平面問題的極坐標解答(研).ppt

1、第七章 平面問題的極坐標解答,第一節(jié) 平衡微分方程 第二節(jié) 位移與應變 第三節(jié) 基本方程 第四節(jié) 軸對稱問題 第五節(jié) 受均布壓力的圓環(huán) 第六節(jié) 曲梁的純彎曲 第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力 第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中 習 題,圓形、楔形、扇形等，邊界條件用直角坐標可能十分復雜，而用極坐標卻十分簡單。,第七章 極坐標,第一節(jié) 平衡微分方程,和直角坐標系類似，在僅考慮微分體時，微分體相對面上的應力可看成是大小相等，方向相反。,考慮平面上的一個微分體，沿方向的正應力稱為徑向正應力，用表示，沿方向的正應力稱為切向正應力，用 表示，切應力用表示，各應力分量的正負號的規(guī)定和直角坐標中一樣。,在考慮整體時，

2、微分體各面上的差異就必須加以考慮，我們從方向和與之垂直的方向加以考慮。,第一節(jié) 平衡微分方程,考慮圖示單元體半徑方向的平衡，在面處，正應力記為, +d處應力為:,在面處,切應力記為 , +d處切應力為:,在面處，正應力記為, +d處正應力為:,以上各應力和相應的面的面積相乘，就得到該面上的內(nèi)力，以上各量加上體力分量總和得到：,第一節(jié) 平衡微分方程,同理考慮與垂直的 方向的平衡可得到:,上述方程和直角坐標系下的平衡方程有所不同，直角坐標系中，應力分量僅以偏導數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項中。,最后得到與 兩個方向

3、的平衡方程:,這里應力分量仍然為三個，平衡方程二個。,第一節(jié) 平衡微分方程,第二節(jié) 位移與應變,我們從物體中取出方向上長d的線段PA，變形后為P A ，P 點的位移為(u,0)，A 點方向的位移為:,先假定只有徑向位移而無環(huán)向位移：,因此PA正應變?yōu)?,方向上的位移為零。,因此PB正應變?yōu)?,角APB的變化為PB的轉(zhuǎn)角：,第二節(jié) 位移與應變,從物體中取出方向上長d 的線段PB，變形后為P B ，B 點方向的位移為:,再假定只有環(huán)向位移而無徑向位移：,線段PA，變形后為P A ，P 點的位移為(0,v)，A 點方向的位移為:,方向的位移為零，因此PA正應變?yōu)?第七章 極坐標 第二節(jié) 位移與應變,

4、因此PB正應變?yōu)?第七章 極坐標 第二節(jié) 位移與應變,B點方向的位移為:,方向上長d的線段PB，變形后為PB，B點方向上的位移為零。,1,2,PB的方向用射線1表示， PB的方向用射線2表示，PB的轉(zhuǎn)角為角POP： （向角外轉(zhuǎn)為負）,線段PA的轉(zhuǎn)角是,線段PB的轉(zhuǎn)角是,于是，直角APB的改變量為:,前面只有徑向位移而無環(huán)向位移,角APB的變化為:,第七章 極坐標 第二節(jié) 位移與應變,這就是極坐標中的應變分量的表達式。對于相同的位移，應變的大小和與極點的距離有關。,總和上述兩個方向的應變，得到：,第七章 極坐標 第二節(jié) 位移與應變,第三節(jié) 基本方程,極坐標問題的解法和平面問題類似，通常采用應力函

5、數(shù)法，為此需要將應力函數(shù)的直角坐標表達式化為極坐標，將相容方程化為極坐標。,物理方程,極坐標也是正交坐標，因此物理方程與直角坐標相同：,平衡方程,幾何方程,為了得到極坐標中用應力函數(shù)表示的應力和相容方程，利用極坐標和直角坐標的關系：,得到,第三節(jié) 基本方程,第三節(jié) 基本方程,在=0時，極坐標的各分量和直角坐標各分量相同。將上面各式代入應力分量的表達式（常體力）,得到,第三節(jié) 基本方程,上式是極坐標中的重調(diào)和函數(shù)?，F(xiàn)在的問題是求解上述方程的邊值問題。,代入直角坐標應力函數(shù)在常體力情況下的表達式,和直角坐標系中類似，它的解答一般都不可能直接求出，在解決具體問題時，只能采用逆解法、半逆解法。,第三節(jié)

