線性代數(shù)實(shí)踐(教師班第9講).ppt

1、第9章 線性變換及其特征,9.1 平面上線性變換的幾何意義,例9.1 設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊，其四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)據(jù)可寫成 把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果yi=Ai*x。用程序ag911進(jìn)行變換計(jì)算，并畫出x及yi圖形： x0,1,1,0;0,0,1,1; subplot(2,3,1), fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r) A11,0;0,1, y1A1*x subplot(2,3,2), fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g) ,幾種變換的行列式與特征值,看出的基本關(guān)系,可以看出，矩陣A1使原圖對(duì)縱軸生成鏡像，矩陣A2使原圖在

2、橫軸方向膨脹，矩陣A3使原圖在縱軸方向壓縮，矩陣A4使原圖向右方剪切變形，矩陣A5使原圖沿反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)tpi/6。分別計(jì)算出這五個(gè)矩陣的行列式和特征值， 對(duì)二維空間（平面），行列式的幾何意義實(shí)際上是兩個(gè)向量所構(gòu)成的平行四邊形的面積。一個(gè)變換所造成的圖形的面積變化，取決于該變換的行列式。 A1 ,A4和A5的行列式絕對(duì)值都是1，所以它們不會(huì)使變換后圖形的面積發(fā)生改變。而A2和A3的行列式分別為1.5和0.2，,9.2 二維矩陣特征值的幾何意義,二維矩陣的特征值表示該變換在原圖形的特征向量的方向上的放大量。例如矩陣A1在第一特征向 量 方向的特征值為，即橫軸 正方向的增益為1，其結(jié)果是把原圖中橫

3、軸正方向的部分變換到新圖的負(fù)方向去了； A1在第二特 征向量 的方向的特征值為1(2)=1， 即縱軸正方向的增益為1，因而保持了新圖和原圖在縱軸方向尺度不變。,用eigshow函數(shù)看特征值,對(duì)于比較復(fù)雜的情況，完全憑簡單的幾何關(guān)系去想像是困難的，應(yīng)當(dāng)用eigshow函數(shù)，聯(lián)系x和Ax的向量圖來思考。 鍵入eigshow(A4) 。綠色的x表示原坐標(biāo)系中的單位向量，可以用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住x并拖動(dòng)它圍繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。圖中同時(shí)出現(xiàn)以藍(lán)色表示的Ax向量，它表示變換后的新向量。當(dāng)兩個(gè)向量處在同一條直線上時(shí)（包括同向和反向），表示兩者相位相同，只存在一個(gè)（可正可負(fù)的）實(shí)數(shù)乘子， Axx,Eigshow(A4)產(chǎn)生

4、的圖形,eigshow(1,2; 2,2)的圖形,將eigshow(1,2; 2,2)粘貼到命令窗,A是對(duì)稱實(shí)矩陣的情況,特別要注意A是對(duì)稱實(shí)矩陣的情況，所謂對(duì)稱矩陣是滿足ATA的矩陣。，對(duì)22矩陣，只要求A(1,2) A(2,1)。例如令A(yù) =1,2;2,2 再鍵入eigshow(A)，這時(shí)的特點(diǎn)是：Axx出現(xiàn)在Ax橢圓軌跡的主軸上，所以兩個(gè)特征值分別對(duì)應(yīng)于單位圓映射的橢圓軌跡的長軸和短軸。此時(shí)A的特征值為 -0.5616和 3.5616，可以和圖形對(duì)照起來看。,例9.2 斜體字的生成,數(shù)據(jù)矩陣 表示英文大寫空心字母N的各個(gè)節(jié)點(diǎn) （1）用plot語句在子圖1中畫出其形狀； （2）取 作為變換

