理論力學(xué)第11章動量定理.ppt

1、第十一章 動量定理,主要內(nèi)容,11.2 力的沖量,11.3 動量定理,11.4 質(zhì)心運動定理,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,動量定理,對質(zhì)點動力學(xué)問題： 建立質(zhì)點運動微分方程求解。,對質(zhì)點系動力學(xué)問題： 理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。,實際上的問題是：,2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì)點的運 動,僅需要研究質(zhì)點系整體的運動情況。,1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題）非常困難。,從本章起, 將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法, 而首先要討論的是動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。它們和牛頓定律一樣，只適用于慣性坐標(biāo)系

2、。,動量定理,它們都可以從動力學(xué)基本方程 推導(dǎo)出來。具有簡明的數(shù)學(xué)形式，明確的物理意義， 表明兩種量 一種是運動特征量(動量、動量矩、動能等)，一種是力的作用量(沖量、力矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷 。,本章研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式質(zhì)心運動定理。,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,1、質(zhì)點的動量,質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積，稱為該質(zhì)點的動量,1）質(zhì)點的動量是矢量，它的方向與質(zhì)點速度 的方向一致,2）動量的國際單位是,質(zhì)點動量的矢量形式,動

3、量在空間直角坐標(biāo)系中的投影形式,2、質(zhì)點系的動量,質(zhì)點系中各質(zhì)點動量的矢量和稱為質(zhì)點系的動量。,令 為質(zhì)點系的總質(zhì)量，定義質(zhì)點系質(zhì)量中心（質(zhì)心）C的矢徑為,則,質(zhì)點系的動量等于其全部質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積，動量的方向與質(zhì)心速度的方向相同。,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,質(zhì)點系動量在直角坐標(biāo)系oxyz下的投影表達式為：,例1,長為 ，質(zhì)量為 的勻質(zhì)細桿，在平面內(nèi)繞 點轉(zhuǎn)動，角速度為 ，求細桿動量。,解：細桿質(zhì)心的速度,則細桿的動量為,方向與 相同,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,例2,如圖勻質(zhì)滾輪，質(zhì)量為 ，輪心速度為 ， 則動量為,例3,如圖繞中心轉(zhuǎn)動的勻質(zhì)輪，無論有多大的速度和質(zhì)量，由于質(zhì)心不動

4、，其動量總是零。,11.1 質(zhì)點及質(zhì)點系的動量,11.2 力的沖量,作用在物體上的作用力與其作用時間的乘積，稱為力的沖量。,1）力是常矢量：,2）力是變矢量：,力的元沖量,力 在有限時間間隔內(nèi)的沖量為,沖量的國際單位是,1、力的沖量,設(shè)力 在直角坐標(biāo)系下的解析投影式,則沖量在x,y,z三個軸上的投影式分別為,2、合力的沖量,11.2 力的沖量,共點力系的合力的沖量等于力系中各分力的沖量的矢量和。,如果有 這n個力組成的共點力系作用在物體上，合力為 ，則共點力系的合力在時間間隔 內(nèi)的沖量為,11.2 力的沖量,11.3 動量定理,1、質(zhì)點的動量定理,微分形式：,質(zhì)點動量的微分等于作用于質(zhì)點上所有

5、力的元沖量的矢量和 。,或,積分形式：,質(zhì)點動量在有限時間間隔內(nèi)的改變等于作用在質(zhì)點上的所有力在這段時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和,2、質(zhì)點系的動量定理,設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，第i個質(zhì)點的質(zhì)量為 ，速度為 ，外界物體對質(zhì)點的作用力為 ，稱為外力，質(zhì)點系內(nèi)其他質(zhì)點對該質(zhì)點的作用力為 ，稱為內(nèi)力。,根據(jù)質(zhì)點的動量定理有,這樣的方程共有n個，將這n個方程兩端分別相加，得,因為質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點相互作用的內(nèi)力總是大小相等，方向相反 ，且成對地出現(xiàn)，相互抵消，因此內(nèi)力沖量的矢量和等于零。,1）微分形式：,11.3 動量定理,又因 ，于是質(zhì)點系動量定理的微分形式為,即,質(zhì)點系動量定理的微分形式：質(zhì)點系的動量對時間的一階

