概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT.ppt

1、1.2 事件的概率,1.2.1 概率的初等描述,概率的直觀定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。記為 P（A）,例：E-擲硬幣，A=正面朝上，B=反面朝上,結(jié)論：,古典概型是一種計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，它是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象。,* 引例,例1 一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球，編號(hào) 分別為110，現(xiàn)從中任取一球。,用i表示取到i號(hào)球，i = 1, 2, , 10，則該實(shí)驗(yàn)的樣本空間 = 1,2,10（有限多個(gè)樣本點(diǎn)）,且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同（1/10）。,1.2.2 古 典 概 型,另如： 1擲一枚均勻的硬幣 （1）有2個(gè)可能的結(jié)果 （2）每個(gè)結(jié)果

2、的出現(xiàn)都是等可能的 2擲一枚均勻的骰子 （1）有6個(gè)可能的結(jié)果 （2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的 3在5個(gè)白球3個(gè)黑球任取2個(gè) （1）有 個(gè)可能的結(jié)果 （2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的,古典概型中事件概率的計(jì)算,例2 一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球，假設(shè)10個(gè)球中有7個(gè)是白色的，3個(gè)是紅色的，現(xiàn)從中任取一球。 A=取得白球，B=取得紅球 因此，很自然地定義,P(A)=7/10 P(B)=3/10,若一隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：,1) 樣本空間只含有有限多個(gè)樣本點(diǎn)（有限性）；,2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）。,則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型,即：=1，2，n,即：對(duì)每個(gè) i

3、= 1，2，n 有：P(1)= P(2)= P(n)=1/n,這是一類最簡(jiǎn)單卻是常見(jiàn)的隨機(jī)試驗(yàn)。,古典概型定義,舉例 1摸球問(wèn)題 （組合問(wèn)題） 例1 一袋中有大小、形狀完全相同的5個(gè)白球4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球 求： （1）恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球的概率 （2）沒(méi)有黑球的概率 （3） 顏色相同的概率 解 設(shè)A=任取3個(gè)球，恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球 B=任取3個(gè)球，沒(méi)有黑球 C=任取3個(gè)球，顏色相同 P（A）= P（B）= P（C）=,另如： 1o 52 張牌中任取4張,求 （1）2張紅桃，1張方塊，1張黑桃的概率 （2）沒(méi)有A的概率 （3）4張大小相同的概率,2o 一批產(chǎn)品100個(gè)，一、二、三、次品各

4、為20、30、40、10個(gè)，求 （1）任取5個(gè)均為一等品的概率 （2） 任取3個(gè)其中2個(gè)一等品，1個(gè)三等品的概率,3o P32 習(xí)題第6、7、8、9 、15 、 16題,概率的古典定義,在古典概型中，如果樣本空間含n個(gè)樣本點(diǎn)（基本事件） 事件A的有利樣本點(diǎn)為 m個(gè)，則定義事件的概率 P(A)為：,稱此概率為古典概率。,求概率問(wèn)題,記數(shù)問(wèn)題,2 排隊(duì)問(wèn)題 （不可重復(fù)的排列問(wèn)題） 例1 一套五卷的選集，隨機(jī)的放到書(shū)架上，求各冊(cè)自左向右或自右向左卷號(hào)恰為1、2、3、4、5順序的概率。 解 設(shè)A“各冊(cè)自左向右或自右向左卷號(hào)恰為1、2、 3、4、5順序” 樣本空間包含的基本事件總數(shù) n=5！=120 事

5、件A中包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2 所以,例2 （ P33第12題）把10本書(shū)任意地放在書(shū)架上，求其中指定的3本書(shū)放在一起的概率 設(shè)A其中指定的三本書(shū)放在一起 則 P（A）= ,P37 習(xí)題第13、14題,3分房問(wèn)題 (生日問(wèn)題) （可重復(fù)的排列問(wèn)題） 例1 （ P13例4）兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為、的4個(gè)郵筒投寄。求：（1）前兩個(gè)郵筒各投入1封信的概率（2）第個(gè)郵筒恰好投入1封信的概率 （3）兩封信投入不同郵筒的概率 解 設(shè)A前兩個(gè)郵筒各投入1封信 B第個(gè)郵筒恰好投入1封信 C兩封信投入不同郵筒 而 樣本空間包含的基本事件總數(shù)n=42=16 事件A中包含的基本事件個(gè)數(shù)mA=2!=2 事件B中包含的基

