靜態(tài)場(教學(xué)版).ppt

1、,電磁場理論的建立過程是一個(gè)從靜態(tài)、簡單、獨(dú)立到動(dòng)態(tài)、復(fù)雜、相互關(guān)聯(lián)的認(rèn)識(shí)過程。因此，我們本章首先對靜態(tài)場進(jìn)行研究，下一章將研究揭示電磁相互關(guān)系的麥克斯韋電磁理論。 靜態(tài)場是不隨時(shí)間變化的場，是時(shí)變場的特例，對其相關(guān)結(jié)論進(jìn)行修正就可以得到關(guān)于時(shí)變場的結(jié)論。,電磁場與微波技術(shù)靜態(tài)場,2.1 靜電場 2.2 恒定電場 2.3 恒定磁場 2.4 靜態(tài)場的邊界條件 2.5 靜態(tài)場中的雙導(dǎo)體系統(tǒng) 2.6 靜態(tài)場中的能量 2.7 靜態(tài)場中的邊值問題 2.8 總結(jié),所謂靜電場是指相對于觀察者靜止的，不隨時(shí)間變化的電荷 所產(chǎn)生的電場。下面要講的庫侖定律和疊加原理，構(gòu)成了靜電場 的理論基礎(chǔ)。 一、庫侖定律 1.

2、 庫侖(Coulomb)定律 庫侖定律是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)抽象出的一條實(shí)驗(yàn)定 律。它是描述真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間相互作用力的定律。 注意：對于點(diǎn)電荷的理解，要有相對的概念，不能以帶電體的實(shí) 大小來判斷其是否為點(diǎn)電荷。只要帶電體的尺寸遠(yuǎn)小于它們之間 的距離，就可以認(rèn)為是點(diǎn)電荷。, 2.1 靜電場,庫侖定律的表述：假如真空中有兩個(gè)相對于觀察者靜止的點(diǎn)電荷q、 q ，分別放置在 點(diǎn)和 點(diǎn)上， 如圖所示，則點(diǎn)電荷q受到q的作用力為 為： 是真空中的介電常數(shù)。 對于 q 來說，之所以有力 作用在其上，是因?yàn)?q 的存 在，所以 q就是 的源。 注意：庫侖定律只適用于計(jì)算點(diǎn)電荷間的相互作用力,

3、2.1 靜電場,說明：把 q 所在的 點(diǎn)稱為源點(diǎn)，而 q 所在的 點(diǎn)稱為場點(diǎn)。今后，若需要加以區(qū)別時(shí)，我們用帶“ ”號的變量表示與源點(diǎn)有關(guān)的量，用不帶“ ”的變量表示與場點(diǎn)有關(guān)的量。, 2.1 靜電場, 2.1 靜電場,2. 疊加原理 當(dāng)真空中存在兩個(gè)以上的點(diǎn)電荷時(shí)，實(shí)驗(yàn)表明，任何兩個(gè)點(diǎn) 電荷之間的作用力不受其它點(diǎn)電荷的影響。所以，點(diǎn)電荷 q 所受 的力是其它所有點(diǎn)電荷單獨(dú)對它的作用力的矢量和，即滿足疊加 性： 式中， 表示 處的點(diǎn)電荷 對 q 的作用力。,例：真空中有三個(gè)點(diǎn)電荷電量分別為 ， 它們分別位于一個(gè)邊長為1米的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，如圖 所示，求 所受的力。, 2.1 靜電場,解

4、：由圖可知， 所在點(diǎn)的矢徑分別為： 由疊加原理可得 ：,3. 電荷密度 前面的討論都是針對點(diǎn)電荷進(jìn)行的，而帶電體總是具有一定 尺寸的，很多情況下不能簡單地把它看成是點(diǎn)電荷，而應(yīng)認(rèn)為電 荷連續(xù)分布于一定區(qū)域內(nèi)。這種分布于一定區(qū)域內(nèi)的電荷稱為分 布電荷。 如果電荷分布在一個(gè)體積 V 內(nèi)，則稱之為體電荷；如果分布 在一個(gè)曲面 S 上，則稱之為面電荷；而分布在一條曲線 L 上時(shí)， 稱之為線電荷。 這樣，為了定量地描述電荷在區(qū)域內(nèi)分布的疏密程度，引入 電荷密度的概念。, 2.1 靜電場,對于體電荷，在電荷分布的區(qū)域 V 內(nèi) 處取一個(gè)體積元v， 若其中所包含的電荷量為q，則定義： 為 處的體電荷密度，單位

5、為 。類似地，可定義面電荷密 度和線電荷密度分別為： 下面討論分布電荷對點(diǎn)電荷的作用力。以體電荷為例，在 處取一個(gè)體積元 ，該處體電荷密度為 ，則 中的電量為：, 2.1 靜電場,可看作點(diǎn)電荷，它對點(diǎn)電荷 q 的作用力為： 則根據(jù)疊加原理， 內(nèi)體電荷對 q 的作 用力為： 類似地，對面電荷和線電荷分別有：, 2.1 靜電場,二、電場強(qiáng)度 1. 電場強(qiáng)度 庫侖定律表明兩個(gè)電荷之間雖互不接觸卻能相互作用。實(shí)驗(yàn)表明，這種作用是通過電荷在自己周圍空間產(chǎn)生的電場進(jìn)行的。 電場是一種特殊的物質(zhì)，人的感官不能直接感受到電場，但可以通過帶電體的相互作用來檢驗(yàn)它，也可以由相互作用的強(qiáng)弱來度量電場的強(qiáng)弱。用來描述

6、電場強(qiáng)弱的物理量是電場強(qiáng)度。, 2.1 靜電場,應(yīng)該指出，由于電荷激發(fā)電場，電場又作用于電荷，所以當(dāng)用試探電荷檢驗(yàn)電場時(shí)，檢驗(yàn)電荷就滿足兩個(gè)條件： a)它的線度必須足夠小，以致于可以被看作點(diǎn)電荷，以便來確定場中每點(diǎn)的性質(zhì)。 b)它的電量要足夠小，使得由于它的置入，不引起原有電荷的重新分布。, 2.1 靜電場,定義位于點(diǎn) 處的單位正電荷所受的力為該處的電場強(qiáng)度，用 表示，單位為(N/C)。所以，若在 處放置一個(gè)稱為試探電荷的點(diǎn)電荷 q，它所受的力為 ，則該點(diǎn)的電場強(qiáng)度為：, 2.1 靜電場,根據(jù)前面討論的電荷受力的公式代入電場強(qiáng)度的定義式，則 處的點(diǎn)電荷 處的點(diǎn)電荷 組成的點(diǎn)電荷系以及分布電荷在

7、 處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分別為：,區(qū),上式中，對于體電荷、面點(diǎn)荷、線電荷， 分別為 ，相應(yīng)的“區(qū)域”分別為 。,例：在一個(gè)半徑為 a 的細(xì)圓環(huán)上均勻分布著總量為 Q 的電荷，求 在其軸線上距圓心 b 處的電場強(qiáng)度。 解：建立坐標(biāo)系如圖。則場點(diǎn)的位置為： ，源點(diǎn)的位置可表示為： 圓環(huán)上的線電荷密度為： 則：, 2.1 靜電場,2. 電力線(電場線) 電場強(qiáng)度的矢量線稱為電力線。電力線上任一點(diǎn)處的切線方 向與該點(diǎn)的電場方向一致；電力線的密度(即垂直穿過單位面積 的電力線的條數(shù))正比于電場強(qiáng)度的大??； 具有如下特點(diǎn)： (1) 電力線從正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷。 (2) 空間無電荷區(qū)域，電力線互不相交，這是

