2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 解直角三角形章末分層突破學(xué)案 新人教B版必修5

1、第一章 解直角三角形自我校對(duì)已知兩角和其中一邊c2a2b22abcos C已知三邊Sacsin B 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三個(gè)獨(dú)立元素(至少一條邊)求出其他元素的過程.三角形中的元素有基本元素(邊和角)和非基本元素(中線、高、角平分線、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑)，解三角形通常是指求未知的元素，有時(shí)也求三角形的面積.解斜三角形共包括四種類型：(1)已知三角形的兩角和一邊(一般先用內(nèi)角和求角或用正弦定理求邊)；(2)已知兩邊及夾角(一般先用余弦定理求第三邊)；(3)已知三邊(先用余弦定理求角)；(4)已知兩邊和一邊的對(duì)角(先用正弦定理求另一邊的對(duì)角或先用余弦定理求第三邊，

2、注意討論解的個(gè)數(shù)).ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大??；(2)若A75，b2，求a，c.【精彩點(diǎn)撥】(1)用正弦定理將已知關(guān)系式變形為邊之間的關(guān)系，然后利用余弦定理求解.(2)先求角C，然后利用正弦定理求邊a，c.【規(guī)范解答】(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1.由已知得，C180457560，cb2.再練一題1.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，

3、b，c，設(shè)a，b，c滿足條件b2c2bca2和，求A和tan B的值. 【解】由余弦定理cos A，因此A60.在ABC中，C180AB120B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理，從而tan B.正、余弦定理的綜合應(yīng)用正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜⒂嘞叶ɡ硗瓿勺C明、求值等問題.(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解.(2)解三角形與其他知識(shí)的交匯問題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)

4、造方程及函數(shù)求解.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b.c,4sin2cos 2C，ab5，c.(1)求角C的大?。?2)求ABC的面積.【精彩點(diǎn)撥】(1)先降冪，轉(zhuǎn)化成cos C的方程，求出cos C，進(jìn)而求出角C；(2)由余弦定理列方程，得方程組，求出a，b，再求面積.【規(guī)范解答】(1)由4sin2cos 2C，得4cos2cos 2C，所以4(2cos2C1).整理，得4cos2C4cos C10，解得cos C，所以C60.(2)由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即7a2b2ab.又因?yàn)閍b5，所以a2b22ab25.聯(lián)立，解得ab6.所以SABCabsin C6.再練

5、一題2.ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng).【解】(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長(zhǎng)為5.正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測(cè)量距離問題

6、，測(cè)量高度問題，測(cè)量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，用哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答，解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求.在某海濱城市附近海面有臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖11)的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移動(dòng).臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大.問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.圖11【精彩點(diǎn)撥】設(shè)臺(tái)風(fēng)中心在t小時(shí)后由P到Q，所以在OPQ中，OP300，OPQ45，PQ20t，可由余弦定理求

7、出OQ.城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，需滿足條件OQ10t60，然后通過解不等式求出城市O受到臺(tái)風(fēng)侵襲的時(shí)間.【規(guī)范解答】設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q，此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為(10t60)km，若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則OQ10t60.由余弦定理，知OQ2PQ2PO22PQPOcosOPQ.因?yàn)镻O300 km，PQ20t km，cosOPQcos(45)cos cos 45sin sin 45，所以O(shè)Q2(20t)23002220t300202t29 600t3002.又因?yàn)镺Q10t60，所以202t29 600t3002(10t60)2，即t236t2880，解得12t24.所以1

8、2個(gè)小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.再練一題3.如圖12，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)(精確到1米).圖12【解】法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD500米，DA300米，CDO60.在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445(米).法二：連接AC，作OHAC，交AC于點(diǎn)H，由題意，得CD500米，

