“PA+k·PB”型的最值問題(將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿氏圓、費馬點)

1、“PA+kPB”型的最值問題當k值為1時，即可轉化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“將軍飲馬”模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理。當k取任意不為1的正數(shù)時，通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。 其中 點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題。一、“將軍飲馬”模型“將軍飲馬”：把河岸看作直線L，先取A（或B）關于直線L的對稱點A（或B），連接AB（或BA），并與直線交于一點P，則點P就是將軍飲馬的地點，即PA+PB即為最短路線。例1. 如圖，在銳角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分線交BC于點D，M、N

2、分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是 。例2. 如圖，在矩形ABCD中，AB10，AD6，動點P滿足SPABS矩形ABCD，則點P到A，B兩點距離之和PA+PB的最小值為 例3. 如圖，AOB=30，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分AOB，且OP=6，PMN的周長最小值為 ；當PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為 。變式：“造橋選址”模型例4. 如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MNa且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB的值為 。 例5.

3、 如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動線段，且CD=2，點A（4，0），連接AC、AD，設C點橫坐標為m，求m為何值時，ACD的周長最小，并求出這個最小值。二、“胡不歸”模型有一則歷史故事：說的是一個身在他鄉(xiāng)的小伙子，得知父親病危的消息后便日夜趕路回家。然而，當他氣喘吁吁地來到父親的面前時，老人剛剛咽氣了。人們告訴他，在彌留之際，老人在不斷喃喃地叨念：“胡不歸？胡不歸？”早期的科學家曾為這則古老的傳說中的小伙子設想了一條路線。（如下圖）A是出發(fā)地，B是目的地；AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側是沙地。為了急切回家，小伙子選擇了直線路程AB。但是，他忽略了在驛道上（V1）行走要比在砂土地帶（

4、V2）行走快的這一因素。如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長一些，但速度可以加快），是可以提前抵達家門的。解題步驟：將所求線段和改寫為“BDAD”的形式（01）；在AD的一側，BD的異側，構造一個角度，使得sin；過B作所構造的一邊垂線，該垂線段即為所求最小值例6. 如圖，ABC中，BC=2,ABC=30，則2AC+AB的最小值為 。 例7. 如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且ABC=60，M 為對角線BD（不含B點）上任意一點,則 AM+BM的最小值為 。例8. 如圖，等腰ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點D為射線AO上一點，一動點P從點A出發(fā)，沿AD-D

5、C運動，動點P在AD上運動速度3個單位每秒，動點P在CD上運動的速度為1個單位每秒，則當AD= 時，運動時間最短為 秒。中考真題1. （2016徐州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖像經過點A（-1，0），B（0，- ）、C（2，0），其中對稱軸與x軸交于點D。若P為y軸上的一個動點，連接PD，則的最小值為 。 2. （2014.成都）如圖，已知拋物線與x軸從左至右依次交于點A、B，與y軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一個交點為 D（-5，）。設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以

6、每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標為 時，點M在整個運動過程中用時最少？三、“阿氏圓”模型【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點 A、B，則所有滿足PA=kPB（k1）的點 P 的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖所示 2-1-1，O 的半徑為 r,點 A、B 都在O 外，P 為O 上的動點，已知 r=kOB.連接 PA、PB，則當“PA+kPB”的值最小時，P 點的位置如何確定？圖 2-1-1 圖 2-1-2 圖 2-1-3本題的關鍵在于如何確定“kPB”的大小，（如圖 2-1-2）在線段 OB上截取 OC 使 OC=kr,則

7、可說明BPO 與PCO 相似，即 kPB=PC。本題求“PA+kPB”的最小值轉化為求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C三點共線時最小（如圖 2-1-3），本題得解?！鞍⑹蠄A”一般解題步驟： 第一步：連接動點至圓心O（將系數(shù)不為1的線段兩個端點分別與圓心相連接），則連接OP、OB； 第二步：計算出所連接的這兩條線段OP、OB長度； 第三步：計算這兩條線段長度的比； 第四步：在OB上取點C，使得； 第五步：連接AC，與圓O交點即為點P 例9. 如圖，點A、B在O上，且OA=OB=6，且OAOB，點C是OA的中點，點D在OB上，且OD=4，動點P在O上，則2PC+PD的最小值為 例10. 如圖

8、，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD 為切線，AC=1，BD=2，P為弧AB上一動點，求PC+PD的最小值為 例11. （1）【問題提出】：如圖1，在RtABC中，ACB90，CB4，CA6，C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP，BP，求的最小值為 （2） .【自主探索】：在“問題提出”的條件不變的情況下，的最小值為 （3） .【拓展延伸】：已知扇形COD中，COD90，OC6，OA3，OB5，點P是CD上一點，則2PAPB的最小值為 【模型類比】 “胡不歸”構造某角正弦值等于小于1系數(shù) 起點構造所需角（k=sinCAE）-過終點作所構角邊的垂線-利用垂線段最短解決 “阿氏圓”構造共邊共角

9、型相似 構造PABCAP 推出PA2= ABAC =即：半徑的平方=原有線段構造線段 拓展：“費馬點”問題背景資料：在已知ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”如圖，當ABC三個內角均小于120時，費馬點P在ABC內部，此時APB=BPC=CPA=120，此時，PA+PB+PC的值最小解決問題：（1）如圖，等邊ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3， 4，5，求APB的度數(shù)為了解決本題，我們可以將ABP繞頂點A旋轉到ACP處，此時ACPABP，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA，PB，PC轉化到一個三角形中，從而求出APB= ；基本運用：（2）請你利用第（1）題的