6、導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點系上的所有外力的矢量和。,向直角坐標(biāo)系oxyz投影可得：,質(zhì)點系的動量在某坐標(biāo)軸上的投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點系上的所有外力在該軸上的投影的代數(shù)和。,11.3 動量定理,2)積分形式:,質(zhì)點系動量定理的積分形式：在某一段時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變，等于在這段時間間隔內(nèi)作用于質(zhì)點系上的所有外力的沖量的矢量和。,投影到直角坐標(biāo)軸上得：,在某一段時間間隔內(nèi)質(zhì)點系的動量在某一軸上的投影的增量等于作用于質(zhì)點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。,11.3 動量定理,電動機的外殼用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量是m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是m2，轉(zhuǎn)子的軸

7、線通過定子的質(zhì)心O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2對它的軸線有一個很小的偏心距b（圖中有意夸張）。試求電動機轉(zhuǎn)子以勻角速度 轉(zhuǎn)動時，電動機所受的總水平力和鉛直力。,例 題 11-1,11.3 動量定理,運 動 演 示,例 題 11-1,11.3 動量定理,解:取整個電動機（包括定子和轉(zhuǎn)子）作為研究對象。選坐標(biāo)系如圖所示。,質(zhì)心 C 的坐標(biāo)為,質(zhì)心 C 的運動微分方程為,例 題 11-1,11.3 動量定理,從而求得質(zhì)心加速度在坐標(biāo)系上的投影,把上式代入式(1)和(2)，即可求得,Fx = m2b2cos t,Fy = (m1 + m2)g m2b2sint,例 題 11-1,11.3 動

8、量定理,物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質(zhì)量為mA；小球B的質(zhì)量為mB ，以細桿與物塊鉸接，如圖所示。設(shè)桿長為l，質(zhì)量不計，初始時系統(tǒng)靜止，并有初始擺角0；釋放后，細桿近似以 規(guī)律擺動（k為已知常數(shù)），求物塊A的最大速度。,例 題 11-2,11.3 動量定理,運 動 演 示,例 題 11-2,11.3 動量定理,取物塊和小球為研究對象，其上的重力以及水平面的約束力均為鉛垂方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動量守恒。,細桿角速為 ，當(dāng) 時，其絕對值最大，此時應(yīng)有 ，即 。,v,vr,解：,由此，當(dāng)細桿鉛垂時小球相對于物塊有最大的水平速度，其值為,例 題 11-2,11.3 動量定理

9、,當(dāng)此速度vr向左時，物塊應(yīng)有向右的絕對速度，設(shè)為v，而小球向左的絕對速度值為va=vrv。根據(jù)動量守恒條件，有,解出物塊的速度為,當(dāng) 時，也有 。此時小球相對于物塊有向右的最大速度 k0l ，可求得物塊有向左的最大速度,例 題 11-2,11.3 動量定理,圖示單擺B的支點固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上，設(shè)A，B的質(zhì)量分別為mA，mB，運動開始時， 。試求單擺B的軌跡方程。,例 題 11-3,11.3 動量定理,解：以系統(tǒng)為對象，其運動可用滑塊A的坐標(biāo)x和單擺擺動的角度兩個廣義坐標(biāo)確定。,解出,單擺B的坐標(biāo)為,mB g,則,由于沿x方向無外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿x軸的動量守

10、恒，質(zhì)心坐標(biāo)xC應(yīng)保持常值xC0。,mA g,例 題 11-3,11.3 動量定理,消去 ，即的到單擺B的軌跡方程：,是以 x= xC0 , y=0 為中心的橢圓方程，因此懸掛在滑塊上的單擺也稱為橢圓擺。,例 題 11-3,11.3 動量定理,軌 跡 演 示,例 題 11-3,11.3 動量定理,3、質(zhì)點系動量守恒定律,如果作用于質(zhì)點系的外力的主矢恒為零時，質(zhì)點系的動量保持不變，即,若,則,從而,如果作用于質(zhì)點系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，則質(zhì)點系的動量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。,即若有,則,以上結(jié)論稱為質(zhì)點系動量守恒定律,質(zhì)點系的內(nèi)力可以改變質(zhì)點系中各質(zhì)點的動量，但不能改變質(zhì)點

