2019版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形的應用舉例學案

1、第7講解三角形的應用舉例板塊一知識梳理自主學習必備知識考點1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)考點2方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)考點3方向角指北或指南方向線與目標方向所成的小于90的角叫做方向角，如北偏東，南偏西.特別地，若目標方向線與指北或指南方向線成45角稱為西南方向，東北方向等(1)北偏東，即由指北方向順時針旋轉到達目標方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時針旋轉到達目標方向；(3)南偏西等其他方向角類似考點4坡角與坡度1坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)2坡度

2、：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比必會結論1仰角與俯角是相對水平視線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的2“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍是.考點自測1判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為180.()(3)若點P在Q的北偏東44，則Q在P的東偏北46.()(4)如果在測量中，某渠道斜坡坡比為，設為坡角，那么cos.()答案(1)(2)(3)(4)2課本改編兩座燈塔A和B與海岸

3、觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10 B北偏西10C南偏東10 D南偏西10答案B解析由題可知ABC50，A，B，C位置如圖故選B.3.2018沈陽模擬如圖，設A，B兩點在河的兩岸，測量者在A的同側，選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由正弦定理得AB50(m)4.如圖所示，D，C，B三點在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60，30，則A點離地面的高度AB等于()A. B.C.a D.答案B解析因

4、為D30，ACB60，所以CAD30，故CACDa.所以ABasin60.5一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是_m.答案50解析設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.板塊二典例探究考向突破考向測量距離問題例1如圖所示，為了測量河對岸A，

5、B兩點間的距離，在岸邊定一基線CD，現(xiàn)已測出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，試求AB的長解在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為ABa.觸類旁通求距離問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理【變式訓練1】2014四川高考如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流

6、的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin670.92，cos370.39，sin370.60，cos370.80，1.73)答案60解析根據(jù)已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得.所以BC20.6060(m)考向測量高度問題例22015湖北高考如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.答案100解析如圖所示，由已知得BAC30，A

7、B600 m，EBC75，CBD30，在ABC中，ACBEBCBAC45，由，得BC300(m)在RtBCD中，CDBCtanCBD300100(m)觸類旁通處理高度問題的注意事項(1)在處理有關高度問題時，正確理解仰角、俯角是一個關鍵(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題【變式訓練2】某人在C點測得塔底O在南偏西80，塔頂A的仰角為45，此人沿南偏東40方向前進10米到D處，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為()A15米 B5米 C

8、10米 D12米答案C解析如圖，設塔高為h，在RtAOC中，ACO45，則OCOAh.在RtAOD中，ADO30，則ODh.在OCD中，OCD120，CD10，OD2 OC2 CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，所以h25h500，解得h10 或h5(舍去)，故選C.考向測量角度問題例3在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進，若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍方的小艇若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察

9、艇所需的時間和角的正弦值解如圖，設紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理，得，解得sin.所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角的正弦值為.觸類旁通解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用【變式訓練3】如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的

10、B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos的值解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos1202800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.核心規(guī)律利用解三角形解決實際問題時，(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3

11、)三角函數(shù)模型中，要確定相應參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗問題的實際意義滿分策略1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混2.在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考數(shù)學思想系列5函數(shù)思想在解三角形中的應用2018永州模擬某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與

12、輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由解題視點(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時間t的函數(shù)，將原題轉化為函數(shù)最值問題；(2)注意t的取值范圍解(1)設相遇時小艇航行的距離為s海里，則s.故當t時，smin10，v30(海里/小時)即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)設小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900

13、900，即0，解得t.又t時，v30，故v30時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20.故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/小時答題啟示解三角形在實際中的應用問題有很多是求距離最短、用時最少、速度最大等最值問題，這需要建立有關量的函數(shù)關系式，通過求函數(shù)最值的方法來解決.函數(shù)思想在解三角形實際問題中的應用，經(jīng)常與正弦定理、余弦定理相結合，此類問題綜合性較強，能力要求較高，要有一定的分析問題、解決問題的能力.跟蹤訓練2018鄭州模擬如圖所示，一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50 km/h的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車的行駛方向)汽車開

14、動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5 km，距離公路線的垂直距離為3 km的M點，有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，并求追上汽車司機時他駕駛摩托車行駛了多少公里？解作MI垂直公路所在的直線于點I，則MI3, OM5，OI4，cosMOI.設騎摩托車的人的速度為v km/h，追上汽車的時間為t h，由余弦定理得(vt)252(50t)22550t，v22500252900900，當t時，v的最小值為30 km/h，其行駛距離為vt km.故騎摩托車的人至少以30 km/h的速度行駛才能實現(xiàn)他的愿望，他駕駛摩托車行駛了 km.板塊

15、四模擬演練提能增分A級基礎達標1已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得ABC120，則A，C兩地間的距離為()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析如圖所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10(km)22018武漢模擬海面上有A，B，C三個燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60視角，從B望C和A成75視角，則BC()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析由題意可知，CAB60，CBA75，所以C45，由正弦定理得，所以BC5.3.如圖所示

16、，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km答案B解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22a2cos1203a2，故|AB|a.42018臨沂質檢在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底俯角分別為30、60，則塔高為()A. m B. mC. m D. m答案A解析如圖，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120，又AB200，AC.在ACD中，由正弦定理，得，即DC(m)5.

17、如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析設AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin，從而cos，所以由余弦定理得2212221，解得v6.6.如圖，某工程中要將一長為100 m，傾斜角為75的斜坡改造成傾斜角為30的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長_m.答案100解析設坡底需加長x m，由正弦定理得，解得x100.7.

18、如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補，則AC的長為_km.答案7解析8252285cos(D)3252235cosD，cosD.AC7(km)8.2018河南調研如圖，在山底A點處測得山頂仰角CAB45，沿傾斜角為30的斜坡走1000米至S點，又測得山頂仰角DSB75，則山高BC為_米答案1000解析由題圖知BAS453015，ABS45(90DSB)30，ASB135，在ABS中，由正弦定理可得，AB1000，BC1000(米)9.2018山西監(jiān)測如圖，點A，B，C在同一水平面上，

19、AC4，CB6.現(xiàn)要在點C處搭建一個觀測站CD，點D在頂端(1)原計劃CD為鉛垂線方向，45，求CD的長；(2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測得30，53，求CD2.(結果精確到1)(本題參考數(shù)據(jù)：sin971，cos530.6)解(1)CD為鉛垂線方向，點D在頂端，CDAB.又45，CDAC4.(2)在ABD中，533083，ABACCB4610，ADB1808397，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22ADACcos5242254cos5317.10.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝

20、私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間解設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD 10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos1206，解得BC.又，sinABC，ABC45，故B點在C點的正東方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，緝私船沿北偏東60的方向行駛又在BCD中，CBD 120，BCD30，D30，BDBC，即10

21、t，解得t小時15分鐘緝私船應沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘B級知能提升12018天津模擬一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)2.某觀察站B在A城的南偏西20的方向，由A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東25.現(xiàn)在B處測得此公路上距B處

22、30 km的C處有一人正沿此公路騎車以40 km/h的速度向A城駛去，行駛了15 min后到達D處，此時測得B與D之間的距離為8 km，則此人到達A城還需要()A40 min B42 min C48 min D60 min答案C解析由題意可知，CD4010.cosBDC，cosADBcos(BDC)，sinABDsin(ADBBAD).在ABD中，由正弦定理得，AD32，所需時間t0.8 h，此人還需要0.8 h即48 min到達A城3.2014全國卷如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75；從C點測得MCA60，已知山高BC100 m，則山高MN_m.答案150解析在RtABC中，AC1