2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選4系列 12.4 證明不等式的基本方法學(xué)案 理

1、12.4證明不等式的基本方法整理知識1、證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法2 .三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式(1)定理：如果a、b、c-r則，如果a=b=c則等號成立。 也就是說，3個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值是這些的幾何平均值以上。(2)基本不等式的推廣對于n個(gè)正數(shù)a1、a2、an，它們算術(shù)平均為它們的幾何平均以上，即，僅在a1=a2=an的情況下等號成立.3 .柯西不等式(1)如果a、b、c、d全部為實(shí)數(shù)，則成為(a2 b2)(c2 d2)(ac bd)2，僅在ad=bc的情況下等號成立。(2)如果ai和bi(iN* )是實(shí)數(shù)，則滿足2，并且在=(ai=0的情況下，約定bi

2、=0，I=1，2， )(3)柯西不等式的向量形式：假設(shè)，為平面上的2個(gè)向量，則成為|，僅在，為共線的情況下等號成立。診斷自檢1 .概念思識(1)在用反證法證明命題“a、b、c全部為0”的情況下，假定“a、b、c不全部為0”。如果是(2)1，則x 2yx-y.()(3)|a b| |a-b|2a|. ()(4)如果實(shí)數(shù)x，y符合不等式xy1，x y-2，則x0，y0. ()答案(1) (2) (3)。2 .教材的分化(1) (選擇A4-5P23T1)不等式：x2 33x； a2 b22(a-b-1): 2，其中經(jīng)常成立的是()A. B. C. D.答案d分析從中得到了x2 3-3x=2 0，所以

3、x2 33x。 相對于，a2 b2-2(a-b-1)=(a-1)2 (b 1)20，因此不等式成立。 相對于此，ab0時(shí)，-2=0，即2 .因此選擇d。(2) (如果知道選擇A4-5P25T2，b和c是正實(shí)數(shù)且a b c=1，則的最小值為答案9分析是將a b c=1代入=3三二二二等于九，僅在a=b=c=時(shí)等號成立。用小題目暖身(2017模擬聊城)logx10 lg x2(x1)； |a-b|a| |b|； 2(ab0 )； |x-1| |x-2|1，其中經(jīng)常成立的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4答案c對logx10 lg x=lg x2(x1)進(jìn)行解析，正確。在ab0的情況下，|a-

4、b|=|a| |b|，是不正確的。因?yàn)閍b0，所以與該號所以=2，正確以|x-1| |x-2|的某種意義為人所知，|x-1| |x-2|1始終成立，正確?？偟膩碚f是正確的。所以選擇c。假設(shè)a、b、m、n-r和a2 b2=5，并且ma nb=5，則的最小值是答案分析通過柯西不等式得到(ma nb)2(m2 n2)(a2 b2)，即求出m2 n25、5、最小值。問題型1綜合法證明不等式已知(2018安徽百校模擬) a0，b0，函數(shù)f(x)=|2x a| 2 1的最小值是2。(1)求出ab的值(2)尋求證據(jù)： a log33-b。(1)如果絕對值碼中的x的系數(shù)相同，則利用絕對值不等式的性質(zhì)來消除x。

5、解(1) f (x )=|2 x a|2x-b|1|2x a-(2x-b )|1=|a b且僅在(2x a)(2x-b)0情況下等號成立，另外，因?yàn)槭莂0、b0，f(x )的最小值是a b 1=2，a b=1。(2)證明：由(1)可知，a b=1，=(a b)=1 4 5 2=9，只在=且a b=1即a=、b=的情況下取等號。log3log39=2，a b日志312=3，即a日志33-b。方法技巧用綜合法證明不等式的方法1 .用綜合法證明不等式，在尋求已知和證據(jù)期間，必須致力于分析不等式左右兩端之間的差異和關(guān)聯(lián)。 合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式是證明的關(guān)鍵。2 .用綜合法證明不等式時(shí)，最常用

6、不等式的性質(zhì)和基本不等式.運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，必須注意性質(zhì)成立的前提條件沖關(guān)適合訓(xùn)練(2018浙江金華模擬) x、y-r已為人所知。(1)x，y滿意|x-3y|，|x 2y|，尋求證據(jù)：|x|；(2)尋求證據(jù)： x416 y 4，2 x3y8xy 3。證明(1)利用絕對值不等式的性質(zhì)，即，x|=|2 (x-3 y )3(x2y )|2 (x-3 y )|3(x2y )|從(x4 16y4-(2x3y 8xy3)開始=x4-2x3y 16y4-8xy3=x3(x-2y) 8y3(2y-x )=(x-2y)(x3-8y3)=(x-2y)(x-2y)(x2 2xy 4y2)=(x-2 y )2 (x-y