5、矩陣對(duì)x進(jìn)行變 換，并在子圖2中畫出其圖形； 畫圖的要點(diǎn)是要在給定的數(shù)據(jù)右方，補(bǔ)上第一點(diǎn)的坐標(biāo)，使畫出的圖形封閉。,程序與圖形結(jié)果,x00,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8; xx0,x0(:,1); % 把首頂點(diǎn)坐標(biāo)補(bǔ)到末頂點(diǎn)后 A1,0.25;0,1; yA*x; subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:) subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:) 畫出的兩個(gè)圖形如右：,平移運(yùn)動(dòng)不能用二維變換實(shí)現(xiàn),剛體在平面上的運(yùn)動(dòng)要用兩個(gè)平移和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)來描述，轉(zhuǎn)動(dòng)可以從上面的線性變換A5得到，但平移y

6、xc卻不是一個(gè)線性變換。因?yàn)椋?（1）設(shè)yaxac；ybxbc；則它們的和為 yyaybxaxb2cxc， 可見，它對(duì)加法不封閉； （2）設(shè)yaxac；將它乘以常數(shù)k， ykyak(xac)kxakckxacxc， 可見，它對(duì)乘法也不封閉；就是說，這不符合線性變換的規(guī)則，x和y 不屬于同一個(gè)向量空間，無法用矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)平移變換yxc。,平面運(yùn)動(dòng)模型的齊次坐標(biāo)系,把平面問題映射到高維的空間來建立方程，有可能把x和y由擴(kuò)展了的向量空間來覆蓋。把原來通過原點(diǎn)的平面沿垂直方向提高一個(gè)單位，與原平面保持平行，于是原來的x就用三維向量來表示為： 這樣的坐標(biāo)系稱為齊次坐標(biāo)系。,剛體平面運(yùn)動(dòng)用線性變換描述,

7、此時(shí)可以把平移矩陣寫成： 因而平移運(yùn)動(dòng)y就可用x經(jīng)線性變換實(shí)現(xiàn)了。 這個(gè)方法在研究剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)非常有用。,同時(shí)有旋轉(zhuǎn)和平移的情況,對(duì)象若同時(shí)有旋轉(zhuǎn)和平移，則可以分別列出旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣。不過此時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣也要改為33維，這可以把上述A5中增加第三行和第三列，置A(3,3)1，其余新增元素為零。 這就是既包括平移，又包括轉(zhuǎn)動(dòng)的平面齊次坐標(biāo)系內(nèi)的變換矩陣。,例9.3 剛體平面運(yùn)動(dòng)描述,設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(1,1),(0,2)，今要使它旋轉(zhuǎn)30度，右移2，上移3，以試設(shè)計(jì)變換矩陣A，并畫出變換前后的圖形。 解：程序的要點(diǎn)是： 1。列出三角形的數(shù)據(jù)矩陣 2。擴(kuò)展為齊次坐標(biāo)(第三行

8、加1) 3。平移和轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣也 要用三維的變換矩陣 4。按變換次序左乘 5。繪圖,9.3 空間線性變換的幾何意義,三維空間線性變換最直接的幾何意義和應(yīng)用價(jià)值可以從飛行器的三維轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)中得到解釋。飛行器在空中可以圍繞三個(gè)軸旋轉(zhuǎn)。假如它在向北飛行，機(jī)頭正對(duì)北方，則它圍繞鉛垂軸的旋轉(zhuǎn)角稱為偏航角（Yaw），它描述了飛機(jī)左右的偏轉(zhuǎn)，用u表示；圍繞翼展軸的旋轉(zhuǎn)角稱為傾斜角（Pitch），它描述了飛機(jī)俯仰姿態(tài)，用v表示；圍繞機(jī)身軸的旋轉(zhuǎn)角稱為滾動(dòng)角（Roll），用w表示；u,v和w三個(gè)變量統(tǒng)稱為歐拉角，它們完全地描述了飛機(jī)的姿態(tài)。,演示程序quatdemo,演示畫面的說明,畫面中。左方為飛行器在三維空間

