2018年高中數(shù)學 第1章 計數(shù)原理 1.2.2 第一課時 組合與組合數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3

1、第一課時的組合公式和組合數(shù)預習課本p21 24，思考并完成下列問題1.什么是組合的概念？2.密碼是多少？組合數(shù)的公式是什么？3.組合數(shù)的本質是什么？1.組合的概念從n個不同的元素中取出m(mn)個元素組成一個組稱為從n個不同的元素中取出m個元素的組合。2.組合數(shù)的概念、公式和性質組合的數(shù)量定義來自n個不同元素的m(mn)個元素的所有不同組合的數(shù)目被稱為來自n個不同元素的m個元素的組合的數(shù)目注釋C組合的數(shù)量公式產品配方C=階乘公式C=自然C=C_，C=C+C 評論n，mN*和mN；規(guī)定c=1【點睛之筆】排列和組合之間的聯(lián)系和區(qū)別連接：兩者都從n個不同的元素中提取m(nm)個元素。區(qū)別：排列與元素

2、的順序有關，但組合與元素的順序無關。只有兩個具有相同元素和相同順序的排列是相同的排列。只要兩個組合的元素相同，不管元素的順序如何，它們都是相同的組合。1.判斷下列命題是否正確。(正確鍵入“”和“錯誤鍵入”)(1) a、b和c中任意兩個元素的組合是c(2)可以通過將1、3、5和7的兩個數(shù)字相乘得到C乘積。()(3)1，2，3和3，2，1是相同的組合。()(4)碳=543=60。()回答：(1) (2) (3) (4)2.C=10，那么N的值是()A.10 B.5C.3 D.4答：乙3.從9名學生中選擇3名學生參加“希望英語”口語比賽。不同的選擇方法是()A.504種B. 729種C.84種，草2

3、7種回答：c。4.計算碳碳比=_ _ _ _ _ _ _?；卮穑?20組合的概念示例確定以下問題是組合問題還是排列問題：(1)讓集合a=a，b，c，d，e，集合a有多少子集包含三個元素？(2)如果一條鐵路線有五個車站，這條線應該準備多少種車票？多少種票價？(3)三個人做五種不同的工作，每人一份。有多少種分工？(4)給五個學生分發(fā)三本相同的書，每個學生最多只能拿到一本書。有多少種分配方法？解 (1)因為這個問題與元素的順序無關，所以它是一個組合問題。(2)由于甲站至乙站的車票與乙站至甲站的車票不同，這是一個安排問題，但票價與秩序無關。從甲站到乙站的票價與從乙站到甲站的票價相同，所以這是一個組合問

4、題。(3)因為分工的方法是從五種不同的工作中拿出三種工作，按一定的順序分配給三個人，所以這是一個安排的問題。(4)因為這三本書是一樣的，不管哪三個人分到這三本書，都沒有必要考慮他們的順序，所以這是一個組合問題。區(qū)分排列和組合的方法區(qū)分排列和組合的方法是先找出事件是什么，區(qū)分的標志是有沒有順序，而區(qū)分有沒有順序的方法是寫出問題的選擇結果，然后交換結果中任意兩個元素的位置，看是否會發(fā)生新的變化。如果有新的變化，這意味著有秩序，這是一個安排問題；如果沒有新的變化，就意味著沒有秩序，這是一個組合問題。學習和使用確定以下問題是組合問題還是排列問題：(1)分五本不同的書給五個學生，每本一本；(2)從7本不

5、同的書中拿出5本書給同學；(3)十個人互相寫了一封信，一共寫了幾封信；十個人打了一次又幾次電話。解決方法：(1)因為書是不同的，每個人每次得到不同的書，并且有一個順序，所以這是一個安排的問題。(2)從7本不同的書中，為某個同學拿出5本書。從每個方法中取出的5本書沒有考慮書的順序，所以這是一個組合問題。(3)因為在兩個人之間寫一封信與發(fā)送者和接收者的順序有關，所以這是一個安排的問題。(4)因為每個調用都沒有順序，所以這是一個組合問題。組合數(shù)的計算與證明典型示例 (1)計算c-ca；(2)證明：主控制器=數(shù)控。解決方案 (1)原始公式=C-A=-765=210-210=0。(2)證據：主成分=主成

