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文檔簡介
1、第十一章 動量定理,主要內(nèi)容,11.2 力的沖量,11.3 動量定理,11.4 質(zhì)心運動定理,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,動量定理,對質(zhì)點動力學(xué)問題: 建立質(zhì)點運動微分方程求解。,對質(zhì)點系動力學(xué)問題: 理論上講,n個質(zhì)點列出3n個微分方 程, 聯(lián)立求解它們即可。,實際上的問題是:,2、大量的問題中,不需要了解每一個質(zhì)點的運 動,僅需要研究質(zhì)點系整體的運動情況。,1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。,從本章起, 將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法, 而首先要討論的是動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。它們和牛頓定律一樣,只適用于慣性坐標(biāo)系
2、。,動量定理,它們都可以從動力學(xué)基本方程 推導(dǎo)出來。具有簡明的數(shù)學(xué)形式,明確的物理意義, 表明兩種量 一種是運動特征量(動量、動量矩、動能等),一種是力的作用量(沖量、力矩、功等) 之間的關(guān)系,從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下,用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷 。,本章研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理,建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系,并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式質(zhì)心運動定理。,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,1、質(zhì)點的動量,質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積,稱為該質(zhì)點的動量,1)質(zhì)點的動量是矢量,它的方向與質(zhì)點速度 的方向一致,2)動量的國際單位是,質(zhì)點動量的矢量形式,動
3、量在空間直角坐標(biāo)系中的投影形式,2、質(zhì)點系的動量,質(zhì)點系中各質(zhì)點動量的矢量和稱為質(zhì)點系的動量。,令 為質(zhì)點系的總質(zhì)量,定義質(zhì)點系質(zhì)量中心(質(zhì)心)C的矢徑為,則,質(zhì)點系的動量等于其全部質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積,動量的方向與質(zhì)心速度的方向相同。,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,質(zhì)點系動量在直角坐標(biāo)系oxyz下的投影表達式為:,例1,長為 ,質(zhì)量為 的勻質(zhì)細桿,在平面內(nèi)繞 點轉(zhuǎn)動,角速度為 ,求細桿動量。,解:細桿質(zhì)心的速度,則細桿的動量為,方向與 相同,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,例2,如圖勻質(zhì)滾輪,質(zhì)量為 ,輪心速度為 , 則動量為,例3,如圖繞中心轉(zhuǎn)動的勻質(zhì)輪,無論有多大的速度和質(zhì)量,由于質(zhì)心不動
4、,其動量總是零。,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,11.2 力的沖量,作用在物體上的作用力與其作用時間的乘積,稱為力的沖量。,1)力是常矢量:,2)力是變矢量:,力的元沖量,力 在有限時間間隔內(nèi)的沖量為,沖量的國際單位是,1、力的沖量,設(shè)力 在直角坐標(biāo)系下的解析投影式,則沖量在x,y,z三個軸上的投影式分別為,2、合力的沖量,11.2 力的沖量,共點力系的合力的沖量等于力系中各分力的沖量的矢量和。,如果有 這n個力組成的共點力系作用在物體上,合力為 ,則共點力系的合力在時間間隔 內(nèi)的沖量為,11.2 力的沖量,11.3 動量定理,1、質(zhì)點的動量定理,微分形式:,質(zhì)點動量的微分等于作用于質(zhì)點上所有
5、力的元沖量的矢量和 。,或,積分形式:,質(zhì)點動量在有限時間間隔內(nèi)的改變等于作用在質(zhì)點上的所有力在這段時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和,2、質(zhì)點系的動量定理,設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點,第i個質(zhì)點的質(zhì)量為 ,速度為 ,外界物體對質(zhì)點的作用力為 ,稱為外力,質(zhì)點系內(nèi)其他質(zhì)點對該質(zhì)點的作用力為 ,稱為內(nèi)力。,根據(jù)質(zhì)點的動量定理有,這樣的方程共有n個,將這n個方程兩端分別相加,得,因為質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點相互作用的內(nèi)力總是大小相等,方向相反 ,且成對地出現(xiàn),相互抵消,因此內(nèi)力沖量的矢量和等于零。,1)微分形式:,11.3 動量定理,又因 ,于是質(zhì)點系動量定理的微分形式為,即,質(zhì)點系動量定理的微分形式:質(zhì)點系的動量對時間的一階