9、中的模型，其中紅色的是飛行器。右上方為三個(gè)姿態(tài)角u,v,w的設(shè)定標(biāo)尺和顯示窗，右下方為在地面坐標(biāo)系中的另外的三個(gè)姿態(tài)角：方位角、俯仰角和傾側(cè)角。左下方還有【靜態(tài)】和【動(dòng)態(tài)】兩個(gè)復(fù)選鈕，我們只介紹【靜態(tài)】，讀者可自行試用【動(dòng)態(tài)】進(jìn)行演示。 用鍵入?yún)?shù)或移動(dòng)標(biāo)尺的方法分別給u,v,w賦值并回車后，就可以得出相應(yīng)的飛行器姿態(tài)，同時(shí)出現(xiàn)一根藍(lán)色的線表示合成旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸。,例9.4 程序的實(shí)現(xiàn)方法。,把飛行器的三維圖像用N個(gè)頂點(diǎn)描述，寫成一個(gè)3N的數(shù)據(jù)矩陣G。用plot3命令時(shí)按頂點(diǎn)連線能繪制出飛行器的外觀。例如以下的程序ag904a即可畫出一個(gè)最簡單的飛行器立體圖。 Gw=4,3,0;4,3,0;0,7

10、,0;4,3,0; % 主翼的頂點(diǎn)坐標(biāo) Gt=0,3,0;0,3,3;0,2,0;0,3,0; % 尾翼的頂點(diǎn)坐標(biāo) G=Gw,Gt % 整個(gè)飛行器外形的數(shù)據(jù)集 plot3(Gw(1,:),Gw(2,:),Gw(3,:),r),hold on plot3(Gt(1,:),Gt(2,:),Gt(3,:),g), axis equal,圍繞各個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,飛行器圍繞各個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，表現(xiàn)為各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，也就是G的變化。只要把三種姿態(tài)的變換矩陣Y,P和R乘以圖形數(shù)據(jù)矩陣G即可。其中,綜合旋轉(zhuǎn)的變換矩陣,單獨(dú)變化某個(gè)姿態(tài)角所生成的圖形由G1Y*G，G2P*G，G3R*G算出，如果同時(shí)變化

11、三個(gè)姿態(tài)角，則最后的圖像數(shù)據(jù)成為GfY*P*R*GQ*G。這里假定轉(zhuǎn)動(dòng)的次序?yàn)椋合葷L動(dòng)R，再傾斜P，最后偏航Y(jié)，由于矩陣乘法不服從交換律，轉(zhuǎn)動(dòng)次序不同時(shí)結(jié)果也不同。 用MATLAB實(shí)現(xiàn)的程序ag904b如下： syms u w v Y=cos(u),sin(u),0;sin(u cos(u),0;0,0,1) R=1,0,0;0,cos(w),sin(w);0,sin(w),cos(w) P=cos(v),0,sin(v);0,1,0;sin(v),0,cos(v) Q=Y*P*R,空間的齊次坐標(biāo)系,三維空間考慮了平移運(yùn)動(dòng)后，如同二維情況那樣，也必須擴(kuò)展一維，成為4N數(shù)據(jù)集G4，成為空間的齊次

12、坐標(biāo)系： 在四維空間的44變換矩陣為： 其中c1,c2,c3為在三個(gè)軸x1,x2,x3方向上的平移距離。這種方法在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究中很有用處。,9.4 基變換與坐標(biāo)變換,在線性空間中常常需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。用下圖可以形象地說明這點(diǎn)。按照左圖的笛卡兒坐標(biāo) ，x向量應(yīng)該表為(1,6)，這是x按標(biāo)準(zhǔn)基e1,e2度量的結(jié)果，在斜坐標(biāo)紙上的x點(diǎn)坐標(biāo)就成為沿b1方向?yàn)?個(gè)單位而沿b2方向3個(gè)單位，即(-2,3)了。這反映了不同的基對(duì)坐標(biāo)值的影響。,基坐標(biāo)變換的公式,設(shè)線性空間Rn中的兩組基向量u 和v都是n維列向量，它們?cè)诨鶞?zhǔn)坐標(biāo)系中的n個(gè)分量都是已知的，因此u和v都可表示為nn矩陣。如果Rn中的一個(gè)向量w