6、本事件個(gè)數(shù)mB=C21C31=6 事件C中包含的基本事件個(gè)數(shù)mC=P42=12 則 P（A）= 2/16 P（B）= 6/16 P（C）=12/16,例2 擲三枚骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)全不相同的概率 解 設(shè)A向上的點(diǎn)數(shù)全不相同 樣本空間包含的基本事件總數(shù)n=63 事件A中包含的基本事件個(gè)數(shù)mA= P63 則 P（A）= P63/63 練習(xí)： P3310 （1） = （2） （3）,P33 習(xí)題第11題,4抓鬮問(wèn)題 (抽簽問(wèn)題) 例1 10人抓鬮決定誰(shuí)得到4張電影票，(10張閹) 求 （1）第一人抓到電影票的概率 （2）第三人抓到電影票的概率 解 設(shè)A第一人抓到電影票 B第三人抓到電影票 1.不放回

7、地抓 （1） P（A）=4/10 （2）法1 考慮10人抽取的結(jié)果為一個(gè)基本事件，則 P（B） =,法2 考慮前3人抽取的結(jié)果為一個(gè)基本事件，則 P（B）=,2.有放回地抓 考慮10人抽取的結(jié)果為一個(gè)基本事件，則 P(B)= 考慮前3人抽取的結(jié)果為一個(gè)基本事件，則 P(B)=,解：由于球除顏色外無(wú)其它區(qū)別，故每一個(gè)球被取到的可 能性相同?？偣部赡艿娜》ㄊ牵?例2 袋中有a個(gè)白球，個(gè)黑球，從中任取一個(gè)，求（1）取出的球是白球的概率。,a+b 種,設(shè)表示“取到的是白球”,注 本例中的“球”可用其它東西代替，“顏色”也可以用其它性質(zhì)代替。比如“球”被“產(chǎn)品”代替，“顏色”被“合格”或“不合格”代替等

8、。,故： 的樣本點(diǎn)數(shù) a P() = 樣本點(diǎn)總數(shù) a+b,解：設(shè)“第m次取到白球”,（2）袋中有a個(gè)白球，個(gè)黑球，從中接連任意取出(1 ma+b)個(gè)球，取出的球不放回，求第m次取出的球是白球的概率。,方法1：把a(bǔ)+b個(gè)球全部取出看作一個(gè)樣本點(diǎn)，共有（a+b）！種取法。發(fā)生共有 a1（a+b-1）！種取法， 1 a（a+b-1）！ a P()= = （a+b）！ a+b,方法2：只考慮前m次取球的情況.共有 m Pa+b 種取法。發(fā)生共有 Ca1Pam-1+b-1 種取法，故 1m-1 CaPa+b-1 a P()= = m Pa+b a+b,注意：該結(jié)果與m無(wú)關(guān) 考慮有放回地摸取，結(jié)果如何？,

9、注：本例實(shí)質(zhì)上也是抽簽問(wèn)題，結(jié)論說(shuō)明按上述規(guī)則抽簽，每人抽中白球的機(jī)會(huì)相等，同抽簽次序無(wú)關(guān)。,解：設(shè)“他抽到會(huì)答考簽”,例3 抽簽口試，共有a+b 個(gè)考簽，每個(gè)考生抽一張，抽過(guò)的不在放回?？忌跄硶?huì)答其中a個(gè)簽上的問(wèn)題，他是第k個(gè)抽簽應(yīng)考的人（ka+b)，求他抽到會(huì)答考簽的概率。,1 a（a+b-1）！ a P()= = （a+b）！ a+b,注意：該結(jié)果與 k 無(wú)關(guān),古典概型的優(yōu)、缺點(diǎn),優(yōu)點(diǎn)：古典概率可直接按公式計(jì)算，而不必進(jìn)行大量的重 復(fù)試驗(yàn)。,缺點(diǎn)：有局限性：只能用于全部結(jié)果為有限個(gè)，且等可 能性成立的情形。,一、定義 （P14） 1、度量（測(cè)度）：對(duì)某區(qū)域 D（線段、平面圖形、立體）的

10、大小的一種數(shù)量描述 （長(zhǎng)度、面積、體積），用 (D) 表示 2、幾何概型 設(shè)區(qū)域G 區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地（等可能地）投點(diǎn)，點(diǎn)落入G的概率與區(qū)域G的測(cè)度成正比，而與該區(qū)域在中的位置、形狀無(wú)關(guān)，則稱此概率模型為幾何概型,1.2.3 幾何概型,3、幾何概率的求法 （P14） 隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的測(cè)度為() ，區(qū)域G（ ）的測(cè)度為(G) ，用A表示“在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，而該點(diǎn)落入?yún)^(qū)域G中”這一事件，則事件A的概率定義為 P（A）=,例1 49路公共汽車每隔6分鐘來(lái)一輛，現(xiàn)有某人在等車，問(wèn)他等車不超過(guò)4分鐘的概率。 樣本空間 =0，6 若設(shè)A等車不超過(guò)4分鐘 A=0，4 P（A）=,例2 （會(huì)面問(wèn)題 ）甲