8、由電場強(qiáng)度的單值性所決定的。, 2.1 靜電場, 2.1 靜電場,三、電位 1. 靜電場環(huán)路定律 電荷在電場中要受到電場力的作用，所以當(dāng)電荷在電場中移 動(dòng)時(shí)，電場力要對它做功。 現(xiàn)在來研究將電荷 在靜電場中沿任一路徑 l 從 A 點(diǎn)移到 B 點(diǎn)，如圖所示。設(shè)在線元 處的電場強(qiáng)度為 E，當(dāng) 經(jīng)過 時(shí)， 電場力所做的功為： 則從 A 到 B 的整個(gè)路程上，電場力做 的總功為：, 2.1 靜電場,如果電場是由點(diǎn)電荷 產(chǎn)生的，則： 若令 ，則： 則有：, 2.1 靜電場,可以看出，這個(gè)功只與路徑的兩端點(diǎn)有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。根據(jù)疊加定理可知，在由點(diǎn)電荷系和分布電荷產(chǎn)生的電場中，電場力所做的功也是與路

9、徑無關(guān)的。,如果電荷在靜電場中沿一閉合路徑 l ：從 A 點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過 B 點(diǎn) 再回到 A 點(diǎn)，則電場力所做的功： 即在靜電場中，沿閉合路徑移動(dòng)電荷，電場力所做的功恒為零。 也就是說，電場強(qiáng)度的環(huán)路線積分恒等于零。, 2.1 靜電場,所以有： 這就是靜電場環(huán)路定律的積分形式。應(yīng)用Stocks定理，有： 由于上式面積分恒為零，則被積函數(shù)必恒為零，即： 這是靜電場環(huán)路定律的微分形式，表明靜電場是無旋場。,靜電場環(huán)路定律是靜電場的重要性質(zhì)，由于任意靜電場都可以看成是許多點(diǎn)電荷的靜電場疊加的結(jié)果，所以該定律適用于任意靜電場。, 2.1 靜電場,2. 電位 由場論知識(shí)可知，任意一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒為

10、零。 而 ，所以靜電場的電場強(qiáng)度 E 可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的 梯度表示 ，即： 我們稱標(biāo)量函數(shù) 為靜電場的電位或電勢，單位為伏特(V)。式 中的負(fù)號表示 與 的方向相反，即 E 指向電位函數(shù) 下降 最快的方向。 根據(jù)矢量恒等式 和電場強(qiáng)度的表達(dá)式，可以 得到點(diǎn)電荷、點(diǎn)電荷系、帶電線、帶電面和帶電體產(chǎn)生的電位分 別為：, 2.1 靜電場,我們知道，點(diǎn)電荷在電場中移動(dòng)時(shí)電場力對它所做的功W 與 其所帶電量 q 有關(guān)，因此 W 不能確切描述電場本身特性。為此 引入電位差的概念。 將單位正點(diǎn)電荷從 A 點(diǎn)移到 B 點(diǎn)時(shí)電場力所作的功定義為 A、B 兩點(diǎn)間的電位差，也叫電壓，即：, 2.1 靜電場,若設(shè)

11、定某固定點(diǎn) 處的電位 ，則稱 為參考0點(diǎn)。任 意點(diǎn)與參考0點(diǎn)的電位差就是該點(diǎn)的電位，即： 由于參考0點(diǎn)可以任意選取，所以電位并不唯一。但兩點(diǎn)間 的電位差不隨參考0點(diǎn)的變化而變化。 若電荷分布在有限區(qū)域，常假設(shè)無窮遠(yuǎn)處為參考0點(diǎn)，即： 前面給出的電位公式都是參考0點(diǎn)選在處時(shí)的電位，稱為 絕對電位。若某些問題假設(shè)電荷分布在無限大區(qū)域時(shí)，參考0點(diǎn) 必須選在有限遠(yuǎn)處。, 2.1 靜電場,3. 等位面 電位的等值面稱為等位面。由梯度的性質(zhì)以及 可知，電場強(qiáng)度處處垂直于等位面，并且指向電位下降最快的方 向。因此，電力線垂直于等位面。 4. 電偶極子 電偶極子是由兩個(gè)相距很近的等值異號點(diǎn)電荷( +q 和 -

12、q )組 成的系統(tǒng)，可以用電偶極矩(電矩) 來表示。其中，矢量 的 方向由 -q 指向 +q ， 為兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離。, 2.1 靜電場,四、靜電場中的導(dǎo)體和介質(zhì) 根據(jù)電場在物質(zhì)中的表現(xiàn)，物質(zhì)可分為導(dǎo)電媒質(zhì)（也稱導(dǎo)體）和電介質(zhì)（簡稱介質(zhì)）。 導(dǎo)電媒質(zhì)：其物質(zhì)中內(nèi)部存在大量的自由電荷，在電場的作用下，自由電荷會(huì)產(chǎn)生自由運(yùn)動(dòng)的電流，所以往往稱導(dǎo)電媒質(zhì)為導(dǎo)電體。 電介質(zhì)：物質(zhì)體內(nèi)沒有自由運(yùn)動(dòng)的電荷，或者自由電荷非常少，以至于可以忽略不計(jì)。介質(zhì)中的電子被束縛在原子核周圍，只能在原子核周圍有很小的位移，稱為束縛電荷 ，因此介質(zhì)不導(dǎo)電。, 2.1 靜電場,1. 靜電場中的導(dǎo)體 導(dǎo)體的特點(diǎn)是其中有大量的

13、自由電子。如果存在外部電場， 由于受到電場力的作用，帶負(fù)電荷的自由電子將向反電場方向移 動(dòng)，并積累在導(dǎo)體表面，形成某種電荷分布，稱為感應(yīng)電荷。感 應(yīng)電荷產(chǎn)生附加電場。自由電子的定向運(yùn)動(dòng)直至感應(yīng)電荷產(chǎn)生的 電場與外部電場在導(dǎo)體內(nèi)部處處相抵消為止，內(nèi)部總電場為零。 人們把這種狀態(tài)稱為導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)。, 2.1 靜電場, 2.1 靜電場,靜電平衡狀態(tài)下，靜電場中的導(dǎo)體應(yīng)具有以下性質(zhì)： 導(dǎo)體內(nèi)的電場強(qiáng)度為零。否則要引起導(dǎo)體中電荷的運(yùn)動(dòng)，就 不屬于靜電問題。 靜電場中的導(dǎo)體必定是一等位體，導(dǎo)體表面為等位面，因?yàn)?導(dǎo)體中 。 (3)導(dǎo)體表面的 E 必定垂直于表面，因?yàn)閷?dǎo)體表面是等位面。 (4)導(dǎo)體如果

14、帶電，則電荷只能分布于在其表面上。 電磁場理論中將與電力線垂直相交的面稱為電壁，則靜電場中導(dǎo)體表面是電壁。,2. 靜電場中的介質(zhì) （1）介質(zhì)的極化 無極性介質(zhì)：介質(zhì)分子內(nèi)正、負(fù)電荷均勻分布，正、負(fù)電荷的重心重合。 極性介質(zhì)：介質(zhì)分子內(nèi)正、負(fù)電荷分布不均勻，正、負(fù)電荷的重心不重合。它的每個(gè)分子可以看作一個(gè)電矩為p0的電偶極子。 當(dāng)有外加電場E0時(shí)，無極性介質(zhì)中正、負(fù)電荷的重心在外加電場的作用下分離成與E0方向相同的感應(yīng)電矩；而極性介質(zhì)中原來雜亂排列的分子的固有電矩在外加電場E0作用下幾乎都順著電場的方向排列， 雖然各個(gè)分子還在熱運(yùn)動(dòng)，但其電矩指向大致相同。 極化：外加電場使介質(zhì)中的分子形成與電場