13、在以u(píng)為基的坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為wu（n1數(shù)組），在以v為基的坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為wv（n1數(shù)組），它們?cè)诨鶞?zhǔn)坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)應(yīng)分別為u* wu和v* wv ，這兩者應(yīng)該相等。 u* wu v* wv （9.18） 所謂基坐標(biāo)的變換就是已知wu ，求出wv 。將上式左右均左乘以inv(v)，得到 （9.19） 可見，坐標(biāo)變換矩陣P可由u和v求得： P(uv)v u （9.20）,基變換的算例9. 5,已知R4空間的兩組基向量u,v如下： 試求把u變換為v的坐標(biāo)變換矩陣P(uv) 。 解的方法為:輸入u和v矩陣后 鍵入uv ，得到 給出某點(diǎn)w的u坐標(biāo)wu, 即可求其v坐標(biāo)wv=P*wu,9.5 特征值的M

14、ATLAB求法,MATLAB提供了計(jì)算方陣的特征值和特征向量各步驟的函數(shù)。這三個(gè)步驟是： （1）用f=poly(A)可以計(jì)算方陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)向量f； （2）用lamda=roots(f)可以求特征多項(xiàng)式f的全部根lamda（表示為列向量）； （3）用函數(shù)p=null(lamda*I-A)直接給出基礎(chǔ)解p,將n個(gè)特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩陣。 【例9.6】 求矩陣 的特征值和特征向量。,解題的程序ag906,按上面所說的步驟，解題的程序ag906為 A=3,2,4;2,0,2;4,2,3;% 輸入系數(shù)矩陣 f=poly(A),% 求特征多項(xiàng)式(步驟1) r=roots(f),r

15、=real(r),% 求特征根(步驟2),并去掉的虛部 B1= r(1)*eye(3)-A; % 后面可能需要插入一條語句 % B1=rref(B1,1e-12),% 為保證矩陣B1奇異性而設(shè)的語句 p1=null(B1,r) % 求第一個(gè)特征值，的基礎(chǔ)解系 B2=r(2)*eye(3)-A; p2=null(B2,r)% 求第二個(gè)個(gè)特征值的基礎(chǔ)解系 B3=r(3)*eye(3)-A; p3=null(B3,r) % 求第三個(gè)個(gè)特征值的基礎(chǔ)解系,程序運(yùn)行的結(jié)果,程序運(yùn)行的結(jié)果為： f = 1 -6 -15 -8 （特征多項(xiàng)式系數(shù)向量） r = 8.0000 （三個(gè)特征根即特征值,后兩個(gè)是重根）

16、 -1.0000 + 0.0000i（微小虛數(shù)可用r=real(r)去除） -1.0000 - 0.0000i 對(duì)第一個(gè)特征值8的特征向量為空矩陣 p1 = Empty matrix: 3-by-0，即無特征向量 對(duì)第二、三個(gè)特征值（重根）-1的特征向量為 p2 = -0.5000 -1.0000 1.0000 0 0 1.0000 對(duì)第一個(gè)特征值所以找不到特征向量是由計(jì)算誤差引起的，計(jì)算誤差使得本應(yīng)為零的det(B1)成了一個(gè)很小的數(shù)（-8.7130e-013），B1*x=0就沒有非零解了。,結(jié)果的討論,解決的方法是將B1化為行階梯形式，因?yàn)樵趓ref函數(shù)中可以人為地設(shè)定容差，例如把容差設(shè)為

17、110-12，令B1=rref(B1,1e-12),這樣變換出的行階梯形式與原矩陣B1是等價(jià)的，但它將會(huì)把一些小的數(shù)看作零，從而保證系數(shù)矩陣的奇異性。在上述程序中求B1和求p1的兩條語句之間，插入這條語句后執(zhí)行，就可求出對(duì)應(yīng)的特征向量為 p1 =1,0.5,1T。把上述三個(gè)特征向量并列，可以得到特征向量矩陣（元素取整后）和特征值矩陣為：,用eig函數(shù)計(jì)算結(jié)果,實(shí)際上MATLAB已經(jīng)把求特征根和特征向量的步驟集成化，其中也包括了處理計(jì)算誤差的功能，所以一條命令就解決問題了。這個(gè)功能強(qiáng)大的子程序名為eig(特征值英文是 p, lamda=eig(A) 輸出變?cè)械膌amda是特征值，p是特征向量。