11、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處見(jiàn)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去。假定每人在指定的1小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求兩人能會(huì)面的概率。 解 設(shè)A兩人能會(huì)面 x甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻 y乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻 則樣本空間=（x，y）| 0 x 60，0 y60 A為區(qū)域 G=（x，y）| 0 | x -y | 15 且G 于是 P（A）=,0,60,60,x,y,G,另解 設(shè)A兩人能會(huì)面 x甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻 y乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻 則樣本空間=（x，y）| 6x 7，6 y7 A為區(qū)域 G=（x，y）| 0 | x -y | 1/4， 且G 于是 P（A）=,0,x,y,G,例

12、3（P37 第17題）甲乙兩艘輪船向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。如果甲乙兩船的停泊時(shí)間都是一小時(shí)，求它們中的任何一艘都不需等候碼頭空出的概率。 解 設(shè)A它們中任何一艘都不需等候碼頭空出 x甲船到達(dá)碼頭的時(shí)刻 y乙船到達(dá)碼頭的時(shí)刻 則樣本空間=（x，y）| 0 x 24，0 y24 A為區(qū)域 G=（x，y）| | x -y | 1， 且G 于是 P（A）=,1.2.4 頻率與概率 1、頻率的定義及性質(zhì) 1頻率（定義1.1)：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生了m次，則稱m為事件A發(fā)生的頻數(shù)，m/n為事件A發(fā)生的頻率，記為 n (A) 2 性質(zhì)： （1）非負(fù)

13、性 對(duì)任意事件A，0n(A) 1 （2）規(guī)范性 對(duì)于必然事件，有n( )=1 （3）可加性 若事件A與B互不相容，則 n(A+B)=n(A)+n(B),2、概率的統(tǒng)計(jì)定義 定義1.1 在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在0到1之間的某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，且一般說(shuō)來(lái)，n越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作 P(A) 注意 （1）頻率的穩(wěn)定值為概率，所以，一般n充分大時(shí)，常用頻率作為概率的近似值 （2）概率是先于試驗(yàn)而存在的,設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，設(shè)對(duì)每個(gè)事件A,都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，滿足下列三條公理：,(2) 規(guī)范性: P()=1,(3) 完全可加性（可列

14、可加性）:若Ak (k=1，2，) 兩兩互不相容，則 (Ai) = (Ai) i=1 i=1,定義1.2(概率的公理化定義),(1)非負(fù)性 : 對(duì)于任一事件A，都有 0P(A)1,則稱函數(shù)P(A)為事件A的概率。,1.2.5 概率的公理化定義,概率的主要性質(zhì),性質(zhì)1 不可能事件的概率為零，即P()=0,證明 因=+，由公理得P()= P()+ P()+，故 p()=0,證明 因：,性質(zhì)2 (有限可加性) 若A1，A2，An 兩兩互不相容， 則,而：,故：,由公理3得,推論： 若A1，A2，An 構(gòu)成完備事件組，則,性質(zhì)4 任給 A，B兩事件，則：P(AB)P(A)P(AB) 若則： P(AB)

15、P(A)P(B) P(A)P(B),證明 因,由性質(zhì)2有,即：,故：,證明：因,且(A-B)與AB互不相容，由性質(zhì)2 (有限可加性)，得 P(A)P(A-B)P(AB) P(AB)P(A)P(AB),當(dāng)時(shí)，有：AB=B，故有：P(AB)P(A)P(B),當(dāng)時(shí)，有P(AB)P(A)P(B) 0,則 P(A)P(B),證明 因： A+B=A+(B-AB) 且 A(B-AB)= （即：A與B-AB互不相容），由性質(zhì)2 (有限可加性)得：,性質(zhì) 加法公式 P(A+B)P(A)P(B)P(AB),一般的加法公式:,代入上式得：P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB),P(B-AB)=P(B)-P(AB),又因AB包含于B，由性質(zhì)4得：,P(A+B)=P(A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB),推論：當(dāng)A與B互不相容時(shí) P(A+B)P(A)P(B),解：設(shè) A表示“3個(gè)球中至少有2個(gè)白球”,例1：（課本P20例1)一袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球。從中任取3個(gè)，求至少有2個(gè)白球的概率？,A1表示“3個(gè)球中正好有2個(gè)白球”,A2表示“3個(gè)球中正好有3個(gè)白球”,解：設(shè) A表示“至少有兩件產(chǎn)品等級(jí)相同”,例2：（課本P21例3)一批產(chǎn)品共20件，其中一等品6件，二等品10件，三等品4件。從中任取3件，求