高數(shù)同濟(jì)§3.3 泰勒(Taylor)公式

1、3.3 泰勒(Taylor)公式,問(wèn)題的提出 泰勒中值定理 簡(jiǎn)單應(yīng)用,P139,一、問(wèn)題的提出,（如下圖）,在微分中我們講過(guò)，當(dāng) 很小時(shí)，,誤差為,上式表明函數(shù) f (x)在 x0的附近可用一個(gè)線性函數(shù)來(lái)近似。且當(dāng) 很小時(shí)， 誤差,也很小。,不足:,問(wèn)題:,1、精確度不高；,2、誤差不能估計(jì).,分析:,2.若有相同的切線,3.若彎曲方向相同,近似程度越來(lái)越好,1.若在 點(diǎn)相交,三、泰勒(Taylor)中值定理,證明:,拉格朗日形式的余項(xiàng),皮亞諾形式的余項(xiàng),1.說(shuō)明:,2.麥克勞林(Maclaurin)公式Talyor公式特例,或,四、Talyor公式簡(jiǎn)單的應(yīng)用,解,代入公式,得,由公式可知,估

2、計(jì)誤差,其誤差,思考：e x=?,常用函數(shù)的麥克勞林公式, 位于 x 與 1之間。,例2,直接展開(kāi)法,解：,解,播放,小 結(jié),播放,思考題,1. 利用泰勒公式求極限,思考題解答,思考題,證明: f(a)=A0, f(x)二階可導(dǎo), Xa, 使f(X)0, f(x)在a,+)上連續(xù), 至少(a,X)a,+ ) 使f()=0.,唯一性證明: 方法一,方法二(反證法) 若f(x)=0有兩個(gè)根: x1x2, 由羅爾定理知,作業(yè)： P145：2、4、5、9-（1）、10-（2）,世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor）， 于 年月日在米德?tīng)柸怂沟陌?德蒙頓出生

3、。年后移居倫敦，獲法學(xué)碩士學(xué)位。他在 年當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué) 會(huì)會(huì)員，并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位。同年（即年）出任 英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書(shū)，四年 后因健康理由辭退職務(wù)。年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程。 最后在年 月日于倫敦逝世。 泰勒的主要著作是年出版的正 的和反的增量方法，書(shū)內(nèi)以下列形式陳述出他已于 年月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家 、天文學(xué)家）信中首先提出的著名定理泰勒定理：式內(nèi)為獨(dú)立變量的增量， 及 為流數(shù)。他假定隨時(shí)間均勻變化，則 為常數(shù)。上述公式以現(xiàn)代 形式表示則為：這公式是從格雷戈里牛頓插值公式發(fā)展而成 的，當(dāng)時(shí)便稱(chēng)作馬克勞林定理。年 ，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了此公式之重要性，而且 稱(chēng)之為微分學(xué)基本定理，但泰勒

4、于證明當(dāng)中并沒(méi)有考慮 級(jí)數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn)， 這工作直至十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成。 泰勒定理開(kāi)創(chuàng) 了有限差分理論，使任何單變量 函數(shù)都可展成冪級(jí)數(shù)；同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者 。 泰勒于書(shū)中還討論了微積分對(duì)一系列物理 問(wèn)題之應(yīng)用，其中以有關(guān)弦的橫向振動(dòng)之結(jié)果尤為重要 。他透過(guò)求解方程 導(dǎo)出了基本頻率公式，開(kāi)創(chuàng)了研究弦振問(wèn)題之先 河。此外，此書(shū)還包括了他于 數(shù)學(xué)上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率 問(wèn)題之研究等。 年，他出版了另一名著線性透 視論，更發(fā)表了再版的線性透視原理（） 。他以極嚴(yán)密之形式展開(kāi)其線性透 視學(xué)體系，其中最突出之貢獻(xiàn)是提出和使用沒(méi)影點(diǎn)概念， 這對(duì)攝影測(cè)量制圖學(xué)之發(fā)展有