18、把例9.6的系數(shù)矩陣A代入，即可得到： 解出的特征向量怎么與前面計(jì)算的不同？其實(shí)特征向量本來不是唯一的，這兩個(gè)特征向量只是相當(dāng)于基礎(chǔ)解系的一組基。只要檢查由兩種方法算出的兩組特征向量是否相關(guān)，如果相關(guān)，說明解都是正確的。,例9.7,設(shè)矩陣 ，求以下矩陣的特征值； a）A；b） 本題只要求出特征方程和特征根，它的計(jì)算程序ag907是比較簡單的： A=1,-1,2;0,2,1;0,0,-1; B=2*A3+A-5*eye(3);C=inv(A)+eye(3) fa=poly(A),ra=roots(fa) fb=poly(B),rb=roots(fb) fc=poly(C),rc=roots(fc

19、),程序ag907的運(yùn)行結(jié)果,程序運(yùn)行結(jié)果： 這意味著三個(gè)特征多項(xiàng)式分別為： 相應(yīng)的各組特征根為：,9.6 對(duì)稱矩陣與二次型主軸,對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是所有元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，即AA。所以對(duì)稱矩陣一定是方陣。前面曾要求讀者特別注意A是對(duì)稱矩陣時(shí)x與Ax的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其特點(diǎn)就是Ax呈橢圓形狀，在橢圓的兩個(gè)主軸方向，Ax與x在一條直線上長度差倍，即Ax x 。當(dāng)Ax與x方向相同時(shí)，為正數(shù)；當(dāng)Ax與x方向相反時(shí)，為負(fù)數(shù)；22變換有兩個(gè)特征值，在相互正交的兩個(gè)主軸方向，各有一個(gè)。 作為22正交變換的一個(gè)應(yīng)用，我們來看看它對(duì)二次型圖形的影響。二次型本身已經(jīng)不是線性范圍，不屬于線性代數(shù)的范疇?，F(xiàn)在要研究的是基坐

20、標(biāo)的線性變換對(duì)二次型圖形發(fā)生何種影響。,例9.8 二次型例,設(shè)A=5,-2;-2,5，則令A(yù)的二次型xT*A*x等于常數(shù) 得到的是一個(gè)橢圓方程，其圖形如下圖(a)所示。 如果做一個(gè)基坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，讓坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)過45度，此橢圓的主軸就與新的坐標(biāo)方向y1,y2相同，如圖(b)所示，即令 y1x1cosx2sin y2x1sinx2cos 用矩陣乘法表為,線性變換后的二次型,其逆變換R為， 因此 用此變換式代入二次型的表達(dá)式，有 本題中,=45，代入P和R,可得 于是得到,二次型主軸等價(jià)于矩陣對(duì)角化,所以從幾何圖形上尋找二次型主軸的問題，在線性代數(shù)中就等價(jià)于使矩陣經(jīng)過正交變換或相似變換R（注意這又是

21、一個(gè)幾何名詞，說明被變換的圖形的形狀和尺寸保持不變），使矩陣A對(duì)角化。圖中的(c)和(d)表示了對(duì)另一種雙曲線二次型（它的兩個(gè)特征值一正一負(fù)）的坐標(biāo)變換， 求主軸的方法就是把矩陣A對(duì)角化。找其主軸的大小和方向，也就是找它的特征值lamda和特征向量e。,雙曲線二次型的算例,根據(jù)列出程序 A=1,-4;-4,-5 lamda,e=eig(A) 或R=orth(A) 得到 把兩個(gè)特征向量e并列起來,即正交矩陣。lamda就是對(duì)角化的矩陣D，故標(biāo)準(zhǔn)化的二次型方程為,高維空間的算例9.9,化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)型。 解：可以看出系數(shù)矩陣A，程序ag909n為 A1,1,3;1,2,1;3,1,5, Rort