15、方向相同的感應(yīng)電矩或使介質(zhì)中的固有分子電矩都順著電場方向排列的物理現(xiàn)象。, 2.1 靜電場,介質(zhì)極化后，由于內(nèi)部電荷重新排列，出現(xiàn)沿電場方向的一系列等效電偶極子。如果外電場和介質(zhì)都是均勻的，則電偶極子排列的結(jié)果使介質(zhì)內(nèi)部正負(fù)電荷相互抵消，而在介質(zhì)表面上出現(xiàn)一層面電荷。如果介質(zhì)或外加電場是不均勻的，則介質(zhì)內(nèi)部也將出現(xiàn)體電荷，但這些電荷將被束縛在分子之內(nèi)，不能自由移動(dòng)，故稱為束縛電荷。束縛電荷在空間也要激發(fā)電場，介質(zhì)中的總電場 E 是外加電場 與束縛電荷產(chǎn)生的電場 之和。因此，介質(zhì)中的電場不同于真空中的電場。在介質(zhì)內(nèi)部，由于 與 反向，所以， 。, 2.1 靜電場,(2)極化強(qiáng)度 在一定的外電場下

16、，不同介質(zhì)的極化程度不同；同一介質(zhì)在不同外電場作用下的極化程度也不同。因此，為了定量地描述介質(zhì)的極化程度，引入極化強(qiáng)度矢量 P ，介質(zhì)中 處的極化強(qiáng)度定義為該處單位體積內(nèi)的分子電偶極矩之和，即： 式中， 為 內(nèi)所有分子電偶極矩 p 的矢量和。 介質(zhì)的束縛面電荷密度 ，束縛體電荷密度 與極化強(qiáng)度 P 有密切關(guān)系，它們之間的定量關(guān)系是： 其中， 為介質(zhì)表面外法向單位矢量。, 2.1 靜電場,研究表明，極化強(qiáng)度 P 與總電場 E 的關(guān)系為： ，其 中， 稱為電極化率，是無量綱的正數(shù)。 一般由介質(zhì)的組成結(jié) 構(gòu)決定，不同介質(zhì)有不同的 ；同一種介質(zhì)中的密度變化也會(huì)導(dǎo) 致 變化； 還可能隨 E 變化。一般通

17、過實(shí)驗(yàn)來測定。 若外加電場太大，可能使介質(zhì)分子中的電子脫離分子的束縛 而成為自由電子，介質(zhì)變成導(dǎo)電材料，這種現(xiàn)象稱為介質(zhì)的擊 穿。介質(zhì)能保持不被擊穿的最大外加電場強(qiáng)度稱為該介質(zhì)的擊穿 強(qiáng)度。工程中，一般情況下，作用在介質(zhì)上的電場強(qiáng)度應(yīng)小于其 擊穿強(qiáng)度。, 2.1 靜電場,五、高斯(Gauss)通量定理 1. 真空中的高斯定理(P29) 我們知道，靜電場的環(huán)路定律是電場強(qiáng)度的環(huán)路線積分，下 面我們來討論電場強(qiáng)度的閉合面積分。 設(shè)無限大真空中有一點(diǎn)電荷 q，以該點(diǎn)電荷所在處為球心作 任一半徑為 r 的球面，則由該球面穿出的 E 通量為： 如果包圍點(diǎn)電荷的是任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出 的 E

18、 通量，仍等于 ，這是因?yàn)?E 通量只與閉合面內(nèi)包含電 荷的多少有關(guān)，與閉合面的形狀無關(guān)。, 2.1 靜電場,如果在無限大真空的電場中，一閉合面包圍了 N 個(gè)點(diǎn)電荷， 則根據(jù)疊加原理，有： 顯然，對于閉合面內(nèi)的電荷是連續(xù)分布時(shí)，則有： 式中： 是 S 面內(nèi)的凈電量。 由以上可知，真空中電場強(qiáng)度在任意閉曲面 S 上的通量等于 S 面內(nèi)凈電量與 的比值。上式就是靜電場在真空中高斯定理的 積分形式。, 2.1 靜電場,根據(jù)散度定理： ，有： 上式對任意體積 V 都成立，所以有： 這就是靜電場在真空中高斯定理的微分形式。它說明：場中 點(diǎn)處電場強(qiáng)度的散度等于該點(diǎn)電荷密度與 的比值。由此可見，靜止電荷是靜

19、電場的通量源，靜電場是有散場。, 2.1 靜電場,2. 介質(zhì)中的高斯定理 前面我們講過，被極化介質(zhì)上的束縛電荷與自由電荷一樣產(chǎn) 生電場，因此，在介質(zhì)中，高斯定理中的電荷密度應(yīng)是自由電荷 密度 與束縛電荷密度 之和，即：, 2.1 靜電場,將 代入上式，整理有： 為計(jì)算方便，引入電位移矢量 則上式變?yōu)椋?可見 D 只與自由電荷有關(guān)，它只是一個(gè)輔助矢量，為分析問題 方便而引入的，上式就是介質(zhì)中靜電場高斯定理的微分形式。,在真空中有： ，可得： 可見，真空中的高斯定理是其特例。 應(yīng)用散度定理，有： 這就是介質(zhì)中靜電場高斯定理的積分形式。, 2.1 靜電場,高斯通量定理表明：由任一閉合面穿出的 D 通

20、量等于該面 內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和，而與極化電荷無關(guān)。 根據(jù) D 的定義式，有： 稱為介質(zhì)的介電常數(shù)， 稱為相對介電常數(shù)，一 般是大于1的無量綱的數(shù)，而 由介質(zhì)的組成結(jié)構(gòu)決定，所以上 式稱為介質(zhì)的結(jié)構(gòu)方程。 說明：本課程中所涉及的介質(zhì)都是均勻( 不隨位置變化)、線性( 不隨 E 變化)、各向同性( D 與 E 方向相同)的介質(zhì)，上式也僅 適用于此類介質(zhì)。一般將空氣近似為真空，其 。, 2.1 靜電場,3. 應(yīng)用高斯定理計(jì)算靜電場問題 高斯定理反映了靜電場的一個(gè)基本特性。高斯定律的積分形式可以用來計(jì)算某些對稱分布電荷(常見的有面對稱、柱對稱和球?qū)ΨQ)產(chǎn)生的電場，電場的分布也具有對稱性，此時(shí)應(yīng)用高斯

21、定理可以非常簡便地求解電場問題。 若能找到一個(gè)包圍對稱電荷的閉曲面S，使得S面上電場強(qiáng)度處處平行于S面的法向(即 )且 處處相等；或者S面中一部分區(qū)域滿足上述條件，其余區(qū)域的法向處處與電場強(qiáng)度垂直，則 求出 后，再根據(jù) 與S面法向平行來確定方向。, 2.1 靜電場,例1：真空中有電荷以體密度 均勻分布于一半徑為 a 的球中，試 求球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度 E 和電位 。 解：如圖所示，建立以球心為原點(diǎn)的球坐標(biāo) 系。由于電荷分布呈球?qū)ΨQ，則電場的也具 有球?qū)ΨQ性，可用高斯定理求解。取與帶電 球同心，半徑為 r 的球面作為高斯面。, 2.1 靜電場,在此高斯面上，D 的大小是常數(shù)，方向是徑向，則由高斯定

