第五章-矩陣的特征值、特征向量和矩陣的相似.ppt

1、線性代數(shù)教程,主講人：肖繼紅,Tel矩 陣,線性方程組,行列式,向量組,一一對(duì)應(yīng),一 一 對(duì) 應(yīng),特征問題與二次型,線性代數(shù)教程,第五章 矩陣的特征值、特征向量和矩陣的相似,Sichuan University Jinjiang College,線性代數(shù)教程,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似第一節(jié) 矩陣的特征值和特征向量,Sichuan University Jinjiang College,特征值和特征向量,猶如世界上每個(gè)人都有自己的特點(diǎn)一樣，每個(gè)矩陣也有其內(nèi)在的特性。可逆性、秩數(shù)、初等變換的結(jié)果等屬于矩陣的代數(shù)性質(zhì)，而特征值、特征向量偏向于反映矩陣的幾何特性。

2、,A是n階矩陣，x是n維列向量，則Ax也是n維列向量，當(dāng)然它已經(jīng)改變了原來的x的大小與方向。有沒有一個(gè)特別的非零向量x，使得向量Ax僅僅使向量x伸長(zhǎng)了若干倍而沒有改變其方向呢？這個(gè)使 Ax=x 成立的特別的向量因矩陣A而定，反映A的內(nèi)在特性，故稱之為特征向量，相應(yīng)的數(shù)稱為特征值。,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,特征值和特征向量的應(yīng)用,比如Google公司的成名作PageRank，也是通過計(jì)算一個(gè)用矩陣表示的圖（這個(gè)圖代表了整個(gè)Web各個(gè)網(wǎng)頁“節(jié)點(diǎn)”之間的關(guān)聯(lián)）的特征向量來對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)打“特征值”分；再比如很多人臉識(shí)別，數(shù)據(jù)流模式挖掘分析等方面，都有應(yīng)用，

3、,特征向量不僅在數(shù)學(xué)上，在物理，材料，力學(xué)等方面（應(yīng)力、應(yīng)變張量）都能一展拳腳，有老美曾在一本線代書里這樣說過“有振動(dòng)的地方就有特征值和特征向量”。振動(dòng)如：橋梁或建筑物的振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)等。,6,給出了特征方程的術(shù)語, 證明了任意階實(shí)對(duì)稱矩陣都有實(shí)特征值；給出了相似矩陣的概念, 證明了相似矩陣有相同的特征值,方陣的特征方程和特征根(特征值)的一些結(jié)論,證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì),矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題,7,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,定義5.1.1,一、特征值與特征向量的基本概念,例如，,8,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特

4、征值和特征向量,說明,1、特征值問題是針對(duì)方陣而言的；,2、特征向量必須是非零向量；,3、特征向量既依賴于矩陣A，又依賴于特征值,一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值，證明如下：,9,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,二、特征值與特征向量的性質(zhì),性質(zhì)5.1.1,證明,所以kX0也是A的屬于的特征向量。,10,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,性質(zhì)5.1.2,若X1, X2是A的屬于同一個(gè)特征值 的特征向量,且X1+X20，則X1+X2也是A的屬于 特征向量。,由此可以推廣到多個(gè)特征向量的情況：,如果對(duì)于A屬于統(tǒng)一特征值 的特征向

5、量X1, X2, ,Xt,的非零線性組合 也是A的屬于0 的特征向量。,11,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,性質(zhì)5.1.3,設(shè) 是A的特征值， 是矩陣A的屬于 的特征,向量，m為正整數(shù),則 是Am的特征值。特征向量為 .,證明：,由已知 . 則有,假設(shè) ，則,即 是Am的特征值。,12,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,性質(zhì) 5.1.4,設(shè)A是可逆矩陣，則A的特征值 ，,且 是A-1的一個(gè)特征值.,證明：,設(shè)有AX0= 0X0.若0 =0，則齊次線性方程組,AX0= 0,中|A|0和X0= 0與特征向量的定義矛盾，所以

6、00,又由,即證。,13,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,AX = X,(IA)X = 0,|IA| = 0,特征方程 (characteristic equation),特征多項(xiàng)式 (characteristic polynomial),IA,特征矩陣,特征值,特征向量,14,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,三、特征值和特征向量的求法,定理5.1.2. 0為A的特征值 |0IA| = 0.,定理5.1.1. X0為A的屬于0的特征向量, (0IA)X0 = 0.,1. 理論依據(jù),15,即0是特征多項(xiàng)式f()=| I-

