2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和學(xué)案 理 北師大版

1、第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和考綱傳真(教師用書獨具)1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(對應(yīng)學(xué)生用書第84頁)基礎(chǔ)知識填充1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(nN，q為非零常數(shù))(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，G2ab，G，那么G叫

2、作a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1.(2)前n項和公式：Sn3等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anamqnm(n，mN)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN)，則amanapaqa；(3)若數(shù)列an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，anbn，(0)仍然是等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)滿足an1qan(nN，q

3、為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)G為a，b的等比中項G2ab.()(3)若an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項公式是anan，則其前n項和為Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q()A B2C2D.D由通項公式及已知得a1q2，a1q4，由得q3，解得q.故選D.3(2017北京高考)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.1設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則由a4a13d，得d3，由b4b1q3得q38，q2.1.4(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使

4、它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為_27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439q3，q327，q3.插入的兩個數(shù)分別為9327,27381.5(2015全國卷)在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列又Sn126，126，解得n6.(對應(yīng)學(xué)生用書第85頁)等比數(shù)列的基本運算(1)在等比數(shù)列an中，a37，前3項和S321，則公比q的值為()A1BC1或D1或(2)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項和等于_(1)C(2)2n1(1)根據(jù)已知條件得得3

5、.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有解得或又an為遞增數(shù)列，Sn2n1.規(guī)律方法解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想(1)方程的思想：等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q1時，an的前n項和Snna1；當(dāng)q1時，an的前n項和Sn.跟蹤訓(xùn)練(1)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一

6、層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞B3盞C5盞D9盞(2)(2018廣州綜合測試(二)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，已知a12，a4a4a，則數(shù)列an的通項公式an_. 【導(dǎo)學(xué)號：】(3)(2017洛陽統(tǒng)考)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a18a40，則()ABC.D(1)B(2)2(3)C(1)設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7381，q2，所以S7381，解得a13.故選B.(2)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0)，由a4a4a，an0，得(anq2)24a4(anq)2，整理得q44q240，解得q或q(舍去)，所以an222.(3)在等比數(shù)列a

7、n中，因為a18a40，所以q，所以.等比數(shù)列的判定與證明(2016全國卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.規(guī)律方法等比數(shù)列的三種常用判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN)，則an是等比數(shù)列.(2)等比中項法：若數(shù)列an中，an0，且aanan2(nN)，則數(shù)列an是等

8、比數(shù)列.(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN)，則an是等比數(shù)列.易錯警示：(1)前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定.(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.跟蹤訓(xùn)練設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)證明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2

9、bn1(n2)，故bn是首項b13，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首項為，公差為的等差數(shù)列(n1)，故an(3n1)2n2.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)已知各項不為0的等差數(shù)列an滿足a6aa80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b8b11()A1B2C4D8(2)已知an為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，且S1010，S3070，那么S40()【導(dǎo)學(xué)號：】A150B200C150或200D400或50(1)D(2)A(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6a82a7.由a6aa80，可得a72，所以b7a72.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11b2b7b1

10、2b238.(2)依題意，S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比數(shù)列，因此(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S200，因此S2030，S20S1020，所以S40S30S1080，S40S30(S40S30)7080150. 規(guī)律方法1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度.2.等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.跟蹤訓(xùn)練(1)(2018?？谡{(diào)研)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若amam22am1(mN)，數(shù)列an的前n項積為Tn，且T2m1128，則m的值為()A3B4C5D6(2)(2018合肥二檢)等比數(shù)列an