2018年高中數(shù)學(xué) 第1章 計(jì)數(shù)原理 1.2.2 第一課時(shí) 組合與組合數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3

1、第一課時(shí)的組合公式和組合數(shù)預(yù)習(xí)課本p21 24，思考并完成下列問(wèn)題1.什么是組合的概念？2.密碼是多少？組合數(shù)的公式是什么？3.組合數(shù)的本質(zhì)是什么？1.組合的概念從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素組成一個(gè)組稱(chēng)為從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合。2.組合數(shù)的概念、公式和性質(zhì)組合的數(shù)量定義來(lái)自n個(gè)不同元素的m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的數(shù)目被稱(chēng)為來(lái)自n個(gè)不同元素的m個(gè)元素的組合的數(shù)目注釋C組合的數(shù)量公式產(chǎn)品配方C=階乘公式C=自然C=C_，C=C+C 評(píng)論n，mN*和mN；規(guī)定c=1【點(diǎn)睛之筆】排列和組合之間的聯(lián)系和區(qū)別連接：兩者都從n個(gè)不同的元素中提取m(nm)個(gè)元素。區(qū)別：排列與元素

2、的順序有關(guān)，但組合與元素的順序無(wú)關(guān)。只有兩個(gè)具有相同元素和相同順序的排列是相同的排列。只要兩個(gè)組合的元素相同，不管元素的順序如何，它們都是相同的組合。1.判斷下列命題是否正確。(正確鍵入“”和“錯(cuò)誤鍵入”)(1) a、b和c中任意兩個(gè)元素的組合是c(2)可以通過(guò)將1、3、5和7的兩個(gè)數(shù)字相乘得到C乘積。()(3)1，2，3和3，2，1是相同的組合。()(4)碳=543=60。()回答：(1) (2) (3) (4)2.C=10，那么N的值是()A.10 B.5C.3 D.4答：乙3.從9名學(xué)生中選擇3名學(xué)生參加“希望英語(yǔ)”口語(yǔ)比賽。不同的選擇方法是()A.504種B. 729種C.84種，草2

3、7種回答：c。4.計(jì)算碳碳比=_ _ _ _ _ _ _?；卮穑?20組合的概念示例確定以下問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)讓集合a=a，b，c，d，e，集合a有多少子集包含三個(gè)元素？(2)如果一條鐵路線(xiàn)有五個(gè)車(chē)站，這條線(xiàn)應(yīng)該準(zhǔn)備多少種車(chē)票？多少種票價(jià)？(3)三個(gè)人做五種不同的工作，每人一份。有多少種分工？(4)給五個(gè)學(xué)生分發(fā)三本相同的書(shū)，每個(gè)學(xué)生最多只能拿到一本書(shū)。有多少種分配方法？解 (1)因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題與元素的順序無(wú)關(guān)，所以它是一個(gè)組合問(wèn)題。(2)由于甲站至乙站的車(chē)票與乙站至甲站的車(chē)票不同，這是一個(gè)安排問(wèn)題，但票價(jià)與秩序無(wú)關(guān)。從甲站到乙站的票價(jià)與從乙站到甲站的票價(jià)相同，所以這是一個(gè)組合問(wèn)

4、題。(3)因?yàn)榉止さ姆椒ㄊ菑奈宸N不同的工作中拿出三種工作，按一定的順序分配給三個(gè)人，所以這是一個(gè)安排的問(wèn)題。(4)因?yàn)檫@三本書(shū)是一樣的，不管哪三個(gè)人分到這三本書(shū)，都沒(méi)有必要考慮他們的順序，所以這是一個(gè)組合問(wèn)題。區(qū)分排列和組合的方法區(qū)分排列和組合的方法是先找出事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有沒(méi)有順序，而區(qū)分有沒(méi)有順序的方法是寫(xiě)出問(wèn)題的選擇結(jié)果，然后交換結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)發(fā)生新的變化。如果有新的變化，這意味著有秩序，這是一個(gè)安排問(wèn)題；如果沒(méi)有新的變化，就意味著沒(méi)有秩序，這是一個(gè)組合問(wèn)題。學(xué)習(xí)和使用確定以下問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)分五本不同的書(shū)給五個(gè)學(xué)生，每本一本；(2)從7本不

5、同的書(shū)中拿出5本書(shū)給同學(xué)；(3)十個(gè)人互相寫(xiě)了一封信，一共寫(xiě)了幾封信；十個(gè)人打了一次又幾次電話(huà)。解決方法：(1)因?yàn)闀?shū)是不同的，每個(gè)人每次得到不同的書(shū)，并且有一個(gè)順序，所以這是一個(gè)安排的問(wèn)題。(2)從7本不同的書(shū)中，為某個(gè)同學(xué)拿出5本書(shū)。從每個(gè)方法中取出的5本書(shū)沒(méi)有考慮書(shū)的順序，所以這是一個(gè)組合問(wèn)題。(3)因?yàn)樵趦蓚€(gè)人之間寫(xiě)一封信與發(fā)送者和接收者的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)安排的問(wèn)題。(4)因?yàn)槊總€(gè)調(diào)用都沒(méi)有順序，所以這是一個(gè)組合問(wèn)題。組合數(shù)的計(jì)算與證明典型示例 (1)計(jì)算c-ca；(2)證明：主控制器=數(shù)控。解決方案 (1)原始公式=C-A=-765=210-210=0。(2)證據(jù)：主成分=主成

