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文檔簡介

1、第1章 命題邏輯基本概念,離散數(shù)學,本章說明,本章的主要內(nèi)容 命題、聯(lián)結(jié)詞、復合命題 命題公式、賦值、命題公式的分類 本章與后續(xù)各章的關系 本章是后續(xù)各章的準備或前提,1.1 命題與聯(lián)結(jié)詞,數(shù)理邏輯研究的中心問題是推理. 推理的前提和結(jié)論都是表達判斷的陳述句. 表達判斷的陳述句構(gòu)成了推理的基本單位.,1.1 命題與聯(lián)結(jié)詞,稱能判斷真假而不是可真可假的陳述句為命題(proposition). 作為命題的陳述句所表達得的判斷結(jié)果稱為命題的真值. 真值只取兩個:真與假. 真值為真的命題稱為真命題. 真值為假的命題稱為假命題.,感嘆句、疑問句、祈使句都不能稱為命題. 判斷結(jié)果不唯一確定的陳述句不是命題

2、. 陳述句中的悖論不是命題.,說明,4是素數(shù). 21/2是無理數(shù). x大于y. 充分大的偶數(shù)等于兩個素數(shù)之和. 今天是星期二. 大于21/2嗎? 請不要吸煙! 這朵花真美麗??! 我正在說假話.,例1.1 判斷下列句子是否為命題.,是, 假命題 是, 真命題 不是, 無確定的真值 是, 真值客觀存在 是, 真值根據(jù)具體情況而定. 不是, 疑問句 不是, 祈使句 不是, 感嘆句 不是, 悖論,命題和真值的符號化,用小寫英文字母p, q, r, pi , qi , ri 表示命題 用“1”表示真, 用“0”表示假 p: 4是素數(shù). r: 充分大的偶數(shù)等于兩個素數(shù)之和 q: 21/2是無理數(shù). s:

3、今天是星期二.,不能被分解成更簡單的陳述句, 稱這樣的命題為簡單命題或原子命題. 由簡單陳述句通過聯(lián)結(jié)詞而成的陳述句, 稱這樣的命題為復合命題.,例1.2,將下面這段陳述中所出現(xiàn)的原子命題符號化, 并指出它們的真值, 然后再寫出這段陳述.,21/2是有理數(shù)是不對的;2是偶素數(shù);2或4是素數(shù);如果2是素數(shù), 則3也是素數(shù);2是素數(shù)當且僅當3也是素數(shù).,p:21/2是有理數(shù) q:2是素數(shù); r:2是偶數(shù) s:3是素數(shù); t:4是素數(shù),0 1 1 1 0,非p; q并且(與)r; q或t; 如果q, 則s; q當且僅當s.,例1.2的討論,半形式化形式 數(shù)理邏輯研究方法的主要特征是將論述或推理中的各

4、種要素都符號化. 即構(gòu)造各種符號語言來代替自然語言. 形式化語言:完全由符號所構(gòu)成的語言. 將聯(lián)結(jié)詞(connective)符號化, 消除其二義性, 對其進行嚴格定義. 例如:他是100米或400米賽跑的冠軍. 魚香肉絲或鍋包肉, 加一碗湯.,定義1.1否定(negation),設p為命題, 復合命題“非p”(或“p的否定”)稱為p的否定式, 記作p, 符號稱作否定聯(lián)結(jié)詞, 并規(guī)定p為真當且僅當p為假.,例如:p:哈爾濱是一個大城市. p:哈爾濱是一個不大城市. p:哈爾濱不是一個大城市.,定義1.2合取(conjunction),設p, q為二命題, 復合命題“p并且q”(或“p與q”)稱為

5、p與q的合取式, 記作pq, 稱作合取聯(lián)結(jié)詞, 并規(guī)定p q為真當且僅當p與q同時為真.,使用合取聯(lián)結(jié)詞時要注意的兩點: 描述合取式的靈活性與多樣性. 自然語言中的“既又”、“不但而且”、“雖然但是”、“一面一面”等聯(lián)結(jié)詞都可以符號化為. 分清簡單命題與復合命題. 不要見到“與”或“和”就使用聯(lián)結(jié)詞.,例1.3 將下列命題符號化,吳穎既用功又聰明. 吳穎不僅用功而且聰明. 吳穎雖然聰明, 但不用功. 張輝與王麗都是三好學生. 張輝與王麗是同學.,p: 吳穎用功. q: 吳穎聰明. r: 張輝是三好學生. s: 王麗是三好學生. t: 張輝與王麗是同學.,(1)p q (2)p q (3)q p

