2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系學案 新人教A版選修2-1

1、1.1.2四個命題1.1.3四個命題之間的關(guān)系1.理解原命題、逆命題、無命題和逆無命題的概念。2.可以找到逆命題、無命題和逆無命題的一般命題。(重點和難點)3.掌握四個命題的形式以及四個命題之間的相互關(guān)系。(易混淆的點)基礎探索教材編排1四個命題的概念和結(jié)構(gòu)閱讀課本P4 P5，完成下列問題。1.四個命題的概念一般來說，對于兩個命題，(1)如果一個命題的條件和結(jié)論是另一個命題的結(jié)論和條件，那么我們稱這兩個命題為_ _ _ _ _ _ _ _ _。其中一個叫做原始命題，另一個叫做原始命題。(2)如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件和結(jié)論的否定，那么我們稱這兩個命題為相互否定。如果其中一個

2、叫做原始命題，另一個叫做原始命題。(3)如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是對原命題的否定。答案 (1)逆命題逆命題(2)否定命題(3)結(jié)論條件是反還是非反的命題2.四個命題的結(jié)構(gòu)形式回答如果q，那么p如果 P，那么q如果q，那么p。判斷(正確鍵入“”和“錯誤鍵入”)(1)命題“如果p，那么q”的否定命題是“如果p，那么q”。()(2)如果原始命題的條件和結(jié)論同時被否定，那么獲得的命題是命題嗎？()(3)如果AB=A，那么A B=B，逆命題是“如果ABB，那么ABA”回答 (1) (2) (3)。教材編排2四個命題之間的關(guān)系閱讀課本P7，完成下列問題。1.四個命題之間的關(guān)系2.四個命題的真假關(guān)系(1

3、)這兩個命題是相反的或否定的，它們是_ _ _ _ _ _ _ _真或假；(2)兩個命題是逆命題或負命題，其真實性為_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答 (1)一樣(2)沒關(guān)系以下四個命題：“如果xy=0，則x=0，y=0”的反命題；沒有“正方形是長方形”的命題；“如果ac2bc2，那么ab”的逆命題；如果m2，則不等式x2-2x m0。真實命題的數(shù)量是()A.0 B.1C.2D.3【分析】命題1的逆命題是“如果x0，或者y0，那么xy0”，這是一個假命題；命題2的否定命題是“如果一個四邊形不是正方形，那么它就不是一個矩形”，這是一個錯誤的命題；命題3的逆命題是“如果ab，那么ac2bc2

4、”，這是一個假命題；命題是一個真實的命題。當m2時，方程x2-2x m=0的判別式 0對應于向上開口且與X軸不相交的二次函數(shù)圖像，因此函數(shù)值總是大于0?；卮鹨倚〗M合作類型四個命題的概念將下列命題改寫成“如果P，那么Q”的形式，并寫出它們的逆命題、無命題和逆無命題。(1)相似三角形的對應角度相等；(2)當x3、x2-4x 30；(3)正方形的對角線是等分的。TutorialNo。根據(jù)四個命題的定義。自治解 (1)原始命題：如果兩個三角形相似，這兩個三角形的三個角對應相等；反命題：如果兩個三角形的三個角相等，那么兩個三角形是相似的；沒有命題：如果兩個三角形不相似，這兩個三角形的三個角就不相等；反命

5、題：如果兩個三角形的三個角不相等，那么這兩個三角形就不相似。(2)原始命題：如果x3，那么x2-4x 30；反命題：如果x2-4x 30，那么x3；無命題：如果x3，那么x2-4x 30；逆無命題：如果x2-4x 3 0，那么x3。(3)原始命題：如果一個四邊形是正方形，它的對角線是等分的；反命題：如果一個四邊形對角線相等，它就是一個正方形；沒有命題：如果一個四邊形不是正方形，它的對角線不是等分的；逆無命題：如果一個四邊形的對角線不是等分的，它就不是正方形。四個命題的寫作(1)從原命題寫出另外三個命題，關(guān)鍵是要區(qū)分原命題的條件和結(jié)論，交換它們以獲得逆命題，同時否定它們以獲得否定命題，同時否定它

6、們。(2)如果原始命題包含主要前提，當寫原始命題的逆命題、否定命題和逆否定命題時，必須注意每個命題中的主要前提保持不變。再練習一個問題1.命題“如果y=kx，那么x和y成正比”的否定命題是()A.如果ykx，x和y成正比B.如果ykx，x與y成反比。C.如果x與y不成比例，那么ykxD.如果ykx，x和y不成正比答案 D四個命題真實性的判斷判斷以下四個命題是真是假，并解釋原因。(1)“如果x y=0，那么x和y是相反的數(shù)字”；(2)反否定命題“如果xy，那么x2 y2”；(3)“如果x3，則x2-x-60”；(4)“等頂角”的逆命題。TutorialNo。【妙語連珠】根據(jù)問題的含義寫一個命題來

