17 1 可微性 精 ppt課件

1、,第十七章,多元函數(shù)微分學(xué),*四、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,應(yīng)用,一元函數(shù) y = f (x) 的微分,近似計(jì)算,估計(jì)誤差,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,本節(jié)內(nèi)容:,一、全微分的定義,第一節(jié) 可微性,二、偏導(dǎo)數(shù),三、可微性條件,一、全微分的定義,定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，,稱為函數(shù),在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作,若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù),f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微，,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,處全增量

2、,則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.,函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微,由微分定義 :,得,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,即,二、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法,引例:,研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).,x0 處,關(guān)于 t 的,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,將振幅,定義1.,在點(diǎn),存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,設(shè)函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意:,同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x

3、,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為,偏導(dǎo)數(shù) ,記為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,警告各位！,偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào),不能像一元函數(shù)那樣將,是一個(gè)整體記號(hào)，,與,的商。,看成是,若函數(shù),在點(diǎn),于變量 x 和 y 的偏導(dǎo)數(shù)均存在，則稱,在區(qū)域 內(nèi)的任,處關(guān),函數(shù),在點(diǎn),處可偏導(dǎo)。,若函數(shù),一點(diǎn)處均可偏導(dǎo)，則稱函數(shù),在區(qū)域 內(nèi)可偏導(dǎo)。,可以看出: 定義,時(shí)，,實(shí)際上 , 是對函數(shù),變量 y 是不變的, 將 y 視為常,數(shù) , 關(guān)于變量 x 按一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義,進(jìn)行的。,多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，,沒有任何技術(shù)性的新東西。,求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將 n 個(gè)自變量,的求導(dǎo)方法進(jìn)行計(jì)算。

4、,自變量均視為常數(shù)，然后按一元函數(shù),中的某一個(gè)看成變量 , 其余的 n1個(gè),求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將 n 個(gè)自變量,的求導(dǎo)方法進(jìn)行計(jì)算。,自變量均視為常數(shù)，然后按一元函數(shù),中的某一個(gè)看成變量 , 其余的 n1個(gè),求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將 n 個(gè)自變量,中的某一個(gè)看成變量 , 其余的 n1個(gè),自變量均視為常數(shù)，然后按一元函數(shù),的求導(dǎo)方法進(jìn)行計(jì)算。,例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對 x 的,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(請自己寫出),函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然,例如,注意：,但在該點(diǎn)不一

5、定連續(xù).,上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,是曲線,在點(diǎn) M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點(diǎn)M0 處的切線,斜率.,是曲線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對 y 軸的,例1 . 求,解法1:,解法2:,在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),證:,例3. 求,的偏導(dǎo)數(shù) .,解:,求證,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理1(必要條件),若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù),同樣可證,證: 由全增量公式

6、,必存在,且有,得到對 x 的偏增量,因此有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、 可微性條件,例1. 計(jì)算函數(shù),在點(diǎn) (2,1) 處的全微分.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,反例: 函數(shù),易知,但,因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !,即:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2 (充分條件),證：,若函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,所以函數(shù),在點(diǎn),可微.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意到, 故有,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),函數(shù)可微,函數(shù) z = f (x, y)

7、在點(diǎn) (x, y) 可微,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)可微,推廣:,類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.,例如, 三元函數(shù),習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,的全微分為,于是,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算函數(shù),的全微分.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,可知當(dāng),*四、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,1. 近似計(jì)算,由全微分定義,較小時(shí),及,有近似等式:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(可用于近似計(jì)算; 誤差分析),(可用于近似計(jì)算),半徑由 20cm 增大,解: 已知,即受壓后圓柱體體積減少了,例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)

8、生形變,到 20.05cm ,則,高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求此圓柱體,例4.計(jì)算,的近似值.,解: 設(shè),則,取,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 利用公式,求計(jì)算面積時(shí)的絕對誤差與相對誤差.,解：,故絕對誤差約為,又,所以 S 的相對誤差約為,計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,分別表示 x , y , z 的絕對誤差界,2. 誤差估計(jì),利用,令,z 的絕對誤差界約為,z 的相對誤差界約為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,例6.在直流電路中,測得電壓 U = 24 伏 ,解: 由

9、歐姆定律可知,( 歐),所以 R 的相對誤差約為,0.3 + 0.5 ,R 的絕對誤差約為,0.8 ,0.3;,定律計(jì)算電阻 R 時(shí)產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差 .,相對誤差為,測得電流 I = 6安, 相對誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 ),= 0.8 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求用歐姆,內(nèi)容小結(jié),1. 微分定義:,2. 重要關(guān)系:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 微分應(yīng)用, 近似計(jì)算, 估計(jì)誤差,絕對誤差,相對誤差,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),函數(shù),在,可微的充分條件是( ),的某鄰域內(nèi)存在 ;,時(shí)是無窮小量 ;,時(shí)是無窮小量 .,1. 選擇題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 設(shè),解:,利用輪換對稱性 , 可得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( L. P245 例2 ),注意: x , y , z 具有 輪換對稱性,答案:,3. 已知,第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在點(diǎn) (0,0) 可微 .,備用題,在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證: 1),因,故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ;,但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連