7、A|的根。,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,于是由特征值、特征向量的性質(zhì)和上述定理可得到求n階矩陣A的特征值、特征向量的一般步驟：,(1)計(jì)算特征多項(xiàng)式|IA| 并求出|IA| =0的全部根，得到A的全部特征值1, 2, , m (可能有重根).,(2)對(duì)于每一個(gè)不同的特征值j , 求出齊次線性方程組(j IA)x = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系X1 ,X2 ,Xt , 則A的屬于j的全部特征向量 k1X1 +k2 X2 +kt Xt （其中ki是不全為0的任意常數(shù)）,16,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,計(jì)算|IA|,求|IA

8、| = 0的根,求(IA)x = 0的基礎(chǔ)解系,于是由特征值、特征向量的性質(zhì)和上述定理可得到求n階矩陣A的特征值、特征向量的一般步驟：,17,解,例1,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,18,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,得基礎(chǔ)解系 ,所以1 =2對(duì)應(yīng)的全部特征向量取為 k1 X1 (k10),得基礎(chǔ)解系 ,所以2 =4對(duì)應(yīng)的全部特征向量取為 k2X2 (k20),19,例,解,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,20,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向

9、量,21,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,22,例 設(shè),求A的特征值與特征向量,解,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,23,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,24,得基礎(chǔ)解系為：,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,25,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,四、特征值和特征向量的其它性質(zhì),性質(zhì)1：,設(shè)0 是矩陣A的特征值，k是任意常數(shù)，則k0是矩陣kA的特征值。,性質(zhì)2：,矩陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT 有相同的特征值。,性質(zhì)

10、3：,若A的特征值為0 ,則矩陣A 的多項(xiàng)式,的一個(gè)特征值為,對(duì)應(yīng)的特征向量仍為A對(duì)于0 的特征向量.,26,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,27,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,(2) 由于,28,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,性質(zhì):n階矩陣A是奇異矩陣 A有一個(gè)特征值為0,推論. Ann可逆 A的特征值均不為零.,證明：由|A|=0 |0I-A|=(-1)n|A|=0,即證。,又一個(gè)判斷方陣A可逆的充要條件,29,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特

11、征向量,例4,設(shè)矩陣A滿足A2=A，證明：A的特征值只能是0和1.(重點(diǎn)題型),證明：,30,求矩陣特征值與特征向量的步驟：,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,31,本節(jié)小結(jié),第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,32,思考題,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,33,思考題解答,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,實(shí)際上，特征值和特征向量有很直觀的幾何含義。方陣A的特征向量x是一個(gè)非零向量，在線性變換y=Ax的作用下與原向量x共線。即其方向在線性變換y=Ax

12、的作用下仍與原方向保持在同一條線上（當(dāng)特征值為負(fù)值時(shí)反向），而長(zhǎng)度會(huì)有伸縮的變化。該向量在該線性變換下縮放的比例就是其特征值。通俗地說，特征向量就是在線性變換的作用下方向不變（可以反向）的向量。而在變化當(dāng)中尋找不變的東西，這是很多學(xué)科研究的內(nèi)容。下圖給出了一幅圖像的例子。,我雖然會(huì)求一個(gè)方陣的特征值和特征向量，但不知道計(jì)算它們有什么用？又怎么理解特征值和特征向量呢？,34,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.1 矩陣的特征值和特征向量,在這個(gè)錯(cuò)切變換中，蒙娜麗莎的圖像發(fā)生變形，但是中心的縱軸在變換下保持不變。藍(lán)色的向量，從胸部到肩膀，其方向改變了，但是紅色的向量，從胸部到下巴，其方向不變

13、。因此紅色向量是該變換的一個(gè)特征向量，而藍(lán)色的不是。因?yàn)榧t色向量既沒有被拉伸又沒有被壓縮，其特征值為1。所有與紅色向量平行的向量都是對(duì)應(yīng)于1的特征向量。 特征值理論是代數(shù)中應(yīng)用最多的理論之一。自然科學(xué)和工程技術(shù)中的許多問題，如振動(dòng)問題（橋梁或建筑物的振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)等），物理學(xué)中某些臨界值的滿足、網(wǎng)頁搜索、圖像壓縮、常系數(shù)微分方程求解、種群年齡結(jié)構(gòu)模型等，常常歸結(jié)為求矩陣的特征值及特征向量。,35,線性代數(shù)教程,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似第二節(jié) 矩陣的相似和對(duì)角化,Sichuan University Jinjiang College,第五章 矩陣的相似變換和特征值,5.2