9、AD300米，CDA120.在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos 1205002300225003007002，AC700(米).cosCAD.在RtHAO中，AH350(米)，cosHAO，OA445(米).三角形形狀的判斷一般來說，判斷三角形的形狀問題常用的方法有兩種：(1)通過邊之間的關(guān)系判斷形狀；(2)通過角之間的關(guān)系判斷形狀.正弦定理、余弦定理在解題中起到將已知條件中的邊、角互化，把條件化為邊之間的關(guān)系或化為角之間的關(guān)系的作用.在ABC中，已知B60，2bac，試判斷ABC的形狀.【精彩點(diǎn)撥】通過正弦定理，把2bac化邊為角判斷或通過余弦定理，利用cos B化角為邊判斷.【

10、規(guī)范解答】法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.因?yàn)锽60，所以AC120，所以A120C.代入上式，得2sin 60sin(120C)sin C.整理，得sin Ccos C1，即sin(C30)1.所以C3090，C60.所以A60.所以ABC為等邊三角形.法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B.代入b(ac)，得(ac)2a2c22ac.化簡(jiǎn)，得a2c22ac0，即(ac)20，所以ac，ABC為等腰三角形.又因?yàn)锽60，所以ABC為等邊三角形.再練一題4.在ABC中，若sin Acos A，則這個(gè)三角形是()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三

11、角形【解析】法一：若A90，則sin Acos Asin(A45)1，A90，故選A.法二：sin Acos A，(sin Acos A)2，12sin Acos A，sin Acos A0.0A180，sin A0，cos A0,90A180，故選A.【答案】A轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想用于研究、解決數(shù)學(xué)問題時(shí)思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法的情況下，把一種狀況轉(zhuǎn)化為另一種狀況，也就是轉(zhuǎn)化為另一種情境，使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維方式.本章主要是綜合運(yùn)用正、余弦定理解決較為復(fù)雜的與解三角形有關(guān)的問題，在判斷三角形的形狀的問題中，利用邊、角之間的轉(zhuǎn)化與化歸的方法是解

12、決這類問題的基本思路.在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，試確定ABC的形狀.【精彩點(diǎn)撥】充分運(yùn)用正弦定理和余弦定理，可利用邊的關(guān)系判斷，也可轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系來判斷.【規(guī)范解答】法一：由正弦定理，得.又2cos Asin Bsin C，所以cos A.由余弦定理，有cos A.所以，即c2b2c2a2.所以ab.又因?yàn)?abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2.所以bc，所以abc.因此ABC為等邊三角形.法二：因?yàn)锳BC180，所以sin Csin(AB).又因?yàn)?cos Asin Bsin C，所以2cos Asin

13、 Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.因?yàn)锳、B均為三角形的內(nèi)角，所以AB.又由(abc)(abc)3ab.得(ab)2c23ab，即a2b2c2ab.所以cos C.因?yàn)?C180，所以C60.因此ABC為等邊三角形.再練一題5.已知ABC中，c2，且acos Bbcos A，試判斷ABC的形狀.【解】由c2，得a3b3c3c2(ab)c3，a2b2abc2，cos C，C60.由acos Bbcos A，得2Rsin Acos B2Rsin Bcos A(R為ABC外接圓的半徑)，sin(AB)0，AB0，ABC60，ABC為等邊三角形.1.ABC的內(nèi)角A，B

14、，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()A.B.C.2D.3【解析】由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故選D.【答案】D2.ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，則A()A. B. C. D.【解析】bc，BC.又由ABC得B.由正弦定理及a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A)，即sin2A2sin2(1sin A)，即sin2A2cos2(1sin A)，即4sin2cos22cos2(1sin A)，整理得cos20，即cos2(cos Asin A)0.0A，0，cos 0，c

15、os Asin A.又0A，A.【答案】C3.在ABC中，A，ac，則_.【解析】在ABC中，A，a2b2c22bccos，即a2b2c2bc.ac，3c2b2c2bc，b2bc2c20，(b2c)(bc)0，bc0，bc，1.【答案】14.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.已知asin 2Bbsin A.(1)求B；(2)若cos A，求sin C的值.【解】(1)在ABC中，由，可得asin Bbsin A.又由asin 2Bbsin A，得2asin Bcos Bbsin Aasin B，所以cos B，所以B.(2)由cos A，可得sin A，則sin Csin(AB)sin(AB)sinsin Acos A.5.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2