7、 ) 23 y2，0，x4 16y42x3y 8xy3。問題型2分析法證明不等式設(shè)定為a、b、c0、ab bc ca=1。征求證據(jù)： (1)a b c；是(2) ()。包含根式的不等式考慮分析法證明(1)是ABC，是a、b、c0，所以(a b c)23，即證明a2 b2 c2 2(ab bc )從ab BC ca=a2b2c2(等號僅在a=b=c的情況下成立)開始，所以原不等式成立(2) =。在(1)中證明了a b c，要證明原不等式成立，也就是說，只要證明是a b cab bc ca即可。另外一方面，a=、b=、c=，由于成為a b cab bc ca(a=b=c=時(shí)等號成立)，所以原不等式

8、成立。方法技巧分析法證明不等式的想法用分析法證明不等式時(shí)，分析過程是要求結(jié)論成立的充分條件，不一定是充要條件，必須正確使用“要證”“只有要證”這一連接“關(guān)鍵詞”分析法和綜合法經(jīng)常結(jié)合使用，稱為分析綜合法，其本質(zhì)是活用已知的條件，同時(shí)始終瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，即不僅明確已知的，而且明確什么，通常用分析法找到解題構(gòu)想，用綜合法寫證題過程沖關(guān)適合訓(xùn)練1.ab0時(shí)，參考證：2a3-b32ab2-a2b。證明2a3-b32ab2-a2b成立，2a3-b3-2ab2 a2b0就可以了，即證明2a(a2-b2) b(a2-b2)0，也就是說，證明(a b)(a-b)(2a b)0。b 0，a-b，0，a b 0，2

9、 a b 0，因此，(a b )、(a-b )、(2a b )、(0)成立，2a3-b32ab2-a2b如果m0、a、b-r、試驗(yàn)證： 2。因?yàn)樽C明是m0，所以是1 m0。所以我們必須證明原不等式成立只要證明(a mb)2(1 m)(a2 mb2)即可，即證明m(a2-2ab b2)0，即證(a-b)20，另一方面，(a-b)20明顯成立，因此證明原不等式。問題型3反證法證明不等式(2015湖南高考) a0、b0，a b=.證明：(1)a b2；(2)a2 a2和b2 b2不能同時(shí)成立。否定形式的命題考慮使用反證法證明是a b=，a0，b0，ab=1(1)根據(jù)基本不等式及ab=1，有a b2=

10、2，即ab 2，只有在a=b=1的情況下等號成立。(2)如果a2 a2和b2 b2同時(shí)成立，則從a2 a2和a0獲得00、b1，如果a b=2，則差的最小值為()A.2 B.8 C.4 D.4 2答案d分析結(jié)果為a0、b1、a b=2，只在=(a b-1)=4 4 2=4 2，且a=(b-1)=的情況下取等號。最小值為4 2，因此選擇d。2 .設(shè)(2017紅花岡期) x、y、z-r且=1，求出x、y、z的最大值和最小值。求解x y z=4 2 2。根據(jù)柯西不等式，(x1x2 y1y2 z1z2)2(x y z)(x y z )2(16 5 4)=25，所以5，即-54 25，因此，XYZ-3，

11、7，因此，x y z的最大值為7，最小值為-3。3.(2017全國卷ii )已知的a0、b0、a3 b3=2.證明：(1) a、b、a5b 5、4。(2)a b2。證明(1)(a b)(a5 b5)=a6 ab5 a5b b6=(a3 b3)2-2a3b3 ab(a4 b4)=4 ab(a2-b2)24。(2)(a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3=2 3ab(a b )2 (a b)=2，(a b )因?yàn)槭?8，所以是a b2。南昌模擬函數(shù)f(x)=.如果(1)a=5，則求函數(shù)f(x )的定義域a。作為(2)a，b-(1，1，1 )來證明。解(1)為|x 1| |x 2|-50，在x-

12、2的情況下，為-2x-80，解為x-4。當(dāng)-20 )。如果(1)a=3，則求出與x相關(guān)的不等式f(x)0。(2)對于任意實(shí)數(shù)x，不均勻式f(x)-f(x a)0、a1。因此，實(shí)數(shù)a的可取值的范圍為(1，)。2.(2017河北石家莊二型)函數(shù)f(x)=|x-1|-|2x 1|的最大值為m。(1)制作函數(shù)f(x )的圖像(如果a2 2c2 3b2=m，則求出ab 2bc的最大值。解(f(x)=|x-1|-|2x 1|，所以f(x)=圖畫如圖由(1)可知m=。因?yàn)閙=a22 c23 b2=(a2b2)2(c2b2)2 ab4BC，在ab 2bc中，等號僅在a=b=c=時(shí)成立。所以ab 2bc的最大值是3.(2017廣東肇慶統(tǒng)訂