22、 理 ，有： 當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， ， 由于電荷分布在有限區(qū)域，故選無窮遠(yuǎn)處為電位參考0點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，, 2.1 靜電場,例2：如圖所示，半徑為 a，帶電量為 Q 的導(dǎo)體球，外表面套有 內(nèi)半徑為 a、外半徑為 b、介電常數(shù)為 的同心均勻介質(zhì)球殼。求 空間任意一點(diǎn)處的 D、E 和 P，以及束縛電荷密度 。 解：本題中自由電荷及介質(zhì)都呈球?qū)ΨQ分布， 所以可用高斯定理的積分形式先求出 D。 導(dǎo)體球內(nèi)部 D、E 均等于0，總電量 Q 均 勻分布于導(dǎo)體球表面(靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì))。 故其在導(dǎo)體球外產(chǎn)生的 D 也是呈球?qū)ΨQ的， 則建立以導(dǎo)體球心為原點(diǎn)的球坐標(biāo)系，作以原點(diǎn)為球心，半徑 r 的球面

23、為高斯面。應(yīng)用高斯定理，有：, 2.1 靜電場,當(dāng) 時(shí)，介電常數(shù)為 ，當(dāng) 時(shí)，介電常數(shù)為 。 由 ，有： 由 ，有：, 2.1 靜電場,六、介質(zhì)中的環(huán)路定律和電位 1. 介質(zhì)中的環(huán)路定律 介質(zhì)內(nèi)外的靜電場是由自由電荷和束縛電荷共同產(chǎn)生的，由 于束縛電荷產(chǎn)生的靜電場與自由電荷產(chǎn)生的靜電場性質(zhì)相同，也 是無旋場，滿足環(huán)路定律，因此，介質(zhì)內(nèi)外的靜電場 E 也是無旋 場，滿足環(huán)路定律，即：, 2.1 靜電場, 2.1 靜電場,2. 介質(zhì)中的電位泊松方程和拉普拉斯方程 介質(zhì)中電位的定義與真空中電位的定義相同，我們從高斯定理的微分形式，可得：,在均勻介質(zhì)中， 與空間位置無關(guān)，即 ，則上式簡化為： 這就是均

24、勻介質(zhì)中電位的泊松方程。若討論的區(qū)域中無自由電 荷，則上式變?yōu)椋?這就是電位的拉普拉斯方程。,七、靜電場的基本方程 靜電場是由不隨時(shí)間變化的靜止電荷(包括自由電荷和束縛 電荷)產(chǎn)生的電場，遵循高斯定律和環(huán)路定律，這兩個(gè)定律均可 分別用積分形式和微分形式來表示，構(gòu)成了靜電場的基本方程。, 2.1 靜電場,積分形式： 微分形式： 再加上結(jié)構(gòu)方程 和電位與電場強(qiáng)度關(guān)系 就可以完整描述靜電場了。,(1)式是高斯定律的積分形式，表明電位移矢量 D 的閉合面積分等于閉合面內(nèi)所包圍自由電荷的代數(shù)和，它表征靜電場的一個(gè)基本性質(zhì)。(2)式是環(huán)路定律的積分形式，表明電場強(qiáng)度 E 的環(huán)路線積分恒等于0，即靜電場是一

25、個(gè)守恒場。 積分方程可以用來求解一些源分布與空間結(jié)構(gòu)對稱的問題，描述的是每一條回路和每一個(gè)閉合面上場量的整體情況。 (3)式是高斯定律的微分形式，表明靜電場是一個(gè)有散場。(4) 式是環(huán)路定律的微分形式，表明靜電場是無旋場。 微分方程描述了各點(diǎn)及其鄰域的場量情況，反映了從一點(diǎn)到另一點(diǎn)場量的變化，可以更深刻、更精細(xì)地了解場的分布，它給出的是場量的散度和旋度。根據(jù)亥姆霍茲定理，如果已知靜電場的邊界條件，就可以唯一地確定靜電場。, 2.1 靜電場,一、電流場 1. 電流強(qiáng)度(電流) 電荷在電場的作用下作定向運(yùn)動(dòng)形成電流，電流的大小用電 流強(qiáng)度來描述。若 時(shí)間內(nèi)有 的電量通過某導(dǎo)體橫截面，則 定義 時(shí)

26、的極限為通過該橫截面的電流強(qiáng)度，簡稱電 流，記為 I(t) ，即： 其中，I(t) 是 t 時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量，其單位 是安培(A=C/s)。電流是標(biāo)量，但一般將正電荷運(yùn)動(dòng)的方向定義 為電流的正方向。, 2.2 恒定電場,2. 電流密度矢量 從場的觀點(diǎn)來看，電流是一個(gè)具有通量概念的量，它并沒有 說明電流在導(dǎo)體橫截面上每一點(diǎn)的分布情況。為了研究導(dǎo)體中同 一橫截面上不同點(diǎn)的電流情況，引入電流密度矢量這一概念。 如圖所示，過導(dǎo)體中 r 點(diǎn)取垂直于電流方向 的面元 ，通 過 的電流為 ，定義 時(shí)， 的極限為 r 點(diǎn)處電流密 度矢量的模， 的方向?yàn)殡娏髅芏仁噶康?方向。t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處

27、的電流密度矢量即為：, 2.2 恒定電場,電流密度矢量的模等于垂直于電流方向單位面積上的電流，方向?yàn)殡娏鞯姆较颉?這樣，在電流密度為 的區(qū)域中，流過 任意曲面 S 的電流為： 宏觀厚度 的薄導(dǎo)體片的電流 稱為面電流。如圖，過 r 點(diǎn)取垂直于電 流方向 的線元 ，通過 的電流為 ， 定義 時(shí)， 的極限為 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處的面電流密度矢量的 模， 的方向?yàn)槊骐娏髅芏仁噶康姆较?，記?。則有：, 2.2 恒定電場,面電流密度的模等于垂直于電流方向的單位長度上的電流，方向?yàn)殡娏鞯姆较颉?在面電流密度為 的曲面上，流過任意曲線 L 的電流為： 如果導(dǎo)體橫截面很小，可認(rèn)為電流全部集中在導(dǎo)體的中軸線 上，

28、可將它看成電流強(qiáng)度為 I 的線電流。 在電流分布區(qū)域中每一點(diǎn)處均有對應(yīng)的電流密度矢量 則形成了電流場，其矢量線稱為電流線。, 2.2 恒定電場,3. 電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程 電荷不能被創(chuàng)造也不能被消滅，只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。在一個(gè)封閉系統(tǒng)內(nèi)的任何電磁過程中，正、負(fù)電荷電量的代數(shù)和保持不變，這就是電荷守恒定律。 由電荷守恒定律可知，單位時(shí)間內(nèi)從閉曲面 S 流出的電量恒等于由S所包圍的體積中單位時(shí)間內(nèi)電荷的減少數(shù)量。單位時(shí)間內(nèi)從閉曲面中流出的電量等于從閉曲面中流出的電流 閉曲面內(nèi)的電量等于 ，所以上述恒等關(guān)系可表示為： 上式就是電流連續(xù)性方程的積分形

