2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 命題學(xué)案 新人教A版選修2-1

1、1.1.1生活問題學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 .理解命題的概念；2.判斷命題是真還是假；3.理解命題的構(gòu)成，將命題改寫成“如果P，那么Q”的形式。知識(shí)點(diǎn)命題的概念思維1在初中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了命題的定義。它的內(nèi)容是什么？對(duì)事物做出正確或錯(cuò)誤判斷的句子叫做命題。思維2根據(jù)以上命題的定義，判斷下列哪些陳述是命題，哪些不是命題。(1)三角形外角之和為360 ;連接點(diǎn)甲和點(diǎn)乙；計(jì)算3-2的值；通過點(diǎn)a作為直線l的垂線；在三角形中，大邊必須相對(duì)的角度也大嗎？根據(jù)命題的定義，只有是一個(gè)命題，其他的陳述不是命題。梳理(1)命題的概念：在數(shù)學(xué)中，我們稱用語言、符號(hào)或公式表達(dá)的陳述句為判斷句。(2)命題的定義有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：“我

2、們可以判斷它是真是假”和“陳述句”。我們所研究的定理和推論都是命題。(3)分類命題兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)命題的結(jié)構(gòu)思考1在初中學(xué)習(xí)命題定義的基礎(chǔ)上，你還知道什么關(guān)于命題的知識(shí)？答案命題由兩部分組成：假設(shè)和結(jié)論。假設(shè)是已知的物質(zhì)，結(jié)論是從已知物質(zhì)推導(dǎo)出來的物質(zhì)。這個(gè)命題通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?，接著是假設(shè)，然后是結(jié)論。思考2完成下列問題：(1)“等角的余角相等”命題：該命題為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(2)“實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)的”命題可以改為“如果”?；卮?1)等角的余角相等(2)一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，它的平方是非負(fù)數(shù)。梳理(1)命題的一般形式是“如果p，那么q”，其中p稱為命

3、題的條件，q稱為命題的結(jié)論。(2)當(dāng)確定一個(gè)命題的條件和結(jié)論時(shí)，該命題經(jīng)常被改寫為“如果P，那么Q”。第一類命題的判斷例1 (1)下面的陳述是一個(gè)命題()A.x-1=0 B.2+3=8C.你會(huì)說英語嗎？這是一棵大樹(2)下列陳述是帶有_ _ _ _ _ _的命題。(1)一個(gè)數(shù)是正的或負(fù)的；(2)梯形是平面圖形嗎？22 015是一個(gè)大數(shù)字；4是集合2，3，4中的一個(gè)元素；制作ABCabc。回答(1)B (2)分析(1)A中的X是不確定的，不能判斷X-1=0的真值；B中的2 3=8是一個(gè)命題和一個(gè)假命題；c不是陳述句，所以它不是命題；D中“大”的標(biāo)準(zhǔn)是不確定的，不可能判斷它是真是假。(2) (1)

4、它是一個(gè)陳述句，可以判斷它是真是假；2不是陳述句；3不能判斷它是真是假；4是陳述句，可以判斷它是真是假；不是陳述句。反思和感知是判斷一個(gè)陳述是否是命題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)一般來說，陳述句是命題，而祈使句、疑問句和感嘆句不是命題。(2)語句的結(jié)構(gòu)可以判斷它是真還是假，意義是模糊的。不能判斷其真假的陳述不是命題。(3)對(duì)于包含變量的語句，我們應(yīng)該注意變量的取值范圍，看能否判斷它是真還是假。如果是這樣，這是一個(gè)命題；否則，它就不是一個(gè)命題。跟蹤培訓(xùn)1給出了以下陳述，其中_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _不是一個(gè)命題。(1)是無限循環(huán)小數(shù)；x2-3x+2=0；當(dāng)x=4，2x0；兩條垂直于同一條直

5、線的直線一定平行嗎？一個(gè)數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)；2030年6月1日上海將會(huì)下雨?；卮?解析 不是一個(gè)命題，因?yàn)檫@個(gè)陳述不能判斷它是對(duì)還是錯(cuò)；是一個(gè)問題，所以不是一個(gè)命題。第二類命題的真假判斷例2給出了以下命題：(1)如果ab，2a2b；2“如果甲和乙是無理數(shù)，那么甲和乙是無理數(shù)”的命題是真命題；直線x=是函數(shù)y=sin x的對(duì)稱軸；在ABC中，1.在這個(gè)例子中，命題變成：如果0，ABC是一個(gè)銳角三角形，這個(gè)命題成立嗎？解決方案不是一個(gè)真正的命題。0只能表明B是銳角，其他兩個(gè)角度不確定。只有當(dāng)三個(gè)角都是銳角時(shí)，這個(gè)三角形才能被判斷為銳角三角形。2.本例中的命題改為：如果=0，ABC為三角形。答案是正

