2018年高中數(shù)學(xué) 第2章 概率 2.5.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修2-3

1、2.5.2離散型隨機(jī)變量的方差預(yù)習(xí)教科書P6467，考慮下面的問題并完成1 .離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義是什么？2 .方差具有什么性質(zhì)？3 .兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的方差分別是什么？1 .離散型隨機(jī)變量的方差(1)將離散型隨機(jī)變量x的分布列xx1x2是西是xn號(hào)驅(qū)逐艦p型p1p2是飛彈是pn將D(X)=(xi-E(X)2pi稱為隨機(jī)變量x的方差，將其算術(shù)平方根稱為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)偏差。(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差全部反映隨機(jī)變量取的值偏離平均的平均程度，方差或者標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，隨機(jī)變量偏離平均的平均程度越小2 .常見的幾個(gè)結(jié)論(1)D(aX b)=a2D(X )。(2)當(dāng)x遵循兩點(diǎn)分布時(shí)，

2、D(X)=p(1-p )。如果是x到XB(n，p )，則D(X)=np(1-p )。地址1 .判斷下面的命題是否正確。(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定。如果(2)a是常數(shù)，則D(a)=0. ()(3)離散型隨機(jī)變量的分散反映了隨機(jī)變量偏離期望的平均值的程度。回答： (1) (2)。2 .如果隨機(jī)變量x遵循兩點(diǎn)分布并且成功概率p=0.5，則E(X )和D(X )分別是()A.0.5和0.25 B.0.5和0.75C.1和0.25 D.1和0.75回答： a3.D(-D() )的值是()求不到a.b.0C.D() D.2D()回答： c4 .牧場(chǎng)的10頭牛，由于誤食被瘋牛病弄臟了的飼

3、料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病牛的頭數(shù)為x的話，D(X )就變成回答：0.196求離散型隨機(jī)變量的方差問題1 :用定義求出離散型隨機(jī)變量的方差1 .已知隨機(jī)變量x的分布列如下：x012345p型0.10.150.250.250.150.1成為d (x )=_ _ _ _ _ _ .解析：從e (x )=0. 10.1510. 2520. 2530. 1540. 15=2. 5開始。d (x )=(0-2.5) 20.1 (1-2.5) 20.15 (2-2.5) 20.25 (3-2.5) 20.25回答：2.05問題2 :兩點(diǎn)分布的方差2 .如果某選手的投籃命中率p=0.8，

4、則該選手在一次投籃中的命中次數(shù)的分散為解析：按題意，服從二點(diǎn)分布D()=0.8(1-0.8)=0.16?；卮穑?.16問題3 :二元分布的方差3 .假定出租車司機(jī)從酒店到車站的路上有6個(gè)派出所，他在各派出所遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，概率是(1)讓該司機(jī)求紅燈數(shù)的期待與方差(2)遇到紅燈時(shí)，等待30秒，求司機(jī)的修正等待時(shí)間的期待和方差解： (1)司機(jī)遇到紅燈的次數(shù)遵循二項(xiàng)分布，BE()=6=2，D()=6=。(2)根據(jù)已知=30，E()=30E()=60，D()=900D()=1 200。求離散型隨機(jī)變量x的方差(1)理解x的意思，寫出x能取的所有值(2)求出x取各值的概率，寫出分布列(3)根

5、據(jù)分布列，根據(jù)期望的定義求出E(X )由(4)式訂正方差。離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)典型例已知的隨機(jī)變量x的分布列x01234p型0.20.20.30.20.1試著求出D(X )和D(2X-1 )。解e(x)=00.2 10.2 20.3 30.2 40.1=1.8。d (x )=(0-1.8) 20.2 (1-1.8) 20.2 (2-1.8) 20.3 (3-1.8) 20.2利用方差的性質(zhì)D(aX b)=a2D(X )。D(X)=1.56，D(2X-1)=4D(X)=41.56=6.24。一種求隨機(jī)變量函數(shù)Y=aX b方差的方法求隨機(jī)變量函數(shù)Y=aX b的方差，一個(gè)是求y的分布列，求其平均