6、導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點系上的所有外力的矢量和。,向直角坐標(biāo)系oxyz投影可得:,質(zhì)點系的動量在某坐標(biāo)軸上的投影對時間的一階導(dǎo)數(shù),等于作用在該質(zhì)點系上的所有外力在該軸上的投影的代數(shù)和。,11.3 動量定理,2)積分形式:,質(zhì)點系動量定理的積分形式:在某一段時間間隔內(nèi),質(zhì)點系動量的改變,等于在這段時間間隔內(nèi)作用于質(zhì)點系上的所有外力的沖量的矢量和。,投影到直角坐標(biāo)軸上得:,在某一段時間間隔內(nèi)質(zhì)點系的動量在某一軸上的投影的增量等于作用于質(zhì)點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。,11.3 動量定理,電動機的外殼用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上,定子的質(zhì)量是m1,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是m2,轉(zhuǎn)子的軸
7、線通過定子的質(zhì)心O1。制造和安裝的誤差,使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2對它的軸線有一個很小的偏心距b(圖中有意夸張)。試求電動機轉(zhuǎn)子以勻角速度 轉(zhuǎn)動時,電動機所受的總水平力和鉛直力。,例 題 11-1,11.3 動量定理,運 動 演 示,例 題 11-1,11.3 動量定理,解:取整個電動機(包括定子和轉(zhuǎn)子)作為研究對象。選坐標(biāo)系如圖所示。,質(zhì)心 C 的坐標(biāo)為,質(zhì)心 C 的運動微分方程為,例 題 11-1,11.3 動量定理,從而求得質(zhì)心加速度在坐標(biāo)系上的投影,把上式代入式(1)和(2),即可求得,Fx = m2b2cos t,Fy = (m1 + m2)g m2b2sint,例 題 11-1,11.3 動
8、量定理,物塊A可沿光滑水平面自由滑動,其質(zhì)量為mA;小球B的質(zhì)量為mB ,以細桿與物塊鉸接,如圖所示。設(shè)桿長為l,質(zhì)量不計,初始時系統(tǒng)靜止,并有初始擺角0;釋放后,細桿近似以 規(guī)律擺動(k為已知常數(shù)),求物塊A的最大速度。,例 題 11-2,11.3 動量定理,運 動 演 示,例 題 11-2,11.3 動量定理,取物塊和小球為研究對象,其上的重力以及水平面的約束力均為鉛垂方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用,則沿水平方向動量守恒。,細桿角速為 ,當(dāng) 時,其絕對值最大,此時應(yīng)有 ,即 。,v,vr,解:,由此,當(dāng)細桿鉛垂時小球相對于物塊有最大的水平速度,其值為,例 題 11-2,11.3 動量定理
9、,當(dāng)此速度vr向左時,物塊應(yīng)有向右的絕對速度,設(shè)為v,而小球向左的絕對速度值為va=vrv。根據(jù)動量守恒條件,有,解出物塊的速度為,當(dāng) 時,也有 。此時小球相對于物塊有向右的最大速度 k0l ,可求得物塊有向左的最大速度,例 題 11-2,11.3 動量定理,圖示單擺B的支點固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上,設(shè)A,B的質(zhì)量分別為mA,mB,運動開始時, 。試求單擺B的軌跡方程。,例 題 11-3,11.3 動量定理,解:以系統(tǒng)為對象,其運動可用滑塊A的坐標(biāo)x和單擺擺動的角度兩個廣義坐標(biāo)確定。,解出,單擺B的坐標(biāo)為,mB g,則,由于沿x方向無外力作用,且初始靜止,系統(tǒng)沿x軸的動量守
10、恒,質(zhì)心坐標(biāo)xC應(yīng)保持常值xC0。,mA g,例 題 11-3,11.3 動量定理,消去 ,即的到單擺B的軌跡方程:,是以 x= xC0 , y=0 為中心的橢圓方程,因此懸掛在滑塊上的單擺也稱為橢圓擺。,例 題 11-3,11.3 動量定理,軌 跡 演 示,例 題 11-3,11.3 動量定理,3、質(zhì)點系動量守恒定律,如果作用于質(zhì)點系的外力的主矢恒為零時,質(zhì)點系的動量保持不變,即,若,則,從而,如果作用于質(zhì)點系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零,則質(zhì)點系的動量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。,即若有,則,以上結(jié)論稱為質(zhì)點系動量守恒定律,質(zhì)點系的內(nèi)力可以改變質(zhì)點系中各質(zhì)點的動量,但不能改變質(zhì)點