29、式。, 2.2 恒定電場,根據(jù)散度定理，有： 代入上式，有： 上式對任意體積 V 都成立，必然有： 這是電流連續(xù)性方程的微分形式。該式表明，變化的電荷密度是 電流場的通量源。, 2.2 恒定電場,要保持 不隨時(shí)間變化，r 點(diǎn)處流走多少電荷，就必然要 流來相等數(shù)量的電荷來補(bǔ)充，才能維持 恒定。因此，恒定電 流場中每點(diǎn)得、失的電荷保持動(dòng)態(tài)平衡，電荷密度 保持不變， 即 ，代入電流連續(xù)性方程可得： 這分別是恒定電流的電流連續(xù)性方程的積分形式和微分形式。, 2.2 恒定電場,二、恒定電流場 若電流密度 J 僅是空間位置 的函數(shù)，而不隨時(shí)間 t 變化， 則其形成的電流場稱為恒定電流場，記為, 2.2 恒

30、定電場,由此我們得出如下結(jié)論：(1)在電流穩(wěn)恒的情況下，由于各處電荷密度 穩(wěn)定，所以電場分布 也穩(wěn)定。 (2)電流穩(wěn)恒時(shí)，(a)式表明，通過任何閉合曲面S的凈電流強(qiáng)度均為零，也就是從S某部分流進(jìn)去的電流強(qiáng)度，必定等于從另一部分流出去的電流強(qiáng)度。這意味著穩(wěn)恒電流的每一條電流線都是連續(xù)，因而是閉合的曲線， (b)式就是這一性質(zhì)的描述穩(wěn)恒電流場是無散場。事實(shí)上，一切直流電路都是閉合電路。, 2.2 恒定電場,例如，上圖直流電路中，對于包圍著電路一個(gè)節(jié)點(diǎn)的閉合曲面S 即,三、歐姆定律 導(dǎo)體中的電流是其中的帶電粒子在電場力作用下作定向運(yùn)動(dòng) 的結(jié)果。導(dǎo)體中的電流密度 J 與導(dǎo)體中的 E 有關(guān)，它們之間的

31、關(guān)系取決于導(dǎo)體的組成結(jié)構(gòu)。對于絕大多數(shù)導(dǎo)電材料，在 E 取 值的很大范圍內(nèi)，J 與 E 成正比，其關(guān)系式為： 式中， 稱為導(dǎo)體的電導(dǎo)率，單位為 。 的值取決于導(dǎo)體 的組成結(jié)構(gòu)。 的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)體，一般將 極大的媒質(zhì)近 似為理想導(dǎo)體。介質(zhì)不導(dǎo)電，其 ，一般將 極小的媒質(zhì)近似 為介質(zhì)。該式是導(dǎo)體的結(jié)構(gòu)方程，也稱為歐姆定律的微分形式。, 2.2 恒定電場,電路理論中的歐姆定律是： 式中： 和 都是積分量。所以，以場 的觀點(diǎn)稱上式為歐姆定律的積分形式。 歐姆定律的積分形式描述的是一段有限長度和有限截面導(dǎo)體 的導(dǎo)電規(guī)律，但只適用于穩(wěn)恒情況。而微分形式給出了導(dǎo)體中任 一點(diǎn)的 J 和E 之間的關(guān)系，更細(xì)致

32、地描述了導(dǎo)體的導(dǎo)電規(guī)律，而 且對于穩(wěn)恒和非穩(wěn)恒情況都適用。 下面將歐姆定律推廣到有源存在的情況。要在導(dǎo)體內(nèi)維持一 恒定的電場，必須依靠電源。電源是一種將其它形式的能量(化 學(xué)能、機(jī)械能等)轉(zhuǎn)換成電能的裝置。, 2.2 恒定電場,在電源內(nèi)部，有局外力(如化學(xué)作用力)存在，這種局外力使 正電荷由負(fù)極向正極運(yùn)動(dòng)，不斷補(bǔ)充電極上的電荷，使之維持不 變，因而在導(dǎo)體中便得到了恒定電流。我們將局外力與電荷的比 值類比為一種電場，稱為局外電場，記為 。前面由電荷產(chǎn)生的 電場稱為庫侖電場 E。在電源外部只存在 E ，在電源內(nèi)部 和 E 都存在，且方向相反。于是有： 這就是有源歐姆定律的微分形式， 是電源內(nèi)部導(dǎo)電

33、物質(zhì)的電導(dǎo)率。, 2.2 恒定電場,如圖是一個(gè)有源的均勻?qū)w回路， 將上式改寫成： 對上式沿整個(gè)導(dǎo)體回路 C 積分，得： 式中， 為電源電動(dòng)勢，表示在電源內(nèi)部局外力將單位電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移至正極所做的功。 上式最后一個(gè)等號兩邊就是有源歐姆定律的積分形式。, 2.2 恒定電場,四、焦耳定律 帶電粒子在定向運(yùn)動(dòng)過程中，不斷與其它粒子發(fā)生碰撞，把 能量傳遞給其它粒子，使其熱運(yùn)動(dòng)加劇，導(dǎo)致導(dǎo)體溫度升高，這 就是電流的熱效應(yīng)。這種由電場能量轉(zhuǎn)化來的熱能稱為焦耳熱。 如圖，在導(dǎo)體中沿電流方向取一個(gè)橫截面為 dS，長度為 dl 的體積元，在足夠小的情況下，認(rèn)為其中 E 為常數(shù)。在 dt 時(shí)間 內(nèi)，從體

34、積元一端流到另一端的電荷量為dq，在這些電荷移動(dòng)過 程中，電場力所作的功為： dW=dqEdl 因此，在該體積元中損耗的功率為：, 2.2 恒定電場,為了表示導(dǎo)體中任一點(diǎn)處單位體積中的損耗功率，引入損耗 功率密度 p ，即： 由于 J 和 E 方向相同，上式可寫成：, 2.2 恒定電場,上式就是焦耳定律的微分形式，它對于恒定電流和時(shí)變電流都成 立。體積為 V 的導(dǎo)體中的損耗的總功率為： 對于一段長為 l ，橫截面積為 S 的導(dǎo)體，其損耗的功率可寫成： 這是焦耳定律的積分形式，它從場的角度驗(yàn)證了電路中的公式。,五、恒定電場的基本方程 恒定電流回路中，電源兩極及導(dǎo)體上各點(diǎn)的電荷密度保持恒定，這種恒

35、定的電荷分布產(chǎn)生的電場也是恒定的。由于它由運(yùn)動(dòng)電荷而非靜止電荷產(chǎn)生，因此被稱為恒定電場。, 2.2 恒定電場,恒定電場與靜電場的性質(zhì)完全相同，因此電源外部(包括導(dǎo) 體回路及其周圍媒質(zhì))的恒定電場方程與靜電場方程相同，即： 積分形式： 微分形式： 同時(shí)，在電源外部的導(dǎo)體中，還存在恒定電流場，其場方程為： 積分形式： 微分形式： 再加上兩個(gè)結(jié)構(gòu)方程： 和 就可以完整描述恒定電場 了。E 的旋度等于零說明恒定電場仍是一個(gè)保守場。J 的散度等 于零說明 J 線是無頭無尾的閉合曲線。, 2.2 恒定電場,因此恒定電流只能在閉合電路中流動(dòng)，一旦電路斷開，電流 就不可能存在。 若電源外部的導(dǎo)體均勻， 為常數(shù)