6、分=n=nC。組合數(shù)公式的選擇技巧(1)涉及具體數(shù)字的可直接用c=C計(jì)算.(2)所涉及的字母可以用階乘公式c=計(jì)算。(3)計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意利用組合數(shù)C=C的性質(zhì)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。學(xué)習(xí)和使用1.計(jì)算碳的值.解決方案：八9.5n10.5.nN*,n=10.C+C=C+C=C+C=+31=466.2.找出保持3c=5a的x值。解決方法：根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式，原方程可以簡(jiǎn)化為3=5，即=，即，(x-3) (x-6)=40。 x=-2-9x-22=0，解是x=11或x=-2。當(dāng)X=11時(shí)，原來(lái)的公式成立。3.證明以下等式。(1)碳=碳；(2)碳+碳+碳+碳=碳解決方案：(1)右側(cè)=c=左，原來(lái)的公式成立。

7、(2)左側(cè)=(c c)c cc=(c c)c=(c3n 4 c)c=c c=右側(cè)。簡(jiǎn)單組合問(wèn)題【例】在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一所學(xué)校有12個(gè)人通過(guò)了初試，學(xué)校應(yīng)該選擇5個(gè)人參加市級(jí)培訓(xùn)。在下列條件下有多少種不同的方法？(1)隨意選擇5個(gè)人；(2)甲、乙、丙三方必須參加；(3)甲、乙、丙三方不能參加。解決方案 (1) C=792種不同的方法。(2)甲、乙、丙三方必須參加，只需從其他9人中選擇2人，共C=36種不同方式。(3)甲、乙、丙三方不能參加，從其他9人中選擇5人，有126種不同的選擇方式。解決簡(jiǎn)單組合問(wèn)題的思維方法(1)找出它要做什么；(2)所選元素是否與訂單相關(guān)，即是否為組合問(wèn)題；(3)結(jié)合兩

8、個(gè)計(jì)數(shù)的原理，利用組合數(shù)公式得出結(jié)果。學(xué)習(xí)和使用1.一個(gè)口袋里有7個(gè)相同大小的白色球和1個(gè)黑色球。(1)從口袋里拿出三個(gè)球。有多少種方法？(2)從口袋里拿出三個(gè)球，讓它們包含一個(gè)黑球。有多少種方法？(3)從口袋里拿出三個(gè)球，這樣就沒(méi)有黑色的球了。有多少種方法？解決方法：(1)從口袋里的8個(gè)球中取出3個(gè)球，所選物種的數(shù)量為c=56。(2)從口袋中取出的三個(gè)球中有一個(gè)是黑色的球，所以應(yīng)該從七個(gè)白色的球中再取出兩個(gè)球，取出的球的種類(lèi)數(shù)是C=21。(3)因?yàn)樵谌〕龅娜齻€(gè)球中沒(méi)有黑球，也就是說(shuō)，應(yīng)該從七個(gè)白球中取出三個(gè)球，并且所采取的方法的數(shù)量是C=35。2.共有16張不同的卡片，包括4張紅色、黃色、藍(lán)

9、色和綠色卡片，其中3張應(yīng)該被選中。要求這3張牌不能是同一個(gè)顏色，最多只能有一張紅牌。有多少種不同的方法？解決方案：它分為兩類(lèi)：第一類(lèi)包含一張紅牌，并且有不同的方式取CC=264(種)；在第二類(lèi)中，沒(méi)有紅牌，有不同的方法：C-3C=220-12=208(物種)。根據(jù)分類(lèi)、加法和計(jì)數(shù)的原則，有264 208=472(種)。一級(jí)學(xué)術(shù)水平達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)1.c的值是()A.36 B.84C.88 D.504分析：選擇空調(diào)=空調(diào)=空調(diào)=84。2.以下四個(gè)命題屬于組合問(wèn)題()A.從三個(gè)不同的球中，取出兩個(gè)并排列成一排B.老師在安排座位時(shí)把兩個(gè)學(xué)生安排在同一張桌子上C.在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運(yùn)觀眾中選出兩

10、顆幸運(yùn)星D.從13個(gè)司機(jī)中選擇兩個(gè)駕駛兩輛車(chē)從甲到乙分析：選擇C選項(xiàng)A是一個(gè)排列問(wèn)題，因?yàn)閮蓚€(gè)球有順序；選項(xiàng)B是一個(gè)排列問(wèn)題，因?yàn)锳和B互換后位置不同；選項(xiàng)c是一個(gè)組合問(wèn)題，因?yàn)閮蓚€(gè)觀眾沒(méi)有順序；選項(xiàng)d是一個(gè)安排問(wèn)題，因?yàn)閮蓚€(gè)司機(jī)開(kāi)的是不同的車(chē)。選擇c .3.方程C=C的解集是()A.4 B.14C.4或6 D.14或2分析：根據(jù)問(wèn)題的意思選擇C或X=4或6。4.一家公司新招聘了5名員工，并將他們分配到下屬的A部門(mén)和B部門(mén)，其中兩名英語(yǔ)翻譯不能分配到同一個(gè)部門(mén)；另外三個(gè)計(jì)算機(jī)程序員不能都分配到同一個(gè)部門(mén)，所以不同的分配方案的數(shù)量是()A.6 B.12C.24 D.36分析：B部門(mén)的一名計(jì)算機(jī)程