6、分=n=nC。組合數(shù)公式的選擇技巧(1)涉及具體數(shù)字的可直接用c=C計算.(2)所涉及的字母可以用階乘公式c=計算。(3)計算時，應注意利用組合數(shù)C=C的性質，以簡化運算。學習和使用1.計算碳的值.解決方案：八9.5n10.5.nN*,n=10.C+C=C+C=C+C=+31=466.2.找出保持3c=5a的x值。解決方法：根據排列數(shù)和組合數(shù)的公式，原方程可以簡化為3=5，即=，即，(x-3) (x-6)=40。 x=-2-9x-22=0，解是x=11或x=-2。當X=11時，原來的公式成立。3.證明以下等式。(1)碳=碳；(2)碳+碳+碳+碳=碳解決方案：(1)右側=c=左，原來的公式成立。

7、(2)左側=(c c)c cc=(c c)c=(c3n 4 c)c=c c=右側。簡單組合問題【例】在一次數(shù)學競賽中，一所學校有12個人通過了初試，學校應該選擇5個人參加市級培訓。在下列條件下有多少種不同的方法？(1)隨意選擇5個人；(2)甲、乙、丙三方必須參加；(3)甲、乙、丙三方不能參加。解決方案 (1) C=792種不同的方法。(2)甲、乙、丙三方必須參加，只需從其他9人中選擇2人，共C=36種不同方式。(3)甲、乙、丙三方不能參加，從其他9人中選擇5人，有126種不同的選擇方式。解決簡單組合問題的思維方法(1)找出它要做什么；(2)所選元素是否與訂單相關，即是否為組合問題；(3)結合兩

8、個計數(shù)的原理，利用組合數(shù)公式得出結果。學習和使用1.一個口袋里有7個相同大小的白色球和1個黑色球。(1)從口袋里拿出三個球。有多少種方法？(2)從口袋里拿出三個球，讓它們包含一個黑球。有多少種方法？(3)從口袋里拿出三個球，這樣就沒有黑色的球了。有多少種方法？解決方法：(1)從口袋里的8個球中取出3個球，所選物種的數(shù)量為c=56。(2)從口袋中取出的三個球中有一個是黑色的球，所以應該從七個白色的球中再取出兩個球，取出的球的種類數(shù)是C=21。(3)因為在取出的三個球中沒有黑球，也就是說，應該從七個白球中取出三個球，并且所采取的方法的數(shù)量是C=35。2.共有16張不同的卡片，包括4張紅色、黃色、藍

9、色和綠色卡片，其中3張應該被選中。要求這3張牌不能是同一個顏色，最多只能有一張紅牌。有多少種不同的方法？解決方案：它分為兩類：第一類包含一張紅牌，并且有不同的方式取CC=264(種)；在第二類中，沒有紅牌，有不同的方法：C-3C=220-12=208(物種)。根據分類、加法和計數(shù)的原則，有264 208=472(種)。一級學術水平達到標準1.c的值是()A.36 B.84C.88 D.504分析：選擇空調=空調=空調=84。2.以下四個命題屬于組合問題()A.從三個不同的球中，取出兩個并排列成一排B.老師在安排座位時把兩個學生安排在同一張桌子上C.在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出兩

10、顆幸運星D.從13個司機中選擇兩個駕駛兩輛車從甲到乙分析：選擇C選項A是一個排列問題，因為兩個球有順序；選項B是一個排列問題，因為A和B互換后位置不同；選項c是一個組合問題，因為兩個觀眾沒有順序；選項d是一個安排問題，因為兩個司機開的是不同的車。選擇c .3.方程C=C的解集是()A.4 B.14C.4或6 D.14或2分析：根據問題的意思選擇C或X=4或6。4.一家公司新招聘了5名員工，并將他們分配到下屬的A部門和B部門，其中兩名英語翻譯不能分配到同一個部門；另外三個計算機程序員不能都分配到同一個部門，所以不同的分配方案的數(shù)量是()A.6 B.12C.24 D.36分析：B部門的一名計算機程

