2019年高考數(shù)學一輪復習第6章不等式推理與證明第2節(jié)基本不等式及其應用學案理北師大版

1、第二節(jié)基本不等式及其應用考綱傳真(教師用書獨具)1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題(對應學生用書第95頁)基礎知識填充1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)2幾個重要的不等式(注意逆應用)(1)a2b22ab(a，bR)，當且僅當ab時取等號(2)ab (a，bR)，當且僅當ab時取等號(3)(a，bR)，當且僅當ab時取等號(4)2(a，b同號)，當且僅當ab時取等號3利

2、用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值q那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)知識拓展1.(a0，b0)2不等式的恒成立、能成立、恰成立問題(1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立f(x)minA；若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f(x)B在區(qū)間D上恒成立f(x)maxB.(2)能成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)A成立f(x)maxA；若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上

3、存在實數(shù)x使不等式f(x)B成立f(x)minB.(3)恰成立問題：不等式f(x)A恰在區(qū)間D上成立f(x)A的解集為D；不等式f(x)B恰在區(qū)間D上成立f(x)B的解集為D.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個不等式a2b22ab與成立的條件是相同的()(2)(ab)24ab(a，bR)()(3)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項()(4)函數(shù)yx的最小值是2.()(5)函數(shù)f(x)cos x，x的最小值等于4.()(6)x0且y0是2的充分不必要條件()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材改編)設x0，y0，且xy18，則xy

4、的最大值為()A80B77C81D82Cx0，y0，即xy81，當且僅當xy9時，(xy)max81.3已知f(x)x2(x0)，則f(x)有()A最大值0B最小值0C最大值4D最小值4Cx0，f(x)2224，當且僅當x，即x1時取等號f(x)有最大值4.4若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a等于()A1B1C3D4C當x2時，x20，f(x)(x2)2224，當且僅當x2(x2)，即x3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x3，即a3，選C.5若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.25設矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y，則另一邊為(202x

5、)(10x)m，則yx(10x)25，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.(對應學生用書第95頁)利用基本不等式求最值(1)已知a0，b0，且4ab1，則ab的最大值為_(2)已知x，則f(x)4x2的最大值為_(3)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值為_. 【導學號：】(1)(2)1(3)5(1)法一：a0，b0,4ab1，14ab24，當且僅當4ab，即a，b時，等號成立，ab.ab的最大值為.法二：4ab1，ab4ab，當且僅當4ab，即a，b(滿足a0，b0)時，等號成立，ab的最大值為.(2)因為x，所以54x0，則f(x)4x2323231.當且僅當54x，即x

6、1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.(3)由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)25(當且僅當，即x1，y時，等號成立)，3x4y的最小值是5.規(guī)律方法利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解決條件最值的關鍵是構造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：(1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.(2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值.易錯警示：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.跟蹤訓練(1)(2018東北三省四市模擬(一)已知a0，b0，則的最小值為()A.B1C2

7、D4(2)(2017山東高考)若直線1(a0，b0)過點(1,2)，則2ab的最小值為_(3)(2017四川樂山一中月考)設0x，則函數(shù)y4x(32x)的最大值為_(1)D(2)8(3)(1)a2b24，當且僅當a2b，即a2b2時等號成立，則的最小值為4.故選D.(2)直線1(a0，b0)過點(1,2)，1，2ab(2ab)4428，當且僅當，即a2，b4時，等號成立故2ab的最小值為8.(3)y4x(32x)22x(32x)2，當且僅當2x32x，即x時，等號成立，函數(shù)y4x(32x)的最大值為.基本不等式的實際應用某化工企業(yè)2017年年底將投入100萬元，購入一套污水處理設備該設備每年的

8、運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元設該企業(yè)使用該設備x年的年平均污水處理費用為y(單位：萬元)(1)用x表示y；(2)當該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時，企業(yè)需重新更換新的污水處理設備則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備解(1)由題意得，y，即yx1.5(xN)(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，當且僅當x，即x10時取等號故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設備易錯警示解實際應用題的三個注意點(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的

9、解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.跟蹤訓練要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A80元B120元C160元D240元C設底面相鄰兩邊的邊長分別為x m，y m，總造價為T元，則xy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)8020280204160(當且僅當xy時取等號)故該容器的最低總造價是160元利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍(1)(2017河南平頂山一模)若對任意x0，a恒成立，

10、則a的取值范圍是()AaBaCaDa(2)已知函數(shù)f(x)4x(x0，a0)在x3時取得最小值，則a_.(1)A(2)36(1)對任意x0，a恒成立，對x(0，)，amax，而對x(0，)，當且僅當x時等號成立，a.(2)x0，a0，f(x)4x24，當且僅當4x，即4x2a時，f(x)取得最小值又f(x)在x3時取得最小值，a43236.規(guī)律方法求解含參數(shù)不等式的求解策略(1)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍.(2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時，往往將已知不等式看作關于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉化.跟蹤訓練(1)已知不等式(xy)9對任意的正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()A2B4C6D8(2)已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)