11、系的總動量,只有外力才能改變質(zhì)點系的總動量。,11.3 動量定理,11.4 質(zhì)心運動定理,1、質(zhì)量中心,質(zhì)心位置在直角坐標(biāo)系的投影形式,曲柄滑塊機構(gòu)如圖所示。設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動,滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l,OA及AB皆為均質(zhì)桿,質(zhì)量皆為m1,滑塊B的質(zhì)量為m2 。試求支座O處的水平約束力。,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運動定理,解:選取整個機構(gòu)為研究對象,其水平方向只承受O處約束力的作用。,此系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)為,Fx,Fy,FN,將xC對時間取二階導(dǎo)數(shù),代入上式(a),求得,(a),列出質(zhì)心運動定理在x軸上的投影式,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運動定理,整個系統(tǒng)在鉛
12、垂方向除有重力外,O,B兩處受有y方向約束力Fy和FN。列出質(zhì)心運動定理在y軸上的投影式,質(zhì)心yC對時間取二階導(dǎo)數(shù),代入上式,求得,以整個系統(tǒng)為研究對象,只能求出O,B兩處y向約束反之和,而不能分別求出各自的值。,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運動定理,曲柄滑塊機構(gòu)如圖所示。設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動,滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l,OA及AB皆為均質(zhì)桿,質(zhì)量皆為m1,滑塊B的質(zhì)量為m2 。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量。,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運動定理,設(shè) t=0 時OA 桿水平,則有 =t 。,由式,質(zhì)心C的坐標(biāo)為,解:,Fx,Fy,FN,例 題 1
13、1-5,11.4 質(zhì)心運動定理,上式也就是此系統(tǒng)質(zhì)心C的運動方程。由上二式消去時間t,得,即質(zhì)心C的運動軌跡為一橢圓,如圖中虛線所示。應(yīng)該指出,系統(tǒng)的質(zhì)心一般不在其中某一物體上,而是空間的某一特定點。,vC,C,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運動定理,為求系統(tǒng)的動量,由動量定理投影式,得,此例中,由質(zhì)心公式得,系統(tǒng)動量的大小為,則得系統(tǒng)動量沿x,y軸投影:,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運動定理,2、質(zhì)心運動定理,由動量定理的微分形式,對于質(zhì)量不變的質(zhì)點系,或,質(zhì)點系的質(zhì)量和其質(zhì)心加速度的乘積,等于作用于質(zhì)點系的所有外力的矢量和。這就是質(zhì)心運動定理。,質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動,只有外力
14、才能改變質(zhì)心的運動。,11.4 質(zhì)心運動定理, 動畫,11.4 質(zhì)心運動定理, 動畫,11.4 質(zhì)心運動定理,質(zhì)心運動定理的直角坐標(biāo)投影形式:質(zhì)點系的質(zhì)量和質(zhì)心加速度在某一坐標(biāo)軸上的投影的乘積等于作用在質(zhì)點系上的所有外力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。,3、質(zhì)點系質(zhì)心運動守恒定律,即:如果作用在質(zhì)點系上的外力的矢量和恒等于零,則質(zhì)心作慣性運動。,(1)若 ,則 常量,11.4 質(zhì)心運動定理,即:如果作用在質(zhì)點系上的外力在某一軸上投影的代數(shù)和恒等于零,則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變(質(zhì)心沿該軸作慣性運動),(2)若 ,則 ,,以上結(jié)論,稱為質(zhì)點系質(zhì)心運動守恒定律 。,11.4 質(zhì)心運動定理,如圖所示,設(shè)電動機沒用螺栓固定,定子的質(zhì)量是 m1,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是 m2,轉(zhuǎn)子的軸線通過定子的質(zhì)心 O1。制造和安裝的誤差,使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心 O2對它的軸線有一個很小的偏心距 e。各處摩擦不計,初始時電動機靜止,求轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動時電動機外殼的運動。,例 題 11-6,11.4 質(zhì)心運動定理,電動機受到的作用力有外殼的重力,轉(zhuǎn)子的重力和地面的法向力。,因為電動機在水平方向沒有受到外力,且初始為靜止,因此系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)xC保持不
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