14、相似矩陣和對(duì)角化,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),定義5.2.1 設(shè)A, B都是n階方陣, 若有可逆矩陣P, 使得P 1AP =B, 則稱矩陣A與B相似. 記為AB. P稱為相似變換矩陣或過渡矩陣.,P s.t. P 1AP = B,A與B相似(記為AB):,37,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,例如：,38,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,例如：,又如：,39,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,2. 性質(zhì),(1) 反身性: AA.,(2) 對(duì)稱性: AB BA.,P 1

15、AP = B,(3) 傳遞性: AB, BC AC.,Q1BQ = C,Q1(P 1AP)Q =,(PQ)1A(PQ) =,(4) AB |A|=|B|，AmBm.,(5) P 1AP = B A與B等價(jià), R(A) = R(B).,(6) 可逆矩陣AB A1 B1.,P 1AP = B, P 1A1P = B1, (P 1AP)1 = B1,40,第五章 特征值與特征向量,二. 矩陣相似的必要條件,性質(zhì).,P 1AP = B, |I A|,= |I B|,|P|1|I A|P|,= |P 1|I A|P|,= |P 1(I A)P|,= |(P 1I P 1A)P|,= |P 1IP P 1

16、AP|,= |P 1P B|,= |I B|.,41,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,二. 矩陣相似的必要條件,性質(zhì).,P 1AP = B, |I A|,= |I B|.,1+2+n,12n,tr(A) =,= tr(B),|A| =,= |B|,42,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,二. 矩陣相似的必要條件,性質(zhì).,P 1AP = B, |I A|,= |I B|.,推論. AB A與B有相同的特征值, tr(A) = tr(B), |A| = |B|.,|B| = |P 1AP|,= |P 1|A|P|,= |P|1|A|P|,= |A|.,43

17、,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,二. 矩陣相似的必要條件,性質(zhì).,P 1AP = B, |I A|,= |I B|.,推論. AB A與B有相同的特征值, tr(A) = tr(B), |A| = |B|.,0+3 = 2+y,x = 2y,x = 2,y = 1.,44,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,注意: 特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似.,例如,假若P 1AP = B, 則A = PBP 1 = B.,矛盾!,|I A| =,|I B| =,= (1)2.,= (1)2.,45,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,三. 相似對(duì)

18、角化問題,我們的目的是討論一個(gè)n階矩陣相似的問題，希望相似的矩陣有最簡(jiǎn)單的形式對(duì)角矩陣，即是n階矩陣相似于一個(gè)對(duì)角矩陣的問題。,n階矩陣A若能相似于一個(gè)對(duì)角陣,稱A可以對(duì)角化。,46,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,問題：是否任意一個(gè)矩陣A都能對(duì)角化？,第五章 特征值與特征向量,Ann相似于對(duì)角矩陣,A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,證明,47,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,命題得證.,48,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,由定理5.2.1的證明過程可知，當(dāng)P-1AP是對(duì)角形矩陣時(shí)，對(duì)角形矩陣對(duì)角線上n個(gè)

19、元素即為A的n個(gè)特征值，而可逆矩陣P的n個(gè)列向量p1,p2,pn則是分別對(duì)應(yīng)于特征值,的線性無關(guān)的特征向量.,由定理可知，一個(gè)矩陣能否相似于對(duì)角形矩陣就歸結(jié)為n階矩陣A是否具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量的問題.而線性方程組(i I-A)x=0的基礎(chǔ)解系是A的屬于特征值i的線性無關(guān)的特征向量。,問題:A的不同的特征值的線性無關(guān)特征向量是否構(gòu)成線性無關(guān)組？,49,第五章 特征值與特征向量,1 A的特征向量,1 A的特征值,結(jié)論:,條件:,1線性無關(guān),50,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,1, 2 A的特征向量,1, 2 A的互異的特征值,結(jié)論:,條件:,1, 2線性無關(guān),k11

