平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答(研).ppt

1、第七章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答,第一節(jié) 平衡微分方程 第二節(jié) 位移與應(yīng)變 第三節(jié) 基本方程 第四節(jié) 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 第五節(jié) 受均布?jí)毫Φ膱A環(huán) 第六節(jié) 曲梁的純彎曲 第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力 第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中 習(xí) 題,圓形、楔形、扇形等，邊界條件用直角坐標(biāo)可能十分復(fù)雜，而用極坐標(biāo)卻十分簡(jiǎn)單。,第七章 極坐標(biāo),第一節(jié) 平衡微分方程,和直角坐標(biāo)系類(lèi)似，在僅考慮微分體時(shí)，微分體相對(duì)面上的應(yīng)力可看成是大小相等，方向相反。,考慮平面上的一個(gè)微分體，沿方向的正應(yīng)力稱(chēng)為徑向正應(yīng)力，用表示，沿方向的正應(yīng)力稱(chēng)為切向正應(yīng)力，用 表示，切應(yīng)力用表示，各應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)的規(guī)定和直角坐標(biāo)中一樣。,在考慮整體時(shí)，

2、微分體各面上的差異就必須加以考慮，我們從方向和與之垂直的方向加以考慮。,第一節(jié) 平衡微分方程,考慮圖示單元體半徑方向的平衡，在面處，正應(yīng)力記為, +d處應(yīng)力為:,在面處,切應(yīng)力記為 , +d處切應(yīng)力為:,在面處，正應(yīng)力記為, +d處正應(yīng)力為:,以上各應(yīng)力和相應(yīng)的面的面積相乘，就得到該面上的內(nèi)力，以上各量加上體力分量總和得到：,第一節(jié) 平衡微分方程,同理考慮與垂直的 方向的平衡可得到:,上述方程和直角坐標(biāo)系下的平衡方程有所不同，直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力分量?jī)H以偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標(biāo)系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項(xiàng)中。,最后得到與 兩個(gè)方向

3、的平衡方程:,這里應(yīng)力分量仍然為三個(gè)，平衡方程二個(gè)。,第一節(jié) 平衡微分方程,第二節(jié) 位移與應(yīng)變,我們從物體中取出方向上長(zhǎng)d的線段PA，變形后為P A ，P 點(diǎn)的位移為(u,0)，A 點(diǎn)方向的位移為:,先假定只有徑向位移而無(wú)環(huán)向位移：,因此PA正應(yīng)變?yōu)?,方向上的位移為零。,因此PB正應(yīng)變?yōu)?,角APB的變化為PB的轉(zhuǎn)角：,第二節(jié) 位移與應(yīng)變,從物體中取出方向上長(zhǎng)d 的線段PB，變形后為P B ，B 點(diǎn)方向的位移為:,再假定只有環(huán)向位移而無(wú)徑向位移：,線段PA，變形后為P A ，P 點(diǎn)的位移為(0,v)，A 點(diǎn)方向的位移為:,方向的位移為零，因此PA正應(yīng)變?yōu)?第七章 極坐標(biāo) 第二節(jié) 位移與應(yīng)變,

4、因此PB正應(yīng)變?yōu)?第七章 極坐標(biāo) 第二節(jié) 位移與應(yīng)變,B點(diǎn)方向的位移為:,方向上長(zhǎng)d的線段PB，變形后為PB，B點(diǎn)方向上的位移為零。,1,2,PB的方向用射線1表示， PB的方向用射線2表示，PB的轉(zhuǎn)角為角POP： （向角外轉(zhuǎn)為負(fù)）,線段PA的轉(zhuǎn)角是,線段PB的轉(zhuǎn)角是,于是，直角APB的改變量為:,前面只有徑向位移而無(wú)環(huán)向位移,角APB的變化為:,第七章 極坐標(biāo) 第二節(jié) 位移與應(yīng)變,這就是極坐標(biāo)中的應(yīng)變分量的表達(dá)式。對(duì)于相同的位移，應(yīng)變的大小和與極點(diǎn)的距離有關(guān)。,總和上述兩個(gè)方向的應(yīng)變，得到：,第七章 極坐標(biāo) 第二節(jié) 位移與應(yīng)變,第三節(jié) 基本方程,極坐標(biāo)問(wèn)題的解法和平面問(wèn)題類(lèi)似，通常采用應(yīng)力函