6、確的解析結(jié)果是從=0b=90，所以三角形是直角三角形。一個(gè)命題的內(nèi)省和理解不是對(duì)就是錯(cuò)，它必須是其中之一。要判斷一個(gè)命題為真，我們需要證明，而要判斷一個(gè)命題為假，我們只需要舉一個(gè)反例。跟蹤培訓(xùn)2下列命題中的錯(cuò)誤命題數(shù)為()(1)多邊形的外角與邊數(shù)有關(guān)；如果數(shù)量積AB=0，則向量A=0或B=0；二次方程a2x2 2x-1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根；如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b中為零，則f(a)f(b)0。a1 b . 2 c . 3d . 4答案三因?yàn)?4 4a20，是正確的，而 是錯(cuò)誤的，所以可以引用反例。第三類命題的結(jié)構(gòu)形式解讀例3以“如果P，那么Q”的形式寫出下列命題。(1)最后一位是0或5的整

7、數(shù)，可以被5整除；(2)方程x2-x 1=0有兩個(gè)實(shí)根。解(1)如果一個(gè)整數(shù)的最后一位是0或5，這個(gè)數(shù)可以被5整除。(2)如果一個(gè)方程是x2-x 1=0，那么它有兩個(gè)實(shí)根。把命題改寫成“如果p，那么q”形式的關(guān)鍵是找到條件“p”和結(jié)論“q”。在一些命題的陳述中，條件和結(jié)論不是很清楚，但是我們可以把它們改寫成清楚的條件和結(jié)論的形式，這就要求我們區(qū)分一個(gè)命題的條件和結(jié)論是什么。追蹤訓(xùn)練3將下列命題改寫成“如果p，那么q”的形式，并判斷它們是對(duì)還是錯(cuò)。(1)正n多邊形(n3)的n個(gè)內(nèi)角都相等；(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；(3)已知x和y是正整數(shù)。當(dāng)y=x-5，y=-3，x=2時(shí)。解(1)如果一個(gè)多邊形是

8、正N邊，那么正N邊的N個(gè)內(nèi)角都相等，這是一個(gè)真正的命題。(2)如果一個(gè)數(shù)是負(fù)的，這個(gè)數(shù)的立方就是負(fù)的，這是一個(gè)真正的命題。(3)已知x和y是正整數(shù)。如果y=x-5，那么y=-3，x=2。這是一個(gè)錯(cuò)誤的提議。1.“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行的”這個(gè)命題是以()為條件的A.兩架飛機(jī)B.直線C.垂直的D.兩個(gè)平面垂直于同一條直線答案D由分析給出的命題可以改為“如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么它們就互相平行”，所以d .2.下列命題是真實(shí)命題()A.如果是ab，那么B.如果B2=交流電，那么甲、乙、丙就成了幾何級(jí)數(shù)C.如果|x|b和ab0，得到；選項(xiàng)b，使a=b=c=0，這顯然不是幾何級(jí)數(shù)；選

9、項(xiàng)d，如果a=B0，結(jié)論顯然是無效的，所以選擇c .3.“關(guān)于X，方程AX2 2x 1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解”的命題成立，那么實(shí)數(shù)A的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案是(-，0)(0，1)根據(jù)主題進(jìn)行分析和了解因此，a的取值范圍是(-，0)(0，1)。4.“函數(shù)y=log2 (x2-MX 4)的值域?yàn)镽”的命題成立，那么實(shí)數(shù)m的值域?yàn)開 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案是(-，-4；4，)根據(jù)問題的含義，當(dāng)條件滿足時(shí)，要求方程x2-MX 4=0的判別式 0，即，(-m) 2-44 0，解為m4或m4。5.命題：3Mx2 MX 1

10、0是一個(gè)真命題，它是現(xiàn)實(shí)數(shù)m的值域.“3Mx2 MX 10”的解決方案是一個(gè)真實(shí)的命題，需要分類討論。當(dāng)m=0時(shí)，10是常數(shù)，所以m=0滿足這個(gè)問題；當(dāng)m0和=m2-12m0時(shí)，也就是說，00被建立，所以00D.梯形是平面圖形嗎？回答乙2.下列命題中的假命題是()A.如果ab=0 (a 0，b0)，則abB.如果| a |=| b |，則a=bC.如果ac2bc2，則abD.53回答乙當(dāng)| a |=| b |成立時(shí)，a和b不一定相等，所以選項(xiàng)b是錯(cuò)誤的。3.已知、和是三個(gè)不同的平面，命題“， ”是正確的。如果、和中的任意兩個(gè)被直線代替，那么真正的命題是()A.0 B.1 C.2 D.3答案三當(dāng)

