高一數學函數模型及其應用.ppt

1、函數模型及其應用(1),孫小凱(班級一學生,剛好早晨遲到)早上起床太晚，為避免遲到，不得不跑步到教室，但由于平時不注意鍛煉身體，結果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。,問題1,如果用縱軸表示離教室的距離，橫軸表示出發(fā)后的 時間，則下列四個圖象比較符合此人走法的是（ ）,問題2,韋老師今天從一中到二中上課，來的時候坐了 出租車。我們知道出租車的價格，凡上車起步 價為5元，行程不超過3km者均按此價收費， 行程超過3km，增加部分按1元/km收費。,一中到二中的路程是 4公里，問韋老師今天坐車 用了多少錢？,一中到二中的路程是 x公里，問韋老師今天坐車 會用多少錢？,實際問題,數學模型,數學模

2、型的解,實際問題的解,答,求解數學應用問題的思路和方法，我們可以用 示意圖表示為：,數學模型,例1、某計算機集團公司生產某種型號的計算機的固定成本為200萬元，生產每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元，分別寫出總成本C(萬元),單位成本P(萬元)、銷售收入R（萬元）以及利潤L（萬元）關于總量x（臺）的函數關系式。,例2、物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t后的溫度是T，則 ，其中 表示 環(huán)境溫度，稱 h為半衰期。 現有一杯用88熱水沖的速溶咖啡，放在24的房間中，如果咖啡降溫到40需要20min，那么降到35時，需要多

3、長時間（結果精確到0.1)？,因此，解決應用題的一般程序是： 審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系； 建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型； 解模：求解數學模型，得出數學結論； 還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義,作業(yè),p88 3、4,函數模型及其應用(2),解決應用題的一般程序是： 審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系； 建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型； 解模：求解數學模型，得出數學結論； 還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義,解之得,例2.某房地產公司要在荒地ABCDE(

4、如圖)上劃出一塊長方形的地面修建一幢公寓樓，已知EF=80m,BC=70m,BF=30m, AF=20m,問： 如何設計才能使公 寓樓地面面積最大？ 最大面積是多少？,D,例1：如圖，有一塊半徑為的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形的形狀，它的下底是的直徑，上底的端點在圓周上。問：腰為多少時，梯形周長最大？,解:設腰長AD=BC=x,周長為y,E,練習,1有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如下圖所示），則圍成的矩形最大面積為 _m2（圍墻厚度不計）,解析：設矩形寬為xm， 則矩形長為（2004x）m， 則矩形面積

5、為 Sx（2004x） 4（x25）22500 （0 x50）， x25時，S有最大值2500m2,2.有甲、乙兩種產品，生產這兩種產品所獲得利潤分別為p和q（萬元），它們與投入的資金x（萬元）的關系分別為 , 。 今投入3萬元資金生產甲、乙兩種產品，為了獲得最大利潤，對甲乙兩種產品的投入分別應為多少萬元？此時最大利潤是多少萬元？,3某產品的成本y（萬元）與產量x（臺）之間的函數關系 ，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不“虧本”（即銷售收入不小于總成本）的最低產量臺數為,小結：,2.解題過程：從問題出發(fā)，引進數學符號，建立函數關系式，再研究函數關系式的定義域，并結合問題的實際意義做出回答.

6、 即建立數學模型，并推理演算求出數學模型的解，再結合實際做出回答.,1.解題四步驟：設、列、解、答.,函數模型及其應用(3),例1、某旅社有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿，公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房每日增加2元，客房出租數就會減少10間，若不考慮其它因素，旅社將房間租金提高多少時，每天客房租金總收入最高？,點撥：由題設可知，每天客房總的租金是增加2元的倍數的函數。設提高為x個2元，則依題意可算出總租金（用y表 示）的表達式，由于房間數不太多，為了幫助同學理解這道應用題，我們先用列表法求解，然后再用函數的解析表達式求解。,解：設客房租金每間提高x個2元，,Y=(20+

7、2x)(300-10 x),=-20 x2+600 x-200 x+6000,=-20(x2-20 x+100-100)+6000,=-20(x-10)2+8000,則將有10 x間客房空出，客房租金的總收入為,由此得到，當x=10時，y的最大值為8000，即每間租金為20+102=40（元）時客房租金總收入最高，每天為8000元。,總結：,通過列表的形式求解，直觀性強，有助于同學理解，但運算過程比較繁瑣，作為探求思路的方法還是可行的； 根據題目的條件列出函數關系式，利用二次函數求極值，是常用的方法。,練習：,1、將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，根據經驗，該商品每個

8、上漲1元，其銷售量就減少20個，為獲得最大利潤，售價應定為多少元？最大利潤是多少？,2、某車間最大生產能力為月生產100臺機床，至少要完成40臺才能保本，當生產x臺時的總成本函數為G(x)=x2+10 x(百元），按市場規(guī)律，價格為P=970-5x(x需求量）可以銷售完，試寫出利潤函數，并求出生產多少臺時，利潤最大。,3、某商場出售一種商品，（原來）每天可賣出1000件，每件可獲利4元。根據經驗，若單件商品的價格每減少0.1元，每天的銷售量就會多出100件。從獲得最好的經濟效益的角度來看，該商品的單價應比現在減少_元,函數模型及其應用(4),例題、一家報刊攤點，從報社買進報紙價格是每份0.24

9、元，賣出是每份0.40元，賣不掉的報紙還可以每份0.08元的價格退回報社，在一個月的30天里，有20天每天可賣出300份，其余10天，每天賣出200份,但這30天里,每天從報社買進的份數必須相同,這家報刊攤點應該每天從報社進多少份報紙,才能獲得最大利潤,一個月可賺多少錢.,(2)當200x300時, y=(0.4-0.24) 10200-(0.24-0.08)10(x-200)+ (0.4-0.24)20 x=640+1.6x 640+1.6300=1120,解：設這家報刊攤點每天從報社買進x份報紙，一個月可賺y元。,（1）當x200時， y=(0.4-0.24) 30 x=4.8x4.820

10、0=969.,(3)當x300時, y=(0.4-0.24) 10200-(0.24-0.08)10(x-200) +(0.4-0.24)20300-(0.24-0.08)(x-300)20 =2560-4.8x2560-4.8300=1120,總結:求分段函數的最值,應先求出函數在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值,取各部分的最小者為整個函數的最小值.,變式：如圖，一動點P自邊長為1的正方形的邊界運動一周后再回到A點，若點P的路程為x，點P到頂點A的距離為y， 求A，P兩點間的 距離y與點P的 路程x之間的函 數關系式。,2、某公司生產一種電子儀器的固定成本為2000

11、0元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數： 其中x是儀器的月產量。 （1）將利潤表示為當月產最的函數 （2）求每月生產多少臺儀器時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？,例2.在一定范圍內，某種產品的購買量為y t，與單價x元之間滿足一次函數關系。 如果購買1000t，每噸為800元，如果購買2000t，每噸為700元，一客戶購買400t，單價應該為 （ ） A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元,c,解：設在進價基礎上增加x元后，日均經營利潤為y元，則有日均銷售量為,（桶）,而,有最大值,只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤。,利潤怎樣產生的？,銷售單價每增加1