6、值，最后求方差的第二個(gè)是用公式D(aX b)=a2D(X )求解?；钣靡阎碾S機(jī)變量的分布列如下01xp型p型E()=。(1)求出1)d()的值(=3-2時(shí)，求出的值。解：從分布列的性質(zhì)來看，p=1，解到p=、E()=0 1 x=，x=2。(1)D()=2 2 2=。=3- 2，D()=D(3-2)=9D()=5。分散的實(shí)際問題典型例為了選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手，對(duì)甲、乙兩個(gè)射手進(jìn)行了選拔測(cè)試，甲、乙兩個(gè)射手在一次射擊中的得分是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量、甲、乙兩個(gè)射手在一次射擊中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，甲(1)求出、的分布列(2)求出、的數(shù)學(xué)期待與方差，從而比較甲、乙的射擊技術(shù)，從中選拔一人根據(jù)題意，解是0.

7、5 3a a 0.1=1，解是a=0.1。乙方命中10、9、8環(huán)的概率分別為0.3、0.3、0.2，乙方擊中7環(huán)的概率為1-(0.3 0.3 0.2)=0.2。、的分布列分別為10987p型0.50.30.10.110987p型0.30.30.20.2(2)可從(1)中獲得E()=100.5 90.3 80.1 70.1=9.2(環(huán))。E()=100.3 90.3 80.2 70.2=8.7(環(huán))。d ()=(10-9.2 ) 20.5 (9-9.2) 20.3 (8-9.2) 20.1 (7-9.2) 20.1=0. 96。d ()=(10-8.7 ) 20.3 (9-8.7) 20.3 (

8、8-8.7) 20.2 (7-8.7) 20.2=1. 21。由于E()E()，說明甲平均命中的環(huán)數(shù)比乙高而且，D()D(X乙)、乙種水稻比甲種水稻分蘗更整齊。如果在x到b (n，p )之間，E(X)=6，D(X)=3，則P(X=1)的值為()A.32-2 B.2-4C.32-10 D.2-8分析： C E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3，p=，n=12，P(X=1)=C11=32-10。3 .如果設(shè)隨機(jī)變量x的概率分布矩陣為p (x=k )=PK (1p )1k (k=0，1 )，則E(X )和D(X )的值分別為()A.0和1 B.p和p2C.p和1-p D.p和(1-p)p

9、解析：選擇d是從x的分布得知的，因?yàn)镻(X=0)=1-p，P(X=1)=p，所以E(X)=0(1-p) 1p=p。已知隨機(jī)變量X =8，如果是xb (10，0.6 )，則E()、D()分別為()A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6分析： b-x到b (10，0.6 )，E(X)=100.6=6，D(X)=100.6(1-0.6)=2.4E()=8-E(X)=2，D()=(-1)2D(X)=2.4。設(shè)定為5.10x1d(2 )B.D(1)=D(2 )C.D(1)D(2 )。6 .如果事件在一次測(cè)試中發(fā)生的次數(shù)的方差等于0.25，則該事件在一次測(cè)試中發(fā)生的概率為_。分析：如

10、果將事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，則按照二點(diǎn)分布，由于D()=p(1-p )，所以p(1-p)=0.25，p=0.5?；卮穑?.5已知7概率變量x遵循二項(xiàng)分布B(n，p )。 如果E(X)=30，而D(X)=20，則p=_ _ _ _ .分析：可從E(X)=30、D(X)=20獲得解p=.答案：8 .已知離散型隨機(jī)變量x的分布如下表所示x-1012p型a乙c如果E(X)=0，D(X)=1，則a=_ _ _ _ _ _，b=_ _ .解析：從題意求解a=、b=c=.答案：9.A、b兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%p型0.80.2X22%8%12%p型0.20.50.3對(duì)a、b兩個(gè)項(xiàng)目分別投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目a和b得到的利潤(rùn)，求方差D(Y1)、D(Y2)。解：從問題設(shè)定可以看出Y1和Y2的分布列分別是Y1510p型0.80.2Y22812p型0.20.50.3E(Y1)=50.8 100.2=6，D(Y1)=(5-6)20.8 (10-6)20.2=4。E(Y2)=20.2 80.5 120.3=8，d (y2)=(2-8) 20.2 (8-8) 20.5 (12-8 ) 20.3=12。10 .根據(jù)過去的統(tǒng)訂資料，某車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)