5、數(shù)法，為此需要將應(yīng)力函數(shù)的直角坐標(biāo)表達(dá)式化為極坐標(biāo)，將相容方程化為極坐標(biāo)。,物理方程,極坐標(biāo)也是正交坐標(biāo)，因此物理方程與直角坐標(biāo)相同：,平衡方程,幾何方程,為了得到極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：,得到,第三節(jié) 基本方程,第三節(jié) 基本方程,在=0時(shí)，極坐標(biāo)的各分量和直角坐標(biāo)各分量相同。將上面各式代入應(yīng)力分量的表達(dá)式（常體力）,得到,第三節(jié) 基本方程,上式是極坐標(biāo)中的重調(diào)和函數(shù)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是求解上述方程的邊值問(wèn)題。,代入直角坐標(biāo)應(yīng)力函數(shù)在常體力情況下的表達(dá)式,和直角坐標(biāo)系中類(lèi)似，它的解答一般都不可能直接求出，在解決具體問(wèn)題時(shí)，只能采用逆解法、半逆解法。,第三節(jié)

6、 基本方程,得到極坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)f應(yīng)滿(mǎn)足的相容方程,第四節(jié) 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,這是一個(gè)四階常微分方程，它的通解為:,相容方程簡(jiǎn)化為:,如果應(yīng)力分量?jī)H是半徑的函數(shù)，如受內(nèi)外壓的圓環(huán)，稱(chēng)為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。,采用半逆解法，假定應(yīng)力函數(shù)僅是徑向坐標(biāo)的函數(shù):,f = f(),正應(yīng)力分量?jī)H是的函數(shù)，與無(wú)關(guān)，并且切應(yīng)力為零，應(yīng)力分量對(duì)稱(chēng)于通過(guò)z軸的任一平面，稱(chēng)為軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力。,這時(shí)，應(yīng)力的表達(dá)式為:,第四節(jié) 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,軸對(duì)稱(chēng)時(shí),將上述應(yīng)力的表達(dá)式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中，可以得到應(yīng)變的表達(dá)式,再代入位移與應(yīng)變的幾何方程，積分后,得到位移的積分形式:,第四節(jié) 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,第五節(jié) 受均布?jí)毫Φ膱A環(huán),由邊界條件得到:,內(nèi)半徑為

7、a，外半徑為b的圓環(huán)受內(nèi)壓力qa，外壓力為qb的圓環(huán)，為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，根據(jù)上節(jié)其解為:,邊界條件為:,第五節(jié) 受均布?jí)毫Φ膱A環(huán),在這里只有兩個(gè)方程，而有三個(gè)待定常數(shù)，需要從多連體的位移單值條件補(bǔ)充一個(gè)方程。,在環(huán)向表達(dá)式,中，第一項(xiàng)是多值的，在同一處， = 0和 = 0+2時(shí)，環(huán)向位移成為多值，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B= 0。,這樣從上面兩個(gè)方程中可解出A和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到拉密解答：,第六章 極坐標(biāo) 第五節(jié) 受均布?jí)毫Φ膱A環(huán),于是:,1. 單受內(nèi)壓時(shí)，徑向受壓，環(huán)向受拉，與半徑的平方成反比，衰減快。,2. 單受外壓時(shí)，徑向、環(huán)向均受壓，與半徑的平方成反比，衰減快。,