11、序員有CCC分配方案，A部門的兩名計算機程序員有CCC分配方案。根據分類、加法和計數(shù)的原則，有12種不同的分配方案。5.五名志愿者中有四名被選中在星期六和星期天參加公益活動，每人一天，每天兩次。有不同的選擇方法()A.60種B. 48種C.30種，草10種分析：有C種方法選擇C派五名志愿者中的兩人參加周六的公益活動，有C種方法從剩余的三人中派兩人參加周日的公益活動。根據分步乘法和計數(shù)的原理，有30種不同的發(fā)送方法。因此，c .6.碳碳碳的價值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：原始公式=c c c c=C+C+C=碳+碳=碳=碳=7 315?；卮穑? 3157.如果集合P=1，2，3

12、，4，5，6是已知的，則在集合P的子集中包含三個元素的子集的數(shù)目是_ _ _ _ _ _ _ _。分析：由于集合中的元素是無序的，三個元素的子集的個數(shù)與元素的順序無關，這是一個組合問題，共有20種。答案：208.不等式C-N5的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _。解析：從c-n5獲取-n5。 N2-3n-100。解決方案是- 23C。解答：(1)原始方程等價于m(m-1)(m-2)=6，4=m-3,m=7.(2)眾所周知：x8和xN*，* C3C，.也就是說， x3 (9-x)，求解得到x，x=7,8.原不等式的解集是7，8。10.某區(qū)有7條南北向街道和5條東西向街道。(如圖)(1)圖片

13、中有多少個矩形？(2)從甲點到乙點最短的路是什么？解決方法：(1)從7條南北向街道中選擇2條，從5條東西向街道中選擇2條，這樣4條線就可以形成一個矩形，所以有CC=210個矩形。(2)每條東西向街道分為6段，每條南北向街道分為4段。從甲到乙的最短路線必須包括至少10個路段，其中6個路段方向相同，另外4個路段方向相同。每條路線從10個路段中選擇6個路段，這6個路段為東西向(其余4個路段為南北向)，共C=C=二級考試能力符合標準1.如果是CC，n的集合是()A.6，7，8，9 B.0，1，2，3C.n|n6 D.7，8，9分析：選擇cc)nN*,n=6,7,8,9.n的集合是6，7，8，9。2.將

14、6張標有1、2、3、4、5、6的卡片放入3個不同的信封中。如果每個信封中放有兩張卡片，并且標有1，2的卡片放在同一個信封中，則不同的放置方法是常見的()A.B. 18種C.36種，約54種分析：選擇B取決于問題的含義，有18種不同的玩法。3.如果從9個整數(shù)1，2，3中取4個不同的數(shù)字，同時，9和總和是偶數(shù)，那么不同的方法是共享的()A.60種B. 63種C.65種，約66種分析：選擇D和偶數(shù)有三種情況。當4個數(shù)字是偶數(shù)時有C=1的方法，當2個奇數(shù)和2個偶數(shù)時有CC=60的方法，當4個數(shù)字是奇數(shù)時有C=5的方法，所以有1 60 5=66種不同的方法。4.有15條直線穿過三棱柱的任意兩個頂點，其中不同平面上的直線有()A.18至B. 24至C.30到36到分析：選取六個D三棱柱頂點，其中六個頂點可以形成C-3=12個不同的四面體，每個四面體在不同的平面上有三對直線，總共有123=36對。5.等式的解集解析：因為c=c c，c=c，根據組合數(shù)公式的性質，x-1=2x 2或x-1 2x 2=16，x1=-3(略)，x2=5。回答：56.一個同學有兩個相同的圖畫書和三個相同的集郵冊，其中四個