20、+ k22 = 0,A(k11 + k22) = ,k1A1 + k2A2 = ,k121 + k222 = 0,k111 + k222 = 0, k1(12)1 = 0, k1(12) = 0, k1 = 0, k22 = 0, k2 = 0,51,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,1, 2, 3 A的特征向量,1, 2, 3 A的互異的特征值,結(jié)論:,條件:,1, 2, 3線性無關(guān),k11+k22+k33 = 0,A(k11+k22+k33) = ,k1A1+k2A2+k3A3 = ,k131+k232+k333 = 0,k111+k222+k333 = 0, k1(1

21、3)1 + k2(23)2 = 0, k1(12) = k2(23) = 0, k1 = k2 = 0, k33 = 0, k3 = 0,52,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,1, 2, , s A的特征向量,1, 2, , s A的互異的特征值,結(jié)論:,條件:,1, 2, , s線性無關(guān),k11 + k22 + + ks1s1 + kss = 0,A(k11+k22+ ks1s1+kss) = ,k1A1+k2A2+ks1As1+ksAs = ,k1s1+k2s2+ ks1ss1+ksss = 0,k111+k222+ ks1s1s1+ksss = 0, k1(1s)1

22、+k2(2s)2+ks1(s1s)s1 = 0, k1(12) = k2(23) = = ks1(s1s) = 0, k1 = k2 = = ks1 = 0, kss = , ks = 0,53,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,定理5.2.2.,1, 2, , s A的特征向量,1, 2, , s A的互異的特征值,1, 2, , s線性無關(guān),1,2,54,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,注意,.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的,.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量,.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯

23、一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,55,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,56,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,定理5.2.2.,1, 2, , s A的特征向量,1, 2, , s A的互異的特征值,1, 2, , s線性無關(guān),推論5.2.1. Ann有n個(gè)互異的特征值1, 2, , n,57,由定理可以得到矩陣對(duì)角化的充分條件：,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,1, 2, , m,A,58,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,s = 2的情形:,1,1,

24、, s,1, , r,2,線性無關(guān),線性無關(guān),1, , s, 1, , r線性無關(guān),k11+kss + l11+lrr = 0,證明:, k11+kss = l11+lrr = 0, k1 = = ks = l1 = = lr = 0,59,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,k11+kss + l11+lrr = 0,k11+kss = l11+lrr = 0,假若k11 + + kss 0, 則, l11 + + lrr 0,A(k11 + + kss), k11 + + kss是A的對(duì)應(yīng)于1的特征向量,= k1A1 + + ksAs,= k111 + + ks1s,= 1(k11 + + kss

25、), l11 + + lrr是A的對(duì)應(yīng)于2的特征向量,而k11 + + kss與l11 + + lrr線性相關(guān),矛盾!,60,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,1,1, , s,1, , r,2,線性無關(guān),線性無關(guān),1, , s, 1, , r線性無關(guān),k11+kss + l11+lrr = 0,證明:, k11+kss = l11+lrr = 0, k1 = = ks = l1 = = lr = 0,s = 2的情形:,61,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,例2. 求A =,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值為1=

26、2, 2=4.,解之得,A的對(duì)應(yīng)于2=4的特征向量為k1,對(duì)于2=4, (4IA)x = 0 即,3 1 1 3,= (2)(4).,(0 k R).,A的對(duì)應(yīng)于1=2的特征向量為k2,則Q1AQ =,62,第五章 特征值與特征向量,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,解: |IA| = (2)(1)2. 所以A的特征值為1=2, 2= 3= 1. 對(duì)于1=2, 求得(2IA)x = 0 的基礎(chǔ)解系: p1=(0,0,1)T. 對(duì)應(yīng)于1=2的特征向量為k1p1 (0k1R). 對(duì)于2=3=1, 求得(IA)x = 0 的基礎(chǔ)解系: p2=(1, 2,1)T. 對(duì)應(yīng)于2=3 =1的特征向量為k2p2 (