22、h(A), Dinv(R)*A*R 得知二次型最后的標(biāo)準(zhǔn)型為 其中,例9.10,設(shè)有對(duì)稱實(shí)矩陣 ，試求 。 解：建模：矩陣指數(shù)只有在A是對(duì)角矩陣時(shí)才可按對(duì)角元素直接計(jì)算，即： 注意它的非對(duì)角元素不符合指數(shù)運(yùn)算規(guī)則。,解題的思路,因此首先要把A對(duì)角化。使A=pDp-1，將此式代入y的表示式中，可得： 求出其特征根矩陣D和特征向量矩陣p。編MATLAB程序ag910如下： A = -2, 4, 1; 4, -2, -1; 1, -1, -3 , p,D = eig(A) 運(yùn)行此程序，得 p = -0.6572 -0.2610 0.7071 0.6572 0.2610 0.7071 0.3690 -

23、0.9294 0.0000 D = -6.5616 0 0 0 -2.4384 0 0 0 2.0000,解題的結(jié)果,由此得到： 算式中的最后一步可以用下列語句來實(shí)現(xiàn)。 y=p*exp(D(1,1),0,0;0,exp(D(2,2),0;0,0,exp(D(3,3)*inv(p) 得到 MATLAB中有直接計(jì)算矩陣指數(shù)的函數(shù)expm(A)，可以用它來檢驗(yàn)所得結(jié)果。,9.7 奇異值分解簡介,奇異值分解(Singular Value Decomposition)對(duì)于矩陣的應(yīng)用具有重要意義。比如矩陣的條件數(shù)（對(duì)計(jì)算精度）、矩陣廣義逆（解超定方程）都與矩陣奇異值有關(guān)。美國多數(shù)教材都有，而我國傳統(tǒng)的教材

24、大多不提，大綱也不要求。本書折衷，對(duì)這個(gè)內(nèi)容作一扼要介紹。 定義 設(shè)矩陣 ，若存在非負(fù)實(shí)數(shù)和n維非零向量u，m維非零向量v，使得 （9.7.1） 則稱為A的奇異值，分別稱u和v為對(duì)應(yīng)于奇異值的右奇異向量和左奇異向量。 由式（9.7.1）可得 （9.7.2） （9.7.3）,奇異值的定義,因此2為ATA(nn)的特征值，也是AAT(mm)的特征值，說明ATA與AAT的特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù)；而分別是和對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量。 ATA與AAT的非零特征值的個(gè)數(shù)（重特征值按重?cái)?shù)計(jì)算）等于A的秩。設(shè) 是ATA的全部特征值， ,稱為矩陣A的全部奇異值。 矩陣的奇異值分解定理： 設(shè)A是mn矩陣，設(shè)1,2,

25、n是A的奇異值，12rr+1=r+2=n=0，則A=USVT，其中U是m階正交矩陣，V是n階正交矩陣， ，而 。 此式也可以表示為： (9.7.4) 其中，ui是矩陣U的第i列， vj是矩陣V的第j列。,奇異值分解定理證明(1),證 不失一般性，設(shè)mn，R(A)=r， v1, v2, vn是ATA對(duì)應(yīng)于特征值12,22, n2的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組，12r r+1 =r+2 = n= 0。 令ui=A*vi/i，其中i=1,2,n，故有 因此，u1, u2,ur組成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。如果rm,可以把向量組u1, u2,ur擴(kuò)展為向量組u1, u2, ,ur,um ，從而構(gòu)成Rm空間的一個(gè)基。

