第四章不定積分.ppt

1、第四章 不定積分,不定積分概念與性質(zhì) 換元積分法 分部積分法 幾種特殊類型函數(shù)的積分 積分表的使用（略）,第一節(jié) 不定積分概念與性質(zhì),一、原函數(shù)與不定積分 二、不定積分的性質(zhì) 三、基本積分公式、直接積分法,不定積分,引言：,已知質(zhì)點的運(yùn)動規(guī)律s=s(t),則速度v(t)=s(t); 反之若已知質(zhì)點各時刻的運(yùn)動速度v=v(t) 如何求其運(yùn)動規(guī)律s=s(t)?,從數(shù)學(xué)角度看：找一函數(shù)s=s(t)，使s(t) =v(t) .,1. 原函數(shù)定義：,一、原函數(shù)與不定積分,如：,注：,2.原函數(shù)存在定理：,(i) 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)；,(iii)函數(shù)的兩個原函數(shù)間相差一個常數(shù)；,(ii) 任一函數(shù)的原函

2、數(shù)（若存在）有無窮多；,(iv)原函數(shù)的全體為,這里叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積 表達(dá)式，x叫做積分變量.,3. 不定積分定義：,若F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù)，則表達(dá)式F(x)+C稱為f(x)在上I的不定積分，記作,被積表達(dá)式,積分常數(shù),例1,解：,例2 一曲線過點(e2,3)且在任一點處的切線斜率等于該 點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線方程.,解：,設(shè)所求曲線為y=y(x)，依題意,(f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線),4.不定積分的幾何意義,x,y=F(x),5. 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的關(guān)系：,（先積后微形式不變）,（先微后積差一常數(shù)）,6. 基本積分

3、表：,例3,解：,性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,可以推廣至k個函數(shù).,證明只需等式兩邊求導(dǎo)，相等即可,例4 求下列不定積分,二、不定積分的性質(zhì),解：,解：,求下列不定積分,練習(xí)：,答案：,求下列不定積分,思考：,利用變量u代替x積分可以簡化運(yùn)算！？,第二節(jié) 換元積分法,一、第一類換元法,不定積分,把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法換元積分法,引：,一、第一類換元法,定理1：,含義：,這兩例實際上應(yīng)用了變量代換，（換元積分法）,解,例1 求下列不定積分,注 1. 以上求不定積分過程是將被積函數(shù)中一部分 與dx湊成某函數(shù)的微分du，而被積函數(shù)中余下部 分恰為u的

4、函數(shù)，故稱為湊微法.,注 2. 求不定積分比較熟練之后，中間變量u，du可以 不寫出，而采用下面的寫法：,解,例2 求下列不定積分,解,解,例3 求下列不定積分,例4 求下列不定積分,例5 求下列不定積分,常見的湊微分形式,練習(xí),提示,求下列不定積分,思考：,利用x=(t)的反函數(shù)回代！？,利用變量代換x=(t)化簡積分！,不定積分,定理2：,證：,二、第二類換元法,例6 求下列不定積分,解 （利用適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q化為易求的積分）,由輔助三角形（如圖）,例7 用倒代換或根式代換求不定積分,解,解,例8 用已有的結(jié)果求不定積分,解,練習(xí),提示,第三節(jié) 分部積分法,分部積分法,不定積分,利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，可得到求積分的一個基本方法分部積分法,關(guān)鍵：,例1,解,例2,解,解,例3,解,解,例4（綜合練習(xí)）,解,例5,解,練習(xí),提示,第四節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的積分,一、有理函數(shù)的積分 二、三角函數(shù)有理式的積分 三、簡單無理函數(shù)的積分,不定積分,1.有理函數(shù),2.真分式的部分分式分解法,一、有理函數(shù)的積分,例如,待定系數(shù)可以通過如下方式確定： (i)去分母，比較同次冪的系數(shù)； (ii)給x以特定值.如,3.真分式的積分,例1,解,例2,解,例3,解,1.三角函數(shù)有理式,由三角函數(shù)及常數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函