；在圖2中，G、H和N是共面的，但M是GHN平面，所以直線GH與MN在同一平面之外；在圖3中，MG和GMHN相連，因此GH和MN共面；在圖中，g、m和n共面，但是h平面GMN，所以GH和MN不共面。因此，在

11、圖 中，GH和MN不共面。(2)如果圖形是立方體表面上的展開圖，則原始立方體中四條線段AB、CD、EF和GH的對數(shù)是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 3【分析】應注意平面圖形折疊前后的相對位置變化，因此AB、CD、EF和GH在原立方體中，顯然AB和CD、EF和GH、AB和GH在不同平面上是直線，AB和EF相交，CD和GH相交，CD和EF平行。因此，在不同的平面上只有三對直線。反證法是判斷非平面直線的常用方法。首先，假設兩條直線不是非平面直線，即兩條直線平行或相交。從假設條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，推導出矛盾，從而否定了假設，肯定了兩條直線是非平面的。這種方法常用于

12、判斷非平面直線。測試點3不同表面上直線形成的角度標題4如圖所示，在底面為正方形且側(cè)邊垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2ab=2，則面外直線A1B和AD1形成的角度的余弦為()A.B.C.D.答案 D【解析】連接BC1，容易證明BC1AD1、那么A1BC1是由直線A1B和AD1形成的角度。連接A1C1由ab=1可知。AA1=2，A1C1=，A1B=BC1=，因此，cosa1b C1=。那么直線A1B和AD1之間的夾角的余弦為。主題分歧1將詞干條件“aA1=2ab=2”更改為“ab=1”。如果在平面ABCD中只有一個點到頂點a1的距離為1”的點，則問題保持不變。解決方案：因

13、為在平面ABCD中只有一個點與A1的距離為1，那么AA1=1。此時，正四棱柱變成立方體ABCD-A1B1C1D1，從圖中可以看出，A1B和AD1形成的角度A1BC1，連接A1C1。那么A1BC1是等邊三角形，A1BC1=60，cosA1BC1=，因此，直線A1B和AD1之間的夾角的余弦為。主題散度2將主干條件“AA1=2ab=2”更改為“AB=1，如果由直線A1B和AD1形成的角度的余弦為”，嘗試找到該值。解決方案：讓=t，然后AA1=tAB。AB=1,AA1=t.* A1C 1=，A1B=BC1，cosA1BC1=， t=3，也就是說=3。主題分歧3如果主干條件“aA1=2AB=2”被更改為

14、“AB=1，并且在平面ABCD中只有一個點到頂點A1的距離為1”，是否有一條直線l穿過頂點a，使得l與邊ab、AD和aA1形成的角度相等？如果有，有多少條線？如果不存在，請說明原因。解決方法：根據(jù)條件，正四棱柱是立方體。如圖所示，連接對角線AC1、顯然，AC1和邊AB、AD、AA1形成的角度都相等，這與其他立方體的對角線相關(guān)。如果BD1是連通的，那么BD1與邊BC、BA和BB1形成的角度是相等的，因為BB1AA1、BCAD，因此，由主體對角線BD1和邊緣AB、AD和AA1形成的角度相等。同樣，由對角線A1C和DB1以及邊AB、AD和AA1形成的角度相等，因此對于BD1、A1C和DB1，通過a的

15、平行線都滿足，因此可以形成四條這樣的直線?！净癁榻稹坑闷揭品▽ふ也煌矫嬷本€形成的角度的三個步驟(1)第一項工作：根據(jù)定義，在不同的平面上畫平行線和由直線構(gòu)成的角；(2)兩個證明：即證明所成的角是不同平面上直線形成的角；(3)三尋：解三角形并找出角度。如果角度是銳角或直角，它就是所需的角度；如果得到的角度是鈍角，它的余角就是所需的角度。在已知的三棱錐中，a-AB=CD，AB=CD，直線AB和CD形成的角度為60，點m和n分別是BC和AD的中點。找出直線ab和MN形成的角度。解決方案：解決方案1:如圖所示，取交流中點p，連接永磁體、永磁體、那么PMAB，pm=ab，PNCD，pn=CD，因此，

16、MPN(或其余角)是AB和CD形成的角度。那么MPN=60或MPN=120。如果MPN=60，因為PMAB，因此，PMN(或其余角)是AB和MN形成的角度。因為ab=CD，pm=pn，PMN是一個等邊三角形，所以PMN=60，也就是說，AB和MN之間的角度是60。如果MPN=120，PMN是一個等腰三角形，這很容易知道。所以PMN=30，也就是說，AB和MN之間的角度是30?？偠灾?，直線AB和MN形成的角度是60或30。解決方案2:當ab=CD時，可以將三棱錐放在長方體AA1BB1-C1CD1D中考慮，如圖所示。M因此，直線AB和MN形成的角度是60或30。方法和技巧 1。為了證明“線是共面

17、的”或“點是共面的”，一個平面可以先由一些線或點確定，然后其他的線或點也在這個平面上(即“包含法”)。2.為了證明“點是共線的”，一條線可以被視為兩個平面的交點，只要證明這些點是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3，這些點是共線的，因為它們在交點上。3.判斷空間中兩條直線是否為平面外直線的方法(1)判定定理：平面外的點a和平面內(nèi)的點b之間的連線與平面內(nèi)不通過點b的直線是不同平面內(nèi)的直線。(2)反證：證明兩條直線不能平行或相交，或者兩條直線不能共面，從而可以發(fā)現(xiàn)兩條直線在平面之外。4.求兩條非平面直線所成角度的一般方法是通過平行移動直線將非平面問題轉(zhuǎn)化為共面問題。根據(jù)空間等角定理和推論，可以知道非平面直線形成的角度與頂點位置無關(guān)。易