27、0k2R).,例3. 求A =,的特征值和特征向量.,二重,一重,一個(gè),一個(gè),問 A相似于對(duì)角矩陣嗎?,63,第五章 特征值與特征向量,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,解: |IA| = (+1)(2)2. 所以A的特征值為1= 1, 2= 3= 2. (IA)x = 0的基礎(chǔ)解系: p1=(1,0,1)T. 對(duì)應(yīng)于1= 1的特征向量為kp1 (0kR). (2IA)x = 0的基礎(chǔ)解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 對(duì)應(yīng)于2=3 =2的特征向量為k2p2 +k3p3 (k2, k3不同時(shí)為零).,例4. 求A =,的特征值和特征向量.,二重,一重,一個(gè),二個(gè),64

28、,第五章 特征值與特征向量,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,從上述例子可以看出，當(dāng)矩陣A的某個(gè)特征值0為k重根時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)可能等于k，也可能小于k，這個(gè)規(guī)律對(duì)于一般的矩陣也是成立的。,設(shè)0為n階矩陣A的k重特征值，則屬于0的A的線性無關(guān)的特征向量最多只有k個(gè).,65,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,66,A相似于對(duì)角矩陣 每個(gè)ki重特征值i 對(duì)應(yīng),ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,證明：設(shè)A可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角陣,且的對(duì)角線上n個(gè)元素為A的全部的特征值。若設(shè)i有ki 個(gè)(i=1,2,m) ，則k1+k2+km=n. 因

29、為可逆矩陣P的列向量是A的相應(yīng)特征值的特征向量，所以對(duì)應(yīng)于i的線性無關(guān)的特征向量有ki個(gè)(i=1,2,m).,反之，若對(duì)應(yīng)于A的每個(gè)ki重特征值，A有ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A的k1+k2+km=n個(gè)特征向量線性無關(guān)，故A可對(duì)角化。,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,67,由定理5.2.5可以得到下面的推論,推論5.2.2 n階矩陣A可以對(duì)角化 對(duì)于A的每個(gè)ki重特征值i 對(duì)，特征矩陣(i I-A)的秩為n-ki .,第五章 特征值與特征向量,例如, 若A55的特征值為,對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量分別為:, (與1對(duì)應(yīng)), (與2對(duì)應(yīng)), 1, 2, 3 (與

30、1對(duì)應(yīng)),1(一重), 2(一重), 1, 1, 1(三重),令P = (, , 1, 2, 3), 則,P 1AP =,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,68,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,反之, 若,則P 1(1IA)P =,P 1AP =,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,(1I P 1AP),0 3 2 2 2,=,1 2 1 1 1,1 1 1 1 1,=,69,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,反之, 若,則

31、R(1IA) = R(P 1(1IA)P) = 4,P 1AP =,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,0 3 2 2 2,=,1 2 1 1 1,1 1 1 1 1,70,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,反之, 若,則R(1IA) = R(P 1(1IA)P) = 4,P 1AP =,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,因而(1IA)x = 0有1個(gè)線性無關(guān)的解,5 4 = 1,即A有1個(gè)線性無關(guān)的特征向量與1對(duì)應(yīng).,同理, A有1個(gè)線性無關(guān)的

32、特征向量與2對(duì)應(yīng).,71,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,反之, 若,則P 1(1IA)P =,P 1AP =,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,(1I P 1AP),2 1 0 0 0,=,1 2 1 1 1,1 1 1 1 1,=,72,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,反之, 若,則R(1IA) = R(P 1(1IA)P) = 2,P 1AP =,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,2 1 0 0 0,=,1 2 1

33、 1 1,1 1 1 1 1,73,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,反之, 若,P 1AP =,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,因而(1IA)x = 0有3個(gè)線性無關(guān)的解,5 2 = 3,即A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量與1對(duì)應(yīng).,則R(1IA) = R(P 1(1IA)P) = 2,74,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,75,例5 設(shè)矩陣,(1)判定A是否可與對(duì)角矩陣相似，說明理由；,(2)若A可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣和可逆矩陣P，使P-1A

34、P=.,第五章 特征值與特征向量,例6. 若2是A =,1 1 1 a 4 b 3 3 5,R(2IA) = 1,可見 a = 2, b = 2.,A相似于對(duì)角矩陣,的二重特征值, 且,則3 R(2IA) = 2,而2IA =,1 1 1 a 2 b 3 3 3,1 1 1 0 a2 ab 0 0 0,此時(shí)(2IA)x = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:,(1, 0, 1)T, (0, 1, 1)T.,76,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,例6. 若2是A =,1 1 1 a 4 b 3 3 5,又因?yàn)閠r(A) = 10,(6IA)x = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:,A相似于對(duì)角矩陣,