36、，由于 ， 得 ，這表明均勻?qū)w內(nèi)即使存在恒定電流，但凈自由電 荷密度仍等于0，在導(dǎo)體中產(chǎn)生恒定電場的電荷只分布在均勻?qū)?體表面。所以，電源外部的均勻?qū)w中，恒定電場是無散、無旋 場。恒定電場是無旋場，因此可以像靜電場一樣引入標(biāo)量電位 即： 。將此式代入 ，得 所以在電源外部的均勻?qū)w中，電位 滿足標(biāo)量拉普拉斯方程， 即：, 2.2 恒定電場,我們知道，恒定電流、永久磁石都可以產(chǎn)生磁場，而且都是 靜磁場。我們這里只討論恒定電流產(chǎn)生的磁場。由于恒定電流產(chǎn) 生的磁場不隨時(shí)間變化，所以稱這種磁場為恒定磁場。 一、磁感應(yīng)強(qiáng)度 1. 安培力定律 安培通過多次試驗(yàn)和分析，于1820年總結(jié)出描述真空中兩個(gè)

37、恒定電流之間相互作用力的安培定律，表述如下。, 2.3 恒定磁場,安培定律的表述：設(shè)真空中有兩個(gè)靜止的細(xì)導(dǎo)線閉合回路 L和 ，分別載有恒定電流 I 和 ，如圖，則電流回路 L 受到 的作用力 為： 式中， 分別為 L 上 點(diǎn)處和 上 點(diǎn)處的電流元，其方向與電 流同向。 為真空 中的磁導(dǎo)率。此式是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律， 可以證明， 受到 L 的作用力滿足 牛頓第三定律，即, 2.3 恒定磁場,2. 磁感應(yīng)強(qiáng)度和畢奧薩伐爾定律 由安培力定律可知，受力電流在磁場中的位置不同，所受的作用力也不同。為了定量描述磁場的這一特性，引入磁感應(yīng)強(qiáng)度的概念。我們可以將安培力定律改寫為：, 2.3 恒定磁場,式中： 。 畢

38、奧薩伐爾定律：,由(2)式可知， 只由回路 的形狀和電流 的大小、方向 決定，與受力回路無關(guān)，只與空間位置 r 有關(guān)。由(1)式可知 是 對 r 點(diǎn)處的電流元 的作用力，將 L 上每一個(gè)電 流元所受的作用力疊加(即積分)，就得到整個(gè)L回路所受的作用力。 我們將 稱為載流回路 在 r 點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁通密 度，單位為特斯拉(T)或韋伯/米2 。, 2.3 恒定磁場,若電流以體電流密度 分布在體積 中，在 中 處沿 電流方向取長度為 ，橫截面為 的小電流管，則管中的電流 為： ，將此小電流管看作一個(gè)電流元，則有： 是 中的體積元。這樣，體積 中的體電流在 r 處產(chǎn)生的磁 感應(yīng)強(qiáng)度為： 同樣

39、，可得曲面 上的面電流在 r 處產(chǎn)生的 為： 磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 的矢量線稱為磁力線，遵守矢量線的一般規(guī)則。, 2.3 恒定磁場,3. 磁通連續(xù)性原理(恒定磁場中的高斯定律) 在磁場中，穿過任一曲面 S 的 的通量，稱為磁通 ，因 此，有： 在SI中，磁通的單位是韋伯(Wb)。 實(shí)驗(yàn)表明，磁力線是閉合的，既無始端又無終端，這說明自 然界中不存在與電荷對應(yīng)的所謂“磁荷”，因此也就沒有供 B 線發(fā) 出或終止的源。這樣，對于任意閉曲面有： 這說明穿入閉曲面的磁通等于穿出閉曲面的磁通。這就是磁通連 續(xù)性原理的積分形式，它也可以由畢薩定律直接導(dǎo)出。, 2.3 恒定磁場,利用高斯散度定理，有： 要使此式對任意

40、體積 V 都成立，則必有： 這是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明恒定磁場是無散場。, 2.3 恒定磁場,二、恒定磁場中的媒質(zhì) 1. 媒質(zhì)的磁化與等效磁化電流 媒質(zhì)分子(原子)中的自由電子在其軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)就相當(dāng)于一個(gè)圓電流，我們稱之為分子電流，其對應(yīng)的磁矩稱為分子磁矩。由于熱運(yùn)動(dòng)等原因，物質(zhì)分子電流產(chǎn)生的磁場常常互相抵消，因而總體并不顯磁性。當(dāng)外加磁場時(shí)，分子磁矩會(huì)在其作用下取向排列。取向排列的結(jié)果是分子電流產(chǎn)生的磁場在宏觀上不會(huì)互相抵消至零，這種現(xiàn)象稱為媒質(zhì)的磁化，該媒質(zhì)稱為導(dǎo)磁媒質(zhì)。同時(shí)，取向排列的分子電流產(chǎn)生的宏觀磁場又會(huì)對外加磁場產(chǎn)生影響，改變原來磁場的分布。這種作用與反作用一直持續(xù)到合

41、成磁場穩(wěn)定為止。, 2.3 恒定磁場,(1) 電子磁矩：將一個(gè)電子的軌道運(yùn)動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)形成的微觀電流回路所產(chǎn)生的磁矩稱為電子磁矩； (2) 固有磁矩：把一個(gè)分子中所有電子磁矩的矢量和稱為固有磁矩； (3) 分子電流：與固有磁矩對應(yīng)的等效電流，也就是電子自旋和繞原子核旋轉(zhuǎn)形成的微觀電流。 抗磁質(zhì)：由固有磁矩為0的分子組成的媒質(zhì) (Cu、Pb、Ag、H2O、NaCl) 順磁質(zhì)：由固有磁矩不為0的分子組成的媒質(zhì) (O2、空氣、Na), 2.3 恒定磁場,外加磁場 在分子中產(chǎn)生一個(gè)與外加磁場方向相反的感應(yīng)磁矩,使分子中的固有磁矩都轉(zhuǎn)到外磁場大致相同的方向,(4) 磁化：外加磁場使媒質(zhì)分子形成與磁場方向

42、相反的感應(yīng)磁矩或使媒質(zhì)的固有磁矩都順著磁場的方向定向排列的現(xiàn)象。 媒質(zhì)磁化后，才能對外顯示磁性。, 2.3 恒定磁場,媒質(zhì)被磁化后，分子磁矩的指向基本相同，對應(yīng)的分子電流 的方向也基本相同。在平行于分子磁矩的媒質(zhì)表面，將這些方向 相同的分子電流一段一段地連接起來看，其總效果相當(dāng)于在媒質(zhì) 表面有一層面電流流過，但由于該電流是由束縛在分子內(nèi)部的電 荷移動(dòng)形成的，稱為束縛面電流。若媒質(zhì)不均勻或外加的恒定磁 場不均勻，媒質(zhì)局部區(qū)域中的分子電流可能不完全抵消，則會(huì)出 現(xiàn)束縛體電流。束縛電流又稱為磁化電流。, 2.3 恒定磁場,2. 磁化強(qiáng)度 為了衡量導(dǎo)磁媒質(zhì)的磁化程度，定義媒質(zhì)中 r 點(diǎn)處單位體積 內(nèi)分

43、子磁矩的矢量和為磁化強(qiáng)度，記為 ，即： 式中， 是 內(nèi)所有分子磁矩 的矢量和， 是電流為 I ，面積為 S 的分子電流的磁矩， 的方向與電流 I 的 方向成右手螺旋關(guān)系。 導(dǎo)磁媒質(zhì)的束縛面電流密度 和束縛體電流密度 與磁化 強(qiáng)度之間的定量關(guān)系如下，其中 為媒質(zhì)表面外法向單位矢量。, 2.3 恒定磁場,3. 磁場強(qiáng)度和導(dǎo)磁媒質(zhì)的結(jié)構(gòu)方程 為了避免求磁化強(qiáng)度 所帶來的困難，我們引入磁場強(qiáng) 度 H，定義為： 從前面描述的媒質(zhì)磁化過程中可以看出，磁化強(qiáng)度 與 總磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 有密切關(guān)系。但由于歷史原因，以及便于實(shí)際 測量等因素，往往只考慮 M 與 H 的關(guān)系來描述媒質(zhì)的磁特性， 即： 稱為磁化率，是

