概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2節(jié).ppt

1、1.2 概率的定義及計(jì)算,1.2 概率定義計(jì)算,歷史上概率的三次定義, 公理化定義, 統(tǒng)計(jì)定義, 古典定義,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出,例1 在的自然數(shù)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù), 問取到的數(shù)既不能被8整除, 又不能被10整除的概率是多少.,例2 甲袋中有5只紅球，3只白球，2只黑球，乙袋中有4只紅球，2只白球，3只黑球，現(xiàn)分別從甲袋和乙袋中隨機(jī)取出一只球，求兩球顏色相同的概率.,例3 根據(jù)以往的資料分析, 某路口一月中發(fā)生次交通事故的概率為 , , 其中是常數(shù), 求一月中該路口至少發(fā)生一次交通事故的概率.,練習(xí)1 小王參加“智力大沖浪”游戲, 他能答 出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,兩 類

2、問題都能答出的概率為0.1. 求小王,解 事件A , B分別表示“能答出甲,乙類問題”,(1),(1) 答出甲類而答不出乙類問題的概率 (2) 至少有一類問題能答出的概率 (3) 兩類問題都答不出的概率,(2),(3),例1,練習(xí)2 設(shè)A , B滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？,解,最小值在 時(shí)取得, 最小值, 最大值,最大值在 時(shí)取得,例2,設(shè) 隨機(jī)試驗(yàn)E 具有下列特點(diǎn)：,基本事件的個(gè)數(shù)有限 每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生,則稱 E 為 古典(等可能)概型,古典概型中概率的計(jì)算：,記,則,概率的 古

3、典定義,古典概型,例13一批產(chǎn)品中有3件一等品, 4件二等品, 5件三等品, 從中取出4件, 要求一件為一等品, 一件為二等品, 另兩件為三等品, 問取一次就能達(dá)到要求的概率是多少？,例3,:,例3,例14設(shè)一批產(chǎn)品中有N件產(chǎn)品, 其中有D件次品, 現(xiàn)分別就下列情形 (1) 有放回抽樣情形, 即每次取出一件產(chǎn)品后, 觀察是否是次品, 然后放回, 再取一件, 一共取n次; (2) 不放回抽樣情形, 即每次取出一件產(chǎn)品后, 觀察是否是次品, 然后從剩下的產(chǎn)品中再取一件, 一共取n次. 求取到的產(chǎn)品中恰好有k件次品的概率.,設(shè)有 n 個(gè)不同的球, 每個(gè) 球等可能地落入 N 個(gè)盒子中（ ）, 設(shè) 每個(gè)

4、盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 n 個(gè)盒子中各有一球；,（4）恰有 n 個(gè)盒子中各有一球；,（3）某指定的一個(gè)盒子沒有球；,（2）某指定的一個(gè)盒子恰有 m 個(gè)球( ),（5）至少有兩個(gè)球在同一盒子中；,（6）每個(gè)盒子至多有一個(gè)球.,例15 （分房模型）,例15的“分房模型”可應(yīng)用于很多類似場(chǎng)合,信封,信,鑰匙,門鎖,女舞伴,生日,人,男舞伴,例15 “分房模型”的應(yīng)用,生物系二年級(jí)有 n 個(gè)人，求至少有兩,人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.,解,為 n 個(gè)人的生日均不相同,這相當(dāng)于,本問題中的人可被視為“球”，365天為,365只“盒子”,若 n = 64，,每個(gè)盒子至

5、多有一個(gè)球.,例16 袋中有a 只白球，b 只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取球,每次取一只球，求第k 次取到紅球的概率。,例3,例9 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái) 報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待 報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率,9點(diǎn),10點(diǎn),10分鐘,例9,幾何概型 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 , 若樣本點(diǎn) 落入 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G 的測(cè)度成正比, 則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率 為,例19 鬧鐘有刻度為1,2,12, 當(dāng)它停止走動(dòng)時(shí), 其分針落在下列位置的概率. (1)分針落在1和4之間的概率; (2)分針落在11和3之間的概率; (3)分針指向12的概率.,例10,例20 某兩

6、人約定在上午9:00-10:00見面, 先到者等候另一人20分鐘即離去, 試計(jì)算他們能會(huì)面的概率.,例10,柯爾莫哥洛夫,( A. H. 1903-1987 ),1939年任蘇聯(lián)科學(xué) 院院士.先后當(dāng)選美,法, 意,荷,英,德 等國的外籍 院士 及皇家學(xué)會(huì)會(huì)員. 為 20 世紀(jì)最有影響的俄 國數(shù)學(xué)家.,俄國數(shù)學(xué)家,柯爾莫哥洛夫,柯爾莫哥洛夫?yàn)殚_創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一 系列重要分支作出重大貢獻(xiàn).,他建立了在測(cè)度論基礎(chǔ)上的概率論 公理系統(tǒng), 奠定了近代概率論的基礎(chǔ).,他又是隨機(jī)過程論的奠基人之一, 其主要工作包括:,20年代 關(guān)于強(qiáng)大數(shù)定律、重對(duì)數(shù) 律的基本工作;,1933年在概率論的基本概念 一文中提出的概率論公理體系(希爾伯 特第6問題),30年代建立的馬爾可夫過程的兩 個(gè)基本方程;,用希爾伯特空間的幾何理論建立 弱平穩(wěn)序列的線性理論;,40年代完成獨(dú)立和的弱極限理論, 經(jīng)驗(yàn)分布的柯爾莫哥洛夫統(tǒng)計(jì)量等;,在動(dòng)力系統(tǒng)中開創(chuàng)了關(guān)于哈密頓系 統(tǒng)的微擾理論與K系統(tǒng)遍歷理論;,50年代中期開創(chuàng)了研究函數(shù)特征的,信息論方法, 他的工作及隨后阿諾爾德,的工作解決并深化了希爾伯特第13問題,用較少變量的函數(shù)表示較多變量的 函數(shù) ;,60年代后又創(chuàng)立了信息算法理論;,1980年由于它在調(diào)和分析, 概率論, 遍歷理論 及 動(dòng)力系統(tǒng)方面 出色的工作