7、判斷，證明正確的命題，對錯誤的命題只舉反例，或者應用彼此相反的命題來進行相同的真假判斷。獨立解 (1)“如果X和Y=0，那么X和Y是反數(shù)”命題的逆命題是“如果X和Y是反數(shù)，那么X和Y=0”，那么逆命題是真的。因為逆命題和原命題的否定命題具有相同的真與假，“如果X Y=0，那么X，(2)讓x=1，y=-2，滿足xy，但x2y，那么x2y2”是一個假命題，因為原命題與其反否定命題具有相同的真與假，所以“如果xy，那么x2y2”的反否定命題也是一個假命題。(3)如果這個命題的否定命題是“如果x3，那么X2-X-6 0”，讓X=4并且滿足x3，但是X2-X-6=60不滿足X2-X-6 0，那么這個否定

8、命題是假的。(4)這個命題的逆命題是“等角是相對的頂點”是一個假命題，例如，等邊三角形的任意兩個內(nèi)角是相等的，但它們不是相對的頂點。判斷一個命題是真是假的方法(1)解決這些問題的關(guān)鍵是牢記四個命題的概念，并正確寫出命題。判斷為真的命題需要簡單的證明，判斷為假的命題需要引用反例加以驗證。(2)原命題及其逆命題為真與假，原命題的逆命題及其逆命題為真與假，因此只能判斷其中之一。再練習一個問題2.對于原來的命題：“A，B，cR是已知的，如果ab，那么ac2bc2”，及其逆命題，無命題和逆無命題，在這四個命題中，真命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.4分析當C=0時，ac2bc2無效，所以原命題

9、是假命題，所以它的逆命題也是假命題；原命題的逆命題是“如果ac2bc2，那么ab”是真命題，所以負命題也是真命題，所以c .答案 C調(diào)查研究類型等價命題的應用探索已知命題“如果M-12，那么M2 N2 2”，并證明下面否定命題的正確性。因為m2 N2 2mn，因此，2 (m2 N2) m2 N2 2mn=(m n) 2，即m2+n2(m+n)2，因為N2先生，因此，m2 N2 (m n) 222=2，即m2 n22，所以m2 N2 2。因此，原命題的逆命題是真命題，所以原命題也是真命題。命題：對于任何xR，如果ax2-2ax-3 0不為真，則為真命題，即實數(shù)a的值域.【妙點】由于原命題及其逆否

10、定命題具有相同的真與假，即逆否定命題具有等價性，當我們難以直接證明某個命題為真命題時，可以通過證明其逆否定命題為真命題來間接證明原命題為真命題。自主解決方案因為命題“不適用于任何xR，ax2-2ax-3 0”相當于“對于任何xR，ax2-2ax-3 0”，如果A=0，-3 0成立，那么A=0符合問題的含義。讓f (x)=ax2-2ax-3，當a 0時，圖像開始quSo-3 a 0?？偠灾琣的范圍是-3 a 0。1.在求解這個問題時，我們首先利用等價變換的思想，將無效的問題轉(zhuǎn)化為總是有效的問題，即當任意xR，ax2-2ax-3 0時，求a的范圍。在解決問題的過程中，我們也運用了分類討論的思想

11、。2.如果一個命題的條件或結(jié)論含有否定詞，就很難直接判斷該命題的真值，而真值可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆命題。再練習一個問題3.如果關(guān)于X的不等式x2 (2a 1) x a2 2 0的解集不是一個空集，則判斷“a1”的逆命題是真還是假。TutorialNo。解法方法1:原命題的逆命題：假設a和x是實數(shù)，如果a 1，則關(guān)于x的不等式x2 (2a 1) x a2 2 0的解集是一個空集。真假判斷如下：因為拋物線y=x2 (2a 1) x a2 2的圖像開口是向上的，判別式=(2a 1) 2-4 (a2 2)=4a-7，如果a 1，則4a-7 0。也就是說，拋物線y=x2 (2a 1) x a2 2的圖像與x

12、軸沒有交點。因此，關(guān)于x的不等式x2 (2a 1) x a2 2 0的解集是空的。因此，對原始命題的逆否定才是真正的命題。方法2:首先判斷原命題是真還是假。因為a和x是實數(shù)，關(guān)于x的不等式x2 (2a 1) x a2 2 0的解集不是一個空集，所以=(2a 1) 2-4 (a2 2) 0，即4a-7 0，解是a0，所以a1。因此，最初的主張是正確的。因為原始命題等價于它的逆否定命題，所以逆否定命題是真的。1.“如果aa，那么bB”命題的逆命題是()A.如果是aa，那就是bBB.如果aA，那么bbC.如果bB，那么aAD.如果是bb，那么是aa【解析】反命題“如果p，那么q”是“如果q，那么p”

13、，所以本課題的反命題是“如果bB，那么aa”。答案 C2.已知命題：“如果x0，y0，那么xy0”，在原命題、逆命題、無命題和逆無命題中，真命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3D.4【分析】從問題的含義可以判斷，原來的命題是真命題，所以反命題是“如果xy0，那么x0，y0”，這是一個假命題，所以無命題也是一個假命題，所以四個命題中真命題的個數(shù)是2?；卮鹨?.命題“如果m 1，那么mx2-2x 1=0沒有實根”的等價命題是_ _ _ _ _ _ _ _?！痉治觥吭}的等價命題是它的逆否定命題，從定義上可以知道：“若mx2-2x 1=0有實根，則m1”。答案如果mx2-2x 1=0有一個實根，那么m14.眾所周知，函數(shù)f(x)是(-，)，a，bR上的增函數(shù)，命題“如果a b 0，則f (a) f (b) f (-a)