11、序員有CCC分配方案，A部門(mén)的兩名計(jì)算機(jī)程序員有CCC分配方案。根據(jù)分類(lèi)、加法和計(jì)數(shù)的原則，有12種不同的分配方案。5.五名志愿者中有四名被選中在星期六和星期天參加公益活動(dòng)，每人一天，每天兩次。有不同的選擇方法()A.60種B. 48種C.30種，草10種分析：有C種方法選擇C派五名志愿者中的兩人參加周六的公益活動(dòng)，有C種方法從剩余的三人中派兩人參加周日的公益活動(dòng)。根據(jù)分步乘法和計(jì)數(shù)的原理，有30種不同的發(fā)送方法。因此，c .6.碳碳碳的價(jià)值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：原始公式=c c c c=C+C+C=碳+碳=碳=碳=7 315?；卮穑? 3157.如果集合P=1，2，3

12、，4，5，6是已知的，則在集合P的子集中包含三個(gè)元素的子集的數(shù)目是_ _ _ _ _ _ _ _。分析：由于集合中的元素是無(wú)序的，三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)與元素的順序無(wú)關(guān)，這是一個(gè)組合問(wèn)題，共有20種。答案：208.不等式C-N5的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _。解析：從c-n5獲取-n5。 N2-3n-100。解決方案是- 23C。解答：(1)原始方程等價(jià)于m(m-1)(m-2)=6，4=m-3,m=7.(2)眾所周知：x8和xN*，* C3C，.也就是說(shuō)， x3 (9-x)，求解得到x，x=7,8.原不等式的解集是7，8。10.某區(qū)有7條南北向街道和5條東西向街道。(如圖)(1)圖片

13、中有多少個(gè)矩形？(2)從甲點(diǎn)到乙點(diǎn)最短的路是什么？解決方法：(1)從7條南北向街道中選擇2條，從5條東西向街道中選擇2條，這樣4條線(xiàn)就可以形成一個(gè)矩形，所以有CC=210個(gè)矩形。(2)每條東西向街道分為6段，每條南北向街道分為4段。從甲到乙的最短路線(xiàn)必須包括至少10個(gè)路段，其中6個(gè)路段方向相同，另外4個(gè)路段方向相同。每條路線(xiàn)從10個(gè)路段中選擇6個(gè)路段，這6個(gè)路段為東西向(其余4個(gè)路段為南北向)，共C=C=二級(jí)考試能力符合標(biāo)準(zhǔn)1.如果是CC，n的集合是()A.6，7，8，9 B.0，1，2，3C.n|n6 D.7，8，9分析：選擇cc)nN*,n=6,7,8,9.n的集合是6，7，8，9。2.將

14、6張標(biāo)有1、2、3、4、5、6的卡片放入3個(gè)不同的信封中。如果每個(gè)信封中放有兩張卡片，并且標(biāo)有1，2的卡片放在同一個(gè)信封中，則不同的放置方法是常見(jiàn)的()A.B. 18種C.36種，約54種分析：選擇B取決于問(wèn)題的含義，有18種不同的玩法。3.如果從9個(gè)整數(shù)1，2，3中取4個(gè)不同的數(shù)字，同時(shí)，9和總和是偶數(shù)，那么不同的方法是共享的()A.60種B. 63種C.65種，約66種分析：選擇D和偶數(shù)有三種情況。當(dāng)4個(gè)數(shù)字是偶數(shù)時(shí)有C=1的方法，當(dāng)2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)時(shí)有CC=60的方法，當(dāng)4個(gè)數(shù)字是奇數(shù)時(shí)有C=5的方法，所以有1 60 5=66種不同的方法。4.有15條直線(xiàn)穿過(guò)三棱柱的任意兩個(gè)頂點(diǎn)，其中不同平面上的直線(xiàn)有()A.18至B. 24至C.30到36到分析：選取六個(gè)D三棱柱頂點(diǎn)，其中六個(gè)頂點(diǎn)可以形成C-3=12個(gè)不同的四面體，每個(gè)四面體在不同的平面上有三對(duì)直線(xiàn)，總共有123=36對(duì)。5.等式的解集解析：因?yàn)閏=c c，c=c，根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)，x-1=2x 2或x-1 2x 2=16，x1=-3(略)，x2=5?；卮穑?6.一個(gè)同學(xué)有兩個(gè)相同的圖畫(huà)書(shū)和三個(gè)相同的集郵冊(cè)，其中四個(gè)