8、第六節(jié) 曲梁的純彎曲,內(nèi)半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小相等方向相反的彎矩，為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。,邊界切應(yīng)力都為零。,上述解滿(mǎn)足該邊界條件。在梁的內(nèi)外兩面，正應(yīng)力要求:,在梁端的邊界條件要求:,第六節(jié) 曲梁的純彎曲,由邊界條件得到:,將f的表達(dá)式,第六節(jié) 曲梁的純彎曲,代入，并由邊界條件,在這里有三個(gè)方程和三個(gè)待定常數(shù)，解出A、B和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到郭洛文解答:,第六節(jié) 曲梁的純彎曲,其中：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,1. 設(shè)在頂部受集中力F 楔形體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于、F、，因此，應(yīng)力分量的表達(dá)式中只包含這幾個(gè)量。其中、是無(wú)量綱的量，因此根據(jù)應(yīng)力分量的量綱

9、，應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)取FN/的形式，其中N是、組成的無(wú)量綱的量。由應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式可以看出應(yīng)力函數(shù)中的冪次應(yīng)當(dāng)比各應(yīng)力分量的冪次高出兩次，因此可設(shè),代入相容方程后得：,求解這一微分方程，得：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,取:,（按應(yīng)力的表達(dá)式計(jì)算為零）,于是得：,邊界條件楔形體左右兩面：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,上述應(yīng)力分量滿(mǎn)足該邊界條件。集中力F按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力和F成平衡力系：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,將的表達(dá)式代入，可求出C、D，最后得到解答：,當(dāng),時(shí),成為彈性半平面受垂直集中力的問(wèn)題，該問(wèn)題在建筑工程中有十分重要的意義。,h,F,

10、1. 沿極線方向是主方向，也就是主應(yīng)力跡線，與之垂直的半園也是主應(yīng)力跡線。,2 .如圖，該園上各處的應(yīng)力值相同，也就是成應(yīng)力等值線（壓力泡），并隨h的大小成反比。,3. 應(yīng)力值不僅隨深度衰減，并且也向兩側(cè)減少。,彈性半平面受垂直集中力,根據(jù)坐標(biāo)變換公式,和極坐標(biāo)應(yīng)力分量,可得到直角坐標(biāo)分量,F,x,y,從而得到,， 沿某一水平面的分布可求,見(jiàn)教材p168,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,2 設(shè)在頂部受有力偶M作用,根據(jù)和前面相似的分析，應(yīng)力分量應(yīng)為MN/2的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)與無(wú)關(guān),代入相容方程后得,求解這一微分方程，得,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,以上應(yīng)力函數(shù)的設(shè)定方法都是量綱分析，這是

11、應(yīng)力函數(shù)半逆解法的主要方法之一。,2 設(shè)在頂部受有力偶M作用,力偶可看成反對(duì)稱(chēng)力，正應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)是的奇函數(shù)，從而A=D=0,于是,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,于是：,邊界條件楔形體左右兩面,上述應(yīng)力分量自動(dòng)滿(mǎn)足第一式，根據(jù)第二式，可得,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,集中力偶M按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力M成平衡力系：,最后得到解答：,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,求解這一微分方程，得:,3 一面受均布?jí)毫,應(yīng)力分量應(yīng)為qN的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為qN2的形式,代入相容方程后得,第七節(jié) 楔形體在楔頂或楔面受力,3 一面受均布?jí)毫,邊界條件為:,求解常數(shù)，

12、最后的解答為：,第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,板中開(kāi)有小孔，孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱(chēng)為孔邊應(yīng)力集中。 應(yīng)力集中的程度與孔的形狀有關(guān)，一般說(shuō)來(lái)，圓孔孔邊的集中程度最低?？走厬?yīng)力集中圓孔在板邊受力簡(jiǎn)單時(shí)，在這里進(jìn)行分析，較為復(fù)雜的情況一般用復(fù)變函數(shù)方法。,第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,1. 矩形板四邊受q的均布拉力,矩形板在離邊界較遠(yuǎn)處有半徑為a的小孔。直邊的邊界條件，宜用直角坐標(biāo)，圓孔邊界宜用極坐標(biāo)，因此需要將直邊的邊界條件變?yōu)閳A邊的邊界條件。為此，以遠(yuǎn)大于a的半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換公式，大圓邊界上的應(yīng)力為:,可見(jiàn)，問(wèn)題與受外壓力的圓環(huán)