6、 基本方程,得到極坐標中應力函數(shù)f應滿足的相容方程,第四節(jié) 軸對稱問題,這是一個四階常微分方程，它的通解為:,相容方程簡化為:,如果應力分量僅是半徑的函數(shù)，如受內(nèi)外壓的圓環(huán)，稱為軸對稱問題。,采用半逆解法，假定應力函數(shù)僅是徑向坐標的函數(shù):,f = f(),正應力分量僅是的函數(shù)，與無關，并且切應力為零，應力分量對稱于通過z軸的任一平面，稱為軸對稱應力。,這時，應力的表達式為:,第四節(jié) 軸對稱問題,軸對稱時,將上述應力的表達式代入應力應變關系式中，可以得到應變的表達式,再代入位移與應變的幾何方程，積分后,得到位移的積分形式:,第四節(jié) 軸對稱問題,第五節(jié) 受均布壓力的圓環(huán),由邊界條件得到:,內(nèi)半徑為

7、a，外半徑為b的圓環(huán)受內(nèi)壓力qa，外壓力為qb的圓環(huán)，為軸對稱問題，根據(jù)上節(jié)其解為:,邊界條件為:,第五節(jié) 受均布壓力的圓環(huán),在這里只有兩個方程，而有三個待定常數(shù)，需要從多連體的位移單值條件補充一個方程。,在環(huán)向表達式,中，第一項是多值的，在同一處， = 0和 = 0+2時，環(huán)向位移成為多值，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B= 0。,這樣從上面兩個方程中可解出A和C，代入應力分量表達式，得到拉密解答：,第六章 極坐標 第五節(jié) 受均布壓力的圓環(huán),于是:,1. 單受內(nèi)壓時，徑向受壓，環(huán)向受拉，與半徑的平方成反比，衰減快。,2. 單受外壓時，徑向、環(huán)向均受壓，與半徑的平方成反比，衰減快。,

8、第六節(jié) 曲梁的純彎曲,內(nèi)半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小相等方向相反的彎矩，為軸對稱問題。,邊界切應力都為零。,上述解滿足該邊界條件。在梁的內(nèi)外兩面，正應力要求:,在梁端的邊界條件要求:,第六節(jié) 曲梁的純彎曲,由邊界條件得到:,將f的表達式,第六節(jié) 曲梁的純彎曲,代入，并由邊界條件,在這里有三個方程和三個待定常數(shù)，解出A、B和C，代入應力分量表達式，得到郭洛文解答:,第六節(jié) 曲梁的純彎曲,其中：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,1. 設在頂部受集中力F 楔形體內(nèi)一點的應力分量決定于、F、，因此，應力分量的表達式中只包含這幾個量。其中、是無量綱的量，因此根據(jù)應力分量的量綱

9、，應力分量的表達式應取FN/的形式，其中N是、組成的無量綱的量。由應力函數(shù)的表達式可以看出應力函數(shù)中的冪次應當比各應力分量的冪次高出兩次，因此可設,代入相容方程后得：,求解這一微分方程，得：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,取:,（按應力的表達式計算為零）,于是得：,邊界條件楔形體左右兩面：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,上述應力分量滿足該邊界條件。集中力F按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應力和F成平衡力系：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,將的表達式代入，可求出C、D，最后得到解答：,當,時,成為彈性半平面受垂直集中力的問題，該問題在建筑工程中有十分重要的意義。,h,F,

10、1. 沿極線方向是主方向，也就是主應力跡線，與之垂直的半園也是主應力跡線。,2 .如圖，該園上各處的應力值相同，也就是成應力等值線（壓力泡），并隨h的大小成反比。,3. 應力值不僅隨深度衰減，并且也向兩側(cè)減少。,彈性半平面受垂直集中力,根據(jù)坐標變換公式,和極坐標應力分量,可得到直角坐標分量,F,x,y,從而得到,， 沿某一水平面的分布可求,見教材p168,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,2 設在頂部受有力偶M作用,根據(jù)和前面相似的分析，應力分量應為MN/2的形式，而應力函數(shù)應與無關,代入相容方程后得,求解這一微分方程，得,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,以上應力函數(shù)的設定方法都是量綱分析，這是