44、無量綱的數(shù)，取決于媒質(zhì)的組成結(jié)構(gòu)。不同 媒質(zhì)有不同的 ，同一種媒質(zhì)中的密度變化也會(huì)導(dǎo)致 變化， 還可能隨 H 變化，一般通過實(shí)驗(yàn)來測定。, 2.3 恒定磁場,將上式代入 H 定義式，有： 這就是媒質(zhì)的結(jié)構(gòu)方程。式中， 稱為媒質(zhì)的磁導(dǎo)率， 稱為相對磁導(dǎo)率，是無量綱的數(shù)。一般來說， 是空間位 置和 H 的函數(shù)。 說明：本課程若非特別指明，所涉及到的媒質(zhì)都是均勻( 不隨空 間位置變化)、線性 ( 不隨H變化)、各向同性 ( 是標(biāo)量，B 與 H 同向)的。除鐵磁質(zhì)外，其它常見媒質(zhì)的 均近似為1。, 2.3 恒定磁場,4. 媒質(zhì)中的磁通連續(xù)性原理 媒質(zhì)內(nèi)、外的恒定磁場 B 是傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的恒定磁場與束

45、縛電流產(chǎn)生的恒定磁場的疊加場。這兩種磁場性質(zhì)相同，都是無 散場，均滿足磁通連續(xù)性原理。所以，B 也是恒定磁場，滿足磁 通連續(xù)性原理，即：, 2.3 恒定磁場,三、安培環(huán)路定律 1. 真空中的安培環(huán)路定律 前面我們講過，B 在閉曲面上的積分為0，即磁通連續(xù)性原 理說明磁場是個(gè)無散場。而 B 在閉合路徑上的線積分可以說明 磁場的有旋性，這就是安培環(huán)路定律。下面我們作詳細(xì)討論。, 2.3 恒定磁場,磁場要伴隨電流而存在，磁力線也總要與電流線相交鏈，安 培環(huán)路定律就是定量描述這一關(guān)系的定律，即： 這就是安培環(huán)路定律的積分形式。式中，左端是 B 在任一閉合路 徑 L 上的線積分，右端的 I 是穿過此閉合

46、路徑所限定的任意曲面 的凈電流。電流的方向與積分路徑的方向成右手螺旋關(guān)系時(shí)，I 為正，反之為負(fù)。 它可以由實(shí)驗(yàn)方法來驗(yàn)證，也可以由畢薩定律用數(shù)學(xué)方法推 導(dǎo)出來。下面我們用一個(gè)簡單的特例來驗(yàn)證其正確性。, 2.3 恒定磁場,例：計(jì)算長為 2L 的，載有電流 I 的細(xì)直導(dǎo)線外任一點(diǎn)處的磁感 應(yīng)強(qiáng)度 B ，并驗(yàn)證安培環(huán)路定律。 解：如圖，選用圓柱坐標(biāo)系，把導(dǎo)線 對稱地放在 z 軸上，電流 I 向 z 軸正 向流動(dòng)。設(shè)場點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 。 則電流元 到場點(diǎn) P 的距離 矢量為： 則根據(jù)幾何關(guān)系有：, 2.3 恒定磁場,當(dāng) 時(shí)， ，有： 由此可以看出，在無限長載流直導(dǎo)線所產(chǎn)生的磁場中，B 線 是圓心在

47、導(dǎo)線軸上，與導(dǎo)線垂直的一簇圓。, 2.3 恒定磁場,這樣，若取積分路徑 L 為包圍 I 的任意曲線，如左圖，在柱 坐標(biāo)系中，有： 則： 若取積分路徑 L 為不包圍 I 的任意曲線，如右圖，則： 至此，我們以簡單的特例驗(yàn)證了安培環(huán)路定律。, 2.3 恒定磁場,下面，我們推導(dǎo)安培環(huán)路定律的微分形式。由Stocks旋度定 理和 ，有： 由于上式中曲面 S 是曲線 L 所限定的任意曲面，則有： 這就是安培環(huán)路定律的微分形式。由此可知，恒定電流是恒定磁 場的旋渦源，恒定磁場是有旋場。由矢量分析中我們知道，有旋 場的矢量線是環(huán)繞其旋渦源的閉合曲線，這樣進(jìn)一步驗(yàn)證了恒定 磁場的磁力線是環(huán)繞恒定電流的閉合曲線

48、，且恒定電流的方向與 環(huán)繞該電流的磁力線方向成右手螺旋關(guān)系。, 2.3 恒定磁場,2. 媒質(zhì)中的安培環(huán)路定律 真空中恒定磁場安培定律的微分形式為 ，其 中， 是傳導(dǎo)電流。前面我們知道導(dǎo)磁媒質(zhì)中的束縛電流與傳 導(dǎo)電流一樣產(chǎn)生磁場。因此，媒質(zhì)中的安培環(huán)路定律右邊的電流 應(yīng)該是傳導(dǎo)電流 與束縛電流 之和，即： 將 代入，移項(xiàng)整理得： 可以看出，中括號中的表達(dá)式正是 的定義式，這也是引入磁 場強(qiáng)度 的原因。這樣，上式可寫成：, 2.3 恒定磁場,這就是媒質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式，可見 H 只與傳導(dǎo)電流 有關(guān)。將 代入可得真空中的安培環(huán)路定律，可見它是媒 質(zhì)中安培環(huán)路定律的特例。 對上式兩邊在任意曲面

49、 S 上取面積分，且根據(jù)旋度定理，有 即： 這就是媒質(zhì)中安培環(huán)路定律的積分形式，式中 I 是與閉曲線L 相 交鏈的凈傳導(dǎo)電流。, 2.3 恒定磁場,3. 應(yīng)用安培環(huán)路定律計(jì)算恒定磁場問題 安培環(huán)路定律反映了恒定磁場的一個(gè)基本性質(zhì)。當(dāng)傳導(dǎo)電流 分布和媒質(zhì)分布都具有對稱性時(shí)，應(yīng)用安培環(huán)路定律可以非常簡 便地求解恒定磁場問題。 例：無限長細(xì)直導(dǎo)線上的電流為 I ，導(dǎo)線被半徑為 a 的均勻媒質(zhì) 包裹，媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為 ，求空間任意點(diǎn)的 B、H、M。 解：由于電流和媒質(zhì)在無限長導(dǎo)線上均勻分 布，建立如圖圓柱坐標(biāo)系，作以 z 軸為中心 軸， 為半徑的圓 l ，在此環(huán)路上應(yīng)用安培環(huán)路定律，有：, 2.3 恒定

50、磁場,由 ，得, 2.3 恒定磁場,四、磁位 1. 磁矢位 我們知道，一個(gè)矢量的旋度仍是一個(gè)矢量，所以恒定磁場的 可以寫成一個(gè)矢量的旋度，即： 則我們稱 為恒定磁場的磁矢位，單位為Wb/m。如同在電場 中引入電位一樣，引入磁矢位可以使磁場問題的分析、計(jì)算得到 簡化。在很多情況下，A 比 B 更易求解。磁矢位本身沒有明確的 物理意義，它僅僅是分析和計(jì)算磁場問題的輔助矢量。, 2.3 恒定磁場,將矢量恒等式 代入 的定義式有： 又根據(jù)矢量恒等式： ，可知： 由于 是對場點(diǎn)坐標(biāo) (x,y,z) 進(jìn)行微分，而 僅是源點(diǎn)坐標(biāo) 的函數(shù)，故必有 ，則上式簡化為：, 2.3 恒定磁場,對照 ，可得： 類似地，