35、的二重特征值, 且,則a = 2, b = 2.,所以A的另一個(gè)特征值為10 2 2 = 6.,此時(shí)(2IA)x = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:,(1, 0, 1)T, (0, 1, 1)T.,(1, 2, 3)T.,77,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 特征值與特征向量,例6. 若2是A =,1 1 1 a 4 b 3 3 5,A相似于對(duì)角矩陣,的二重特征值, 且,則a = 2, b = 2.,78,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,79,例7：已知2階方陣A的特征值為1，2，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,求矩陣A。,第五章 矩陣的特征值、

36、特征向量和相似,5.2 矩陣的相似和對(duì)角化,本節(jié)小結(jié),P s.t. P 1AP = B,1、A與B相似(記為AB):,2、相似的必要條件：,A與B有相同的特征值,tr(A) = tr(B), |A| = |B|.,3、Ann相似于對(duì)角矩陣,A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,4、A相似于對(duì)角矩陣 每個(gè)ki重特征值i 對(duì)應(yīng),ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,80,作業(yè)：,1，2，3，4，5，6(1),7，8，9，10，,重點(diǎn)題：12，13,81,線性代數(shù)教程,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似第三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,Sichuan University Jinjiang College,第五章 矩陣的

37、特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,83,為正交矩陣的充要條件是 的列向量和 行向量都是標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基,證明,定義1,定理1,一、正交矩陣,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,線性無關(guān)向量組改造為規(guī)范正交組的施密特(Schmidt)正交規(guī)范化方法。,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,定理5.3.1n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征

38、值為實(shí)數(shù).,說明：以下所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣,二、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,定理5.3.1的意義,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,證明,于是,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,證明,它們的重?cái)?shù)依次為,根據(jù)定理3（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定 理5( 如上)可得：,設(shè) 的互不相等的特征值為,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,由定理4知對(duì)應(yīng)于不同特征值的

39、特征向量正交，,這樣的特征向量共可得 個(gè).,故這 個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?,以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化 為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：,2.,1.,三、利用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,(IA)x = 0,|IA| = 0,特征值,特征向量,正交化,單位化,Q,解,例3 對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣 ， 使 為對(duì)角陣.,第一步 求 的特征值,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,解之得

40、基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,解之得基礎(chǔ)解系,第三步 將特征向量正交化,第四步 將特征向量單位化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,1將一組極大無關(guān)組規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將極大無關(guān)組正交化， 然后再將其單位化,2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,本節(jié)小結(jié),3.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：,(1)特征值為實(shí)數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)

41、特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的 特征向量的個(gè)數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣， 且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值,4.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向 量正交化；(4)最后單位化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,第五章 矩陣的特征值、特征向量和相似,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,102,第五章 特征值與特征向量,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩陣Q使得 Q1AQ = QTAQ是對(duì)角矩陣.,103,第五章 特征值與特征向量,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似

42、對(duì)角化,例10. 把A =,正交相似對(duì)角化.,解: |EA| = (2)(4)2. 所以A的特征值為1= 2, 2= 3= 4. (2IA)x = 0的基礎(chǔ)解系: 1 = (0,1, 1)T. (4IA)x = 0的基礎(chǔ)解系: 2 = (1, 0, 0)T, 3 = (0, 1, 1)T. 1, 2, 3已經(jīng)兩兩正交, 將它們單位化可得,4 0 0 0 3 1 0 1 3,Q = ,104,第五章 特征值與特征向量,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,例11. 把A =,正交相似對(duì)角化.,解: |IA| = 2(3). 所以A的特征值為1= 2= 0, 3= 3. (0IA)x = 0的基礎(chǔ)解系: 1 = (1, 1, 0)T, 2 = (1, 0, 1)T. (3IA)x = 0的基礎(chǔ)解系: 3 = (1, 1, 1)T.,1 1 1 1 1 1 1 1 1,105,第五章 特征值與特征向量,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,1 = (1, 1, 0)T, 2 = (1, 0, 1)T, 3 = (1, 1, 1)T.,Q = (q1, q1, q1),106,第五章 特征值與特征向量,5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,例11. 把A =,正交相似對(duì)角化.,另解: 由于A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣,1 1 1 1 1