26、我們將證明AV=US，其中S是主對(duì)角元素為奇異值1, 2, r,0,0的mn對(duì)角矩陣，而U和V分別是V=v1, v2, vn和U= u1, u2,ur,um，它們分別是m階和n階的正交矩陣。,奇異值分解定理證明(2),上式中的矩陣S由m行n列組成，按假設(shè)mn，所以左上角的rr矩陣Sr決定了S的秩為r。也就是行列式det(Sr)=1 2r0，而det(Sr1) =12r1=0?？梢妑1要小到什么程度才能看成零的問題，會(huì)直接影響秩r的判別。命題得證。,奇異值分解的應(yīng)用：數(shù)字秩,我們?cè)丫仃嚨闹榷x為其最簡行階梯形的非全零行數(shù)。對(duì)于用浮點(diǎn)計(jì)算機(jī)算法進(jìn)行計(jì)算的工程實(shí)際中的矩陣，不太可能見到真正的全零行

27、。在進(jìn)行奇異值分解時(shí)，也不大會(huì)出現(xiàn)r+1=r+2=n=0的情況，通常這些i都有微小的值。這時(shí)把A的秩看作多少，就取決于把多小的i值看成零。如果取A的秩為r，那就意味著Sr中只取了r個(gè)特征值1, 2,r，而認(rèn)為r+1及以后各個(gè)更小的奇異值都等于零，經(jīng)過這樣的數(shù)值處理后得到的秩稱為數(shù)字秩(Numerical Rank)。 多小的數(shù)該看成零呢？這取決于所用計(jì)算軟件的精度。就MATLAB而言，其基本部分采用的是IEEE浮點(diǎn)雙精度格式標(biāo)準(zhǔn)，它的精度(即eps)是2.2410 -16，當(dāng)數(shù)eps時(shí)，它與數(shù)1相加時(shí)會(huì)被略去1+eps=1。普遍地說，當(dāng) 時(shí)，MATLAB將無法分辨a+b與a的差別。,數(shù)字秩和條

28、件數(shù),把這個(gè)概念推廣到矩陣，假設(shè)A是nn方陣： 式中uiviT中所有的nn個(gè)元素都是小于1的。決定各項(xiàng)數(shù)值大小的主要因素是i。如果i+1比構(gòu)成的主要分量的和小得多，以致加上它根本不起作用，那末可以認(rèn)為后的各項(xiàng)都為零。 A的秩只能取作r。用式中的最大特征值與階數(shù)n的乘積近似表征的大小，則可以把設(shè)為一個(gè)門限。大于這個(gè)門限特征值的數(shù)目r就是A的數(shù)字秩，把小于等于這個(gè)門限的特征值都看成零。 把最大與最小奇異值的比定義為矩陣的條件數(shù)(Condition Number)。矩陣的條件數(shù)愈大，意味著愈小，它就愈接近奇異；反之，條件數(shù)愈小，它就離開奇異門限愈遠(yuǎn)。,例9.11,設(shè) ，求它的各奇異值， 及條件數(shù)。

29、解：這樣階次的問題，只能用計(jì)算機(jī)來解了。程序?yàn)椋?A=2,7,9,-5,4;-9,-9,5,3,-2; -2,5,-1,-3,5;-4,9,0,9,-4 U,S,V=svd(A), condA= S(1,1)/S(4,4) 運(yùn)行結(jié)果為：,運(yùn)行結(jié)果,不難驗(yàn)證：U,V都是規(guī)范正交矩陣，都有 A的四個(gè)奇異值為：16.5933 13.9809 11.2638 5.9432， A的條件數(shù)為：condA = 16.5933/5.9432 = 2.7920,9.8.1 人口遷徙模型,設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊

30、區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時(shí)有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 這個(gè)問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示，一年以后，市區(qū)人口為xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊區(qū)人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0，,問題的矩陣描述,用矩陣乘法來描述，可寫成： 從初始到k年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式可擴(kuò)展為， 故可用程序ag981n進(jìn)行計(jì)算： A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 得到：,本題特征值和特征向量的意義,無限增加時(shí)間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。為了弄清為什么這個(gè)過程趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值，我們改變一下坐