11、和變?yōu)橹本€a和b時(shí)，命題可改寫為“ab，A B ”。從直線垂直于平面的判斷定理來看，這個(gè)命題是正確的。當(dāng)和被直線a和b代替時(shí)，命題可以改寫為“a，A BB ”，從而判斷直線與平面之間的位置關(guān)系，這顯然是錯(cuò)誤的；如果用直線a和b代替和，命題可以改寫為“a，B A B”，這顯然是成立的。4.如果下面的命題是真的，那就是()A.如果ab=0，a2 B2=0B.if ab，acbcC.如果MN=M，那么MN=MD.如果Mn，那么mn=m答案D在分析A中，當(dāng)A=0而b0時(shí)，A2 B2=0無效。在b中，c0無效；在c語言中，mn=m表示Mn，所以a、b和c都是錯(cuò)的。5.眾所周知，a和b是兩條不同的直線，和

12、是兩個(gè)不同的平面，而a，b，那么下列命題中的假命題就是()A.如果ab，那么B.如果 ，那么A B。C.如果a和b相交，那么和相交D.如果和相交，那么A和B相交答案D如果和在解析D中相交，A和B可以相交或在平面外。6.對(duì)于任何平面向量A，B，下面的關(guān)系是()A.| ab | a | | b | b . | a-b | a |-| b | |C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2回答乙解析地說，讓向量A和B之間的角度為，因?yàn)锳B=| A | | B |陪，| AB |=| A | | B | |陪 | | A | | B |，A成立；根據(jù)向量的算術(shù)定律，很容易知道C

13、和D成立，所以b .7.“AX2-2AX 30總是成立的”命題是一個(gè)假命題，所以實(shí)數(shù)A的取值范圍是()a0或a3 B.a0或a3C.a0或a3 D.00是一個(gè)真實(shí)的命題。當(dāng)A=0時(shí)，30符合問題的含義。當(dāng)a0，a0和 0，且解為00。因此，當(dāng)a0或a3時(shí)，命題AX2-2ax 30為假命題。8.眾所周知，命題“直線L與平面有一個(gè)公共點(diǎn)”是一個(gè)真實(shí)的命題，所以下面的命題：(1)直線l上的所有點(diǎn)都在平面中；直線L上的某些點(diǎn)不在平面內(nèi)；平面上的任何直線都不平行于直線L1 .真實(shí)命題的數(shù)量是()a3 b . 2 c . 1d . 0答案D解析直線l與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l與平面相交或直線l在平面內(nèi)，

14、所以可以判斷 是假命題，所以d .第二，填空9.“函數(shù)Y=2x 1是遞增函數(shù)”的命題是以_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _為條件的。答案函數(shù)是y=2x 1，這是遞增函數(shù)10.以下主張：(1)面積相等的三角形是全等三角形；如果xy=0，| x | | y |=0；如果ab，ac2bc2；矩形的對(duì)角線相互垂直。虛假命題的數(shù)量是_ _ _ _ _ _ _ _?；卮?解析等底等高的三角形是等面積的三角形，但不一定全等；當(dāng)x和y之一為零而另一個(gè)不為零時(shí)，| x | | y |0；C=0時(shí)不成立；矩形的對(duì)角線不一定垂直。11.如果函數(shù)f (x)=

15、| 2x-2 |-b有兩個(gè)零，實(shí)數(shù)b的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(0，2)解析函數(shù)f (x)=| 2x-2 |-b有兩個(gè)零，相當(dāng)于函數(shù)y=| 2x-2 |，圖像y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。函數(shù)y=| 2x-2 |和y=b的圖像是在同一坐標(biāo)系中生成的，如圖所示。從圖中可以看出b(0，2)。第三，回答問題12.將下列命題改寫成“如果p，那么q”的形式，并判斷這些命題是真還是假。(1)當(dāng)acbc，ab；(2)當(dāng)m，mx2-x 1=0時(shí)沒有實(shí)根；(3)當(dāng)ab=0時(shí)，a=0或b=0。解決方案(1)如果是acbc，則為ab。* acbc，c0，a，mx2-x 1=0沒有實(shí)數(shù)根。=1-4m 0，這個(gè)命題是真的。(3)如果ab=0，那么a=0或b=0，命題為真。13.(1)已知“方程AX2 BX 1=0有解”是一個(gè)真命題，并得到了A和B滿足的條件；(2)假設(shè)命題“如果x1”是一個(gè)假命題，找出A滿足的條件。(1)因?yàn)閍x2 bx 1=0有解。因此，當(dāng)a=0時(shí)，bx 1=0有解，并且只有當(dāng)b0時(shí)，這個(gè)方程有一個(gè)解x=-。當(dāng)a0時(shí)，方程是二次方程。如果=B2-4a 0，則有一個(gè)解。綜上所述，當(dāng)a=0，b0或a0時(shí)，B2-4a 0，方程ax2 bx 1=0有一個(gè)解