11、系的總動量，只有外力才能改變質(zhì)點系的總動量。,11.3 動量定理,11.4 質(zhì)心運動定理,1、質(zhì)量中心,質(zhì)心位置在直角坐標(biāo)系的投影形式,曲柄滑塊機構(gòu)如圖所示。設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2 。試求支座O處的水平約束力。,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運動定理,解：選取整個機構(gòu)為研究對象，其水平方向只承受O處約束力的作用。,此系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)為,Fx,Fy,FN,將xC對時間取二階導(dǎo)數(shù),代入上式（a），求得,（a）,列出質(zhì)心運動定理在x軸上的投影式,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運動定理,整個系統(tǒng)在鉛

12、垂方向除有重力外，O，B兩處受有y方向約束力Fy和FN。列出質(zhì)心運動定理在y軸上的投影式,質(zhì)心yC對時間取二階導(dǎo)數(shù)，代入上式，求得,以整個系統(tǒng)為研究對象，只能求出O，B兩處y向約束反之和，而不能分別求出各自的值。,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運動定理,曲柄滑塊機構(gòu)如圖所示。設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2 。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量。,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運動定理,設(shè) t=0 時OA 桿水平，則有 =t 。,由式,質(zhì)心C的坐標(biāo)為,解：,Fx,Fy,FN,例 題 1

13、1-5,11.4 質(zhì)心運動定理,上式也就是此系統(tǒng)質(zhì)心C的運動方程。由上二式消去時間t，得,即質(zhì)心C的運動軌跡為一橢圓，如圖中虛線所示。應(yīng)該指出，系統(tǒng)的質(zhì)心一般不在其中某一物體上，而是空間的某一特定點。,vC,C,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運動定理,為求系統(tǒng)的動量，由動量定理投影式，得,此例中,由質(zhì)心公式得,系統(tǒng)動量的大小為,則得系統(tǒng)動量沿x，y軸投影：,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運動定理,2、質(zhì)心運動定理,由動量定理的微分形式,對于質(zhì)量不變的質(zhì)點系,或,質(zhì)點系的質(zhì)量和其質(zhì)心加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系的所有外力的矢量和。這就是質(zhì)心運動定理。,質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，只有外力

14、才能改變質(zhì)心的運動。,11.4 質(zhì)心運動定理, 動畫,11.4 質(zhì)心運動定理, 動畫,11.4 質(zhì)心運動定理,質(zhì)心運動定理的直角坐標(biāo)投影形式：質(zhì)點系的質(zhì)量和質(zhì)心加速度在某一坐標(biāo)軸上的投影的乘積等于作用在質(zhì)點系上的所有外力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。,3、質(zhì)點系質(zhì)心運動守恒定律,即：如果作用在質(zhì)點系上的外力的矢量和恒等于零，則質(zhì)心作慣性運動。,（1）若 ，則 常量,11.4 質(zhì)心運動定理,即：如果作用在質(zhì)點系上的外力在某一軸上投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變（質(zhì)心沿該軸作慣性運動）,（2）若 ，則 ，,以上結(jié)論，稱為質(zhì)點系質(zhì)心運動守恒定律 。,11.4 質(zhì)心運動定理,如圖所示，設(shè)電動機沒用螺栓固定，定子的質(zhì)量是 m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是 m2，轉(zhuǎn)子的軸線通過定子的質(zhì)心 O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心 O2對它的軸線有一個很小的偏心距 e。各處摩擦不計，初始時電動機靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動時電動機外殼的運動。,例 題 11-6,11.4 質(zhì)心運動定理,電動機受到的作用力有外殼的重力，轉(zhuǎn)子的重力和地面的法向力。,因為電動機在水平方向沒有受到外力，且初始為靜止，因此系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)xC保持不