51、面電流、體電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 可改寫為： 則對應(yīng)的磁矢位為： 可以看出，磁矢位表達(dá)式中的被積函數(shù)比較簡單，則先求 A，再 求 B，往往比直接求 B 更簡單。, 2.3 恒定磁場,2. 庫侖規(guī)范 若 A 是 B 的磁矢位，即 ，則 ( 為 任意標(biāo)量函數(shù))，也是 B 的磁矢位，這是因?yàn)椋?這樣，磁矢位 A 并不唯一。這是因?yàn)樵诙x磁矢位時(shí)只規(guī)定了它 的旋度，而沒有規(guī)定它的散度。由亥姆霍茲定理可知，要唯一確 定一個(gè)矢量必須同時(shí)知道它的旋度和散度。因此要唯一確定 A ， 還必須規(guī)定它的散度值。對于恒定磁場，通常規(guī)定： 我們稱這種規(guī)定為庫侖規(guī)范。可以證明，對于分布在有限區(qū)域內(nèi) 的電流而言，前面計(jì)算

52、出的磁矢位自動(dòng)滿足庫侖規(guī)范。, 2.3 恒定磁場,3. 矢量泊松方程和矢量拉普拉斯方程 將 代入安培環(huán)路定律的微分形式 有： 將庫侖規(guī)范 代入上式，有： 這就是均勻媒質(zhì)中磁矢位滿足的矢量泊松方程。A 的每一個(gè)坐標(biāo) 分量均滿足標(biāo)量泊松方程，即： 在電流密度為零的區(qū)域，A 滿足矢量拉普拉斯方程： 此時(shí)，A 的每個(gè)坐標(biāo)分量均滿足標(biāo)量拉普拉斯方程，即：, 2.3 恒定磁場,4. 磁標(biāo)位 在電流密度為零的區(qū)域，安培環(huán)路定律簡化為 。 這說明在沒有電流分布的區(qū)域，類似靜電場中 ，B 也可 以表示為標(biāo)量函數(shù)的梯度，即： 式中， 稱為磁標(biāo)位，它主要用來分析、計(jì)算磁化媒質(zhì)，特別 是永磁材料的磁場問題。 將上式代

53、入磁通連續(xù)性原理 ，有： 對均勻媒質(zhì)， 不隨空間位置變化， ，則有： 這就是均勻媒質(zhì)中磁標(biāo)位滿足的拉普拉斯方程。, 2.3 恒定磁場,五、恒定磁場的基本方程 恒定磁場是由恒定電流(包括傳導(dǎo)電流和束縛電流)產(chǎn)生的磁 場，遵循安培環(huán)路定律和磁通連續(xù)性原理，這兩個(gè)定律均可以用 積分形式和微分形式來表示，構(gòu)成了恒定磁場的基本方程。 積分形式： 微分形式： 再加上結(jié)構(gòu)方程 和磁位與 B 關(guān)系式 或 就可以完整描述恒定磁場了。, 2.3 恒定磁場,恒定磁場是無散、有旋場，恒定電流是其旋渦源，磁力線是 與電流相交鏈的閉合曲線。若源的分布作為已知條件給出，根據(jù) 以上方程就可以求解恒定磁場問題。與電場的積分方程

54、一樣，恒 定磁場的積分方程只能用來計(jì)算一些源分布和媒質(zhì)空間分布對稱 的問題。若要通過微分方程求解，還需要知道恒定磁場的邊界條 件。 通過計(jì)算磁位來求解磁場有時(shí)會(huì)帶來方便，給出的磁位方程 都只適用于均勻媒質(zhì)，并且磁標(biāo)位方程只適用于電流密度為零的 區(qū)域。要唯一地確定磁位，也需要知道磁位的邊界條件。, 2.3 恒定磁場,邊界是指不同媒質(zhì)的分界面。邊界面兩側(cè)的媒質(zhì)參數(shù)發(fā)生突 變會(huì)導(dǎo)致場矢量發(fā)生突變，但邊界面兩側(cè)的場矢量之間總滿足一 定的相互關(guān)系，這種關(guān)系就稱為場的邊界條件。 邊界條件由場矢量滿足的基本定律決定，如高斯定律，安培 環(huán)路定律等。但這些基本定律的微分形式在邊界上失去意義，只 能由其積分形式來

55、推導(dǎo)邊界條件。因此，邊界條件是場矢量的積 分方程在邊界上的特殊表現(xiàn)形式。, 2.4 靜態(tài)場的邊界條件,一、靜電場的邊界條件 1. 電場的法向分量 設(shè)媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的介電常數(shù)分別為 ， 是由媒質(zhì)1指向媒質(zhì)2的邊界法 向單位矢量。如圖，取高度為 ，橫截 面無限小的扁圓柱面 S ，上、下底面 垂直于 ，分別處在媒質(zhì)2和媒 質(zhì)1中。圓柱面在邊界面上截取的面積為 ， 。 在 S 面上應(yīng)用高斯定理，有：,側(cè), 2.4 靜態(tài)場的邊界條件,當(dāng) 時(shí)， ，而且 V 中的電荷就是邊界面 上分 布的電荷。又由于 無限小，可認(rèn)為 上的 D分 別是常量 上的面電荷密度也等于常數(shù) ，所以上式可 改寫為： 即： 或 可見，邊

56、界面處 D 的法向分量的突變量等于邊界面上的自由電 荷面密度 。若 ，則邊界面處 D 的法向分量連續(xù)。 又 ，則有： 可見，無論邊界面上有無自由面電荷，E 的法向分量都不連續(xù)。,側(cè), 2.4 靜態(tài)場的邊界條件,2. 電場的切向分量 設(shè) 為邊界面的法向單位 矢量， 為同一點(diǎn)處邊界面切向 單位矢量。如圖，取與 共 面，高度為 的無限小矩形回 路 L ，使其在邊界面上截取小 線段 ；上、下底邊 垂直于 ，分別處于媒質(zhì)2和媒質(zhì)1中，并無限貼近邊界面，且有 。在環(huán)路 L 上應(yīng)用環(huán)路定律，有：,側(cè)邊, 2.4 靜態(tài)場的邊界條件,當(dāng) 時(shí)， 。由于 無限小，可以認(rèn)為 上的 E 分別為常量 ，則上式改寫為： 即： 或 可見，邊界面處 E 的切向分量連續(xù)。,側(cè)邊, 2.4 靜態(tài)場的邊界條件,在環(huán)路 L 上應(yīng)用環(huán)路定律，有：,側(cè)邊,設(shè) 為垂直于矩形回路平面且與邊界面相切的單位矢 量，則 。應(yīng)用矢量恒等式 ，上式可寫 成： 由于 是邊界面上任一點(diǎn)處無數(shù)個(gè)切向單位矢量中的任一個(gè)，故 的方向也是任意的。要使上式對任意方向的 都成立，必有： 所以這是邊界面處 E 的切向分量的邊界條件的又一種表示形式。 將 代入 ，有： 可見，D 的切向分量不連續(xù), 2.4 靜態(tài)場的邊界條件,3. 邊界面兩側(cè)電場方向的關(guān)系 E、D 在越過邊界面時(shí)方向會(huì)發(fā)生變化。若邊界面