13、相同，其解可由拉密解答得出，,第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,以遠(yuǎn)大于a的半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換公式，得到大圓的邊界條件,2. 矩形板一對(duì)邊受集度為q的均布拉力,該邊界條件比較復(fù)雜，難于找到合適的應(yīng)力函數(shù)。設(shè)其為cos或cos2都不行。,第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,根據(jù)觀察，如果y方向有集度為q的壓力，則邊界上的應(yīng)力將大大簡(jiǎn)化，于是我們轉(zhuǎn)而考慮一對(duì)邊受集度為q的均布拉力，一對(duì)邊受集度為q的均布?jí)毫Φ膯?wèn)題，這時(shí)的邊界條件為：,3. 一對(duì)邊受集度為q的均布拉力，一對(duì)邊受集度為q的均布?jí)毫?因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：,第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,代入相容方程得到,于是:,求

14、解這一方程,得到,第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,根據(jù)邊界條件可確定待定的常數(shù)，最后得到,應(yīng)力分量為,第八節(jié) 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,矩形板一對(duì)邊受集度為q的均布拉力的解答可由矩形板四邊受集度為q/2的均布拉力與一對(duì)邊受集度為q/2的均布拉力，一對(duì)邊受集度為q/2的均布?jí)毫Φ慕獯鸠B加而得。,=,+,習(xí) 題,7.1 試用斜截面應(yīng)力公式,其中l(wèi),m為斜截面法線的方向余弦，導(dǎo)出應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式：,習(xí) 題,參看圖(a)假設(shè) 為已知,方向余弦為:,代入(*)式得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換公式:,7.1 提示:,習(xí) 題,參看圖(b)假設(shè) 為已知,方向余弦為:,代入(*)式得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)

15、的變換公式:,6.1 提示: (續(xù)）,提示：如圖所示,習(xí) 題,6.2試導(dǎo)出直角坐標(biāo)的位移分量u,v與極坐標(biāo)的位移分量u,u,之間的坐標(biāo)變換式。,它們?cè)趗，v方向的投影為：,它們?cè)?，方向的投影為?習(xí) 題,提示：1.檢驗(yàn)相容條件:,滿(mǎn)足相容條件:,2.應(yīng)力分量:,7.3 圖示的圓環(huán),試證應(yīng)力函數(shù)能滿(mǎn)足相容條件，并求出對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量。設(shè)在內(nèi)半徑為a，外半徑為b的圓環(huán)中發(fā)生上述應(yīng)力，試求出邊界上的面力，并求出每一邊界上的主矢量與主矩。,習(xí) 題,3.對(duì)應(yīng)的面力及其合成的主矢量和主矩:,在內(nèi)邊主矢量:,主矩：,面力:,習(xí) 題,7.3 提示：(續(xù)）,在外邊主矢量:,主矩：,第六章 極坐標(biāo) 習(xí) 題,6.4有一內(nèi)半徑為a，外半徑為b(如圖所示)，受內(nèi)水壓力q作用的壓力隧洞埋在巖層中，設(shè)巖層對(duì)于隧洞的抗力可按文克勒假設(shè)計(jì)算即，p=k(u)=b,其中p是巖層對(duì)隧洞的彈性抗力，(u)=b是隧洞在外半徑上的徑向位移，k是彈性抗力系數(shù)，與巖層的性質(zhì)有關(guān)，試求彈性抗力p。,提示：請(qǐng)看Mcad。,第六章 極坐標(biāo) 習(xí) 題,6.5設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上力偶矩為M，如圖所示，試