第一章 函數(shù)及其圖形.ppt

1、Chapter 1,函數(shù)及其圖形,教學要求：,1. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法;,2. 了解函數(shù)的有界性、單調性、奇偶性和周期性;,3. 理解復合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念;,4. 掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形;,5. 會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式.,重點：掌握函數(shù)定義，搞清楚函數(shù)關系與數(shù)學解析式的 關系，分段函數(shù)是否是初等函數(shù).,0.集合的概念及運算,1. 集合 具有某種特定性質的事物的總體.,組成這個集合的事物稱為該集合的元素.,N-自然數(shù)集,A=B,平面上全體點組成的集合,記作,(直積),交換律,分配律,對偶律,(1) 實數(shù)集的構成,3.區(qū)間與鄰域,(2) 實數(shù)的點的表示

2、數(shù)軸：,X,O,a,1,(3) 區(qū)間是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù). 這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點. 設 a, b R , 且 a b.,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,4.區(qū)間與鄰域,集合,集合,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間,無限區(qū)間,區(qū)間長度的定義:,兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.,(4) 鄰域,定義,1. 定義,設x與y是兩個變量，分別在實數(shù)集合A與B中取值. 對每一個值xA，按照某一法則，y存在著唯一確定 的值yB與之對應，記為f(x)(xf(x),則稱y是x的函 數(shù)，或稱這種對應關系 f 為函數(shù)，記作,因變量,自變量,數(shù)集A叫做這個函數(shù)的定義域,注意,定義域和對應法則是函

3、數(shù)的兩要素. 要判斷兩函數(shù)是 否為同一函數(shù)也得從兩要素入手.,(3)單值函數(shù)與多值函數(shù),如果自變量在定義域內任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù) 值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)；否則叫做 多值函數(shù),(4)只有一個自變量的函數(shù)，稱為一元函數(shù).,2. 定義域,(1)由實際問題決定.,(2)自然定義域. 當函數(shù)由公式（表達式）給出時，使公 式有意義的自變量的取值范圍. 如：,分式的分母不為0；,(3)定義域的表示法：,不等式法，集合法，區(qū)間法，敘述法與圖示法.,ex1. 求函數(shù)的定義域,Solution.,所以函數(shù)的定義域為(1,2.,Solution.,ex3. 函數(shù) f 與 g 是否是同一函數(shù)？,3

4、. 函數(shù)的圖形,4. 分段函數(shù),對于自變量的不同值（或在不同區(qū)間上），函數(shù)的表 達式不同，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).,(1) 絕對值函數(shù),(2) 符號函數(shù),(3) 取整函數(shù) y=x,x表示不超過x的最大整數(shù),(4) (Dirichlet)狄利克雷函數(shù),(5) 取最值函數(shù),(6) 整標函數(shù),以自然數(shù)為自變量的函數(shù):,圖形為一些離散的點構成.,1. 函數(shù)的單調性,則稱 f(x)在I上嚴格單調上升或嚴格單調增（嚴格單調 降下或嚴格單調減）.,則稱 f(x)在I上單調上升或單調增(單調降下或單調減).,以上函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)，I稱為單調區(qū)間.,由有限個單調函數(shù)組成的函數(shù)，稱為分段單調函數(shù). 如,2. 函數(shù)

5、的有界性,通常函數(shù)的有界性與區(qū)間有關，,3. 函數(shù)的奇偶性,偶函數(shù)圖形關于y軸對稱,奇函數(shù)圖形關于原點對稱,注意：,(1) 若f(x)的定義域關于原點不對稱，則f(x)一定不是奇 函數(shù)或偶函數(shù).,即f(x)可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和.,(3) 奇偶函數(shù)的性質,偶函數(shù)的和與差仍是偶函數(shù)， 奇函數(shù)的和與差仍是奇函數(shù)；,兩個奇（或偶）函數(shù)的商是偶函數(shù)；,奇函數(shù)與偶函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)；,有限個偶函數(shù)的積仍是偶函數(shù)；,偶數(shù)個奇函數(shù)的積是偶函數(shù).,4. 函數(shù)的周期性,任一周期函數(shù)都有無窮多個周期. 若在無窮多個周期 中，存在一個最小的正數(shù)，則這個正數(shù)稱為最小周 期，簡稱周期.,1. 四則運算

6、,2. 復合函數(shù),定義：,注意：,(2)復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成.,即不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的.,復合函數(shù)的求法：,(1)對于非分段函數(shù)常用直接代入的方法；,(2)對于分段函數(shù)常用討論的方法.,3. 反函數(shù),定義：,這樣的對應關系所決定的Y到X的函數(shù)，稱為y=f(x)的 反函數(shù)，記為,注意：,(1)反函數(shù)的定義域和值域恰好是原來函數(shù)的 值域和定義域.,(2)直接函數(shù)與反函數(shù) 的圖形關于y=x對稱.,反函數(shù)的求法：,(1)一般先從方程y=f(x)中解出x, 然后再將所得結果中的 x與y互換位置即可;,(2)對分段函數(shù),只要分段求出反函數(shù)便得.,1.基本初等函數(shù),(1)常數(shù)函數(shù),(2)冪函數(shù),(3)指數(shù)函數(shù),(4)對數(shù)函數(shù),(5)三角函數(shù),正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù),余切函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),(6)反三角函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,2.初等函數(shù),由常數(shù)和基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次 的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù).,并非所有的函數(shù)都是初等函數(shù),分段函數(shù)一般不是初等函數(shù). 但也有例外!,3.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),-都是初等函數(shù).,Solution.,Solution.,由此可求得x的取值范圍，即為定義域.,Solution.,易