11、應力函數(shù)半逆解法的主要方法之一。,2 設在頂部受有力偶M作用,力偶可看成反對稱力，正應力和應力函數(shù)應當是的奇函數(shù)，從而A=D=0,于是,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,于是：,邊界條件楔形體左右兩面,上述應力分量自動滿足第一式，根據(jù)第二式，可得,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,集中力偶M按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應力M成平衡力系：,最后得到解答：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,求解這一微分方程，得:,3 一面受均布壓力q,應力分量應為qN的形式，而應力函數(shù)應為qN2的形式,代入相容方程后得,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,3 一面受均布壓力q,邊界條件為:,求解常數(shù)，

12、最后的解答為：,第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中,板中開有小孔，孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也大于距孔稍遠處的應力，稱為孔邊應力集中。 應力集中的程度與孔的形狀有關，一般說來，圓孔孔邊的集中程度最低。孔邊應力集中圓孔在板邊受力簡單時，在這里進行分析，較為復雜的情況一般用復變函數(shù)方法。,第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中,1. 矩形板四邊受q的均布拉力,矩形板在離邊界較遠處有半徑為a的小孔。直邊的邊界條件，宜用直角坐標，圓孔邊界宜用極坐標，因此需要將直邊的邊界條件變?yōu)閳A邊的邊界條件。為此，以遠大于a的半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標與極坐標的變換公式，大圓邊界上的應力為:,可見，問題與受外壓力的圓環(huán)

13、相同，其解可由拉密解答得出，,第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中,以遠大于a的半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標與極坐標的變換公式，得到大圓的邊界條件,2. 矩形板一對邊受集度為q的均布拉力,該邊界條件比較復雜，難于找到合適的應力函數(shù)。設其為cos或cos2都不行。,第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中,根據(jù)觀察，如果y方向有集度為q的壓力，則邊界上的應力將大大簡化，于是我們轉(zhuǎn)而考慮一對邊受集度為q的均布拉力，一對邊受集度為q的均布壓力的問題，這時的邊界條件為：,3. 一對邊受集度為q的均布拉力，一對邊受集度為q的均布壓力,因此可以假設應力函數(shù)為：,第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中,代入相容方程得到,于是:,求

14、解這一方程,得到,第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中,根據(jù)邊界條件可確定待定的常數(shù)，最后得到,應力分量為,第八節(jié) 圓孔的孔邊應力集中,矩形板一對邊受集度為q的均布拉力的解答可由矩形板四邊受集度為q/2的均布拉力與一對邊受集度為q/2的均布拉力，一對邊受集度為q/2的均布壓力的解答疊加而得。,=,+,習 題,7.1 試用斜截面應力公式,其中l(wèi),m為斜截面法線的方向余弦，導出應力分量的坐標變換式：,習 題,參看圖(a)假設 為已知,方向余弦為:,代入(*)式得出應力分量由極坐標向直角坐標的變換公式:,7.1 提示:,習 題,參看圖(b)假設 為已知,方向余弦為:,代入(*)式得出應力分量由極坐標向直角坐標

15、的變換公式:,6.1 提示: (續(xù)）,提示：如圖所示,習 題,6.2試導出直角坐標的位移分量u,v與極坐標的位移分量u,u,之間的坐標變換式。,它們在u，v方向的投影為：,它們在，方向的投影為：,習 題,提示：1.檢驗相容條件:,滿足相容條件:,2.應力分量:,7.3 圖示的圓環(huán),試證應力函數(shù)能滿足相容條件，并求出對應的應力分量。設在內(nèi)半徑為a，外半徑為b的圓環(huán)中發(fā)生上述應力，試求出邊界上的面力，并求出每一邊界上的主矢量與主矩。,習 題,3.對應的面力及其合成的主矢量和主矩:,在內(nèi)邊主矢量:,主矩：,面力:,習 題,7.3 提示：(續(xù)）,在外邊主矢量:,主矩：,第六章 極坐標 習 題,6.4有一內(nèi)半徑為a，外半徑為b(如圖所示)，受內(nèi)水壓力q作用的壓力隧洞埋在巖層中，設巖層對于隧洞的抗力可按文克勒假設計算即，p=k(u)=b,其中p是巖層對隧洞的彈性抗力，(u)=b是隧洞在外半徑上的徑向位移，k是彈性抗力系數(shù)，與巖層的性質(zhì)有關，試求彈性抗力p。,提示：請看Mcad。,第六章 極坐標 習 題,6.5設半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上力偶矩為M，如圖所示，試