6、 (4)r s (5)t,解題要點: 正確理解命題含義. 找出原子命題并符號化. 選擇恰當?shù)穆?lián)結(jié)詞.,合取舉例,p:我們?nèi)タ措娪? q:房間里有十張桌子. p q:我們?nèi)タ措娪安⑶曳块g里有十張桌子.,在數(shù)理邏輯中, 關心的只是復合命題與構(gòu)成復合命題的各原子命題之間的真值關系, 即抽象的邏輯關系, 并不關心各語句的具體內(nèi)容.,說明,定義1.3析取(disjunction),設p, q為二命題, 復合命題“p或q”稱作p與q的析取式, 記作pq, 稱作析取聯(lián)結(jié)詞, 并規(guī)定p q為假當且僅當p與q同時為假.,自然語言中的“或”具有二義性, 用它聯(lián)結(jié)的命題有時具有相容性, 有時具有排斥性, 對應的聯(lián)結(jié)

7、詞分別稱為相容或和排斥或(排異或).,說明,例1.4 將下列命題符號化,張曉靜愛唱歌或愛聽音樂. 張曉靜只能挑選202或203房間. 張曉靜是江西人或安徽人. 他昨天做了二十或三十道習題.,設 p:張曉靜愛唱歌, q:張曉靜愛聽音樂. 相容或, 符號化為 pq 設t:張曉靜挑選202房間, u:張曉靜挑選203房間. 排斥或, 符號化為:(tu)(tu) 設r:張曉靜是江西人, s:張曉靜是安徽人. 排斥或, 符號化為:rs. (排斥或聯(lián)結(jié)的兩個命題事實上不可能同時為真)或符號化為:(rs)(rs) 原子命題, 因為“或”只表示了習題的近似數(shù)目.,定義1.4蘊涵(implication),設p

8、, q為二命題, 復合命題“如果p, 則q”稱作p與q的蘊涵式, 記作pq, 并稱p是蘊涵式的前件, q為蘊涵式的后件, 稱作蘊涵聯(lián)結(jié)詞, 并規(guī)定pq為假當且僅當p為真q為假.,說明,pq的邏輯關系表示q是p的必要條件. q是p的必要條件有許多不同的敘述方式 只要p, 就q 因為p, 所以q p僅當q 只有q才p 除非q才p 除非q, 否則非p,例1.5 將下列命題符號化, 并指出其真值,如果3+36, 則雪是白的. 如果3+36, 則雪是白的. 如果3+36, 則雪不是白的. 如果3+36, 則雪不是白的.,解:令p:3+36, p的真值為1. q:雪是白色的, q的真值也為1. pq pq

9、 pq pq,1 1 0 1,說明: (1)pq的邏輯關系: q為p的必要條件 (2)“如果p, 則q的不同表述法很多: 若p, 就q 只要p, 就q p僅當q 只有q 才p 除非q, 才p或除非q, 否則非p, (3)當p為假時, pq為真, 可稱為空證明 (4) 常出現(xiàn)的錯誤: 不分充分與必要條件,例1.5 將下列命題符號化, 并指出其真值,以下命題中出現(xiàn)的a是一個給定的正整數(shù): (5) 只要a能被4整除, 則a一定能被2整除. (6) a能被4整除, 僅當a能被2整除. (7) 除非a能被2整除, a才能被4整除. (8) 除非a能被2整除, 否則a不能被4整除. (9)只有a能被2整除

10、, a才能被4整除. (10)只有a能被4整除, a才能被2整除.,解:令r: a能被4整除 s: a能被2整除 (5)至(9)五個命題均敘述的是a能被2整除是a能被4整除的必要條件, 因而都符號化為rs. 其真值為1 在(10)中, 將a能被4整除看成了a能被2整除的必要條件, 因而應符號化為sr. a值不定時, 真值未知.,例 設p: 天冷, q: 小王穿羽絨服, 將下列命題符號化 (1)只要天冷, 小王就穿羽絨服. (2)因為天冷, 所以小王穿羽絨服. (3)若小王不穿羽絨服, 則天不冷. (4)只有天冷, 小王才穿羽絨服. (5)除非天冷, 小王才穿羽絨服. (6)除非小王穿羽絨服,

11、否則天不冷. (7)如果天不冷, 則小王不穿羽絨服. (8)小王穿羽絨服僅當天冷的時候. 注意: pq與qp等值(真值相同) (1), (2), (3), (6)符號化為pq 其余的符號化為qp,關于蘊含的進一步說明,作為一種規(guī)定, 當p為假時, 無論q是真是假, pq均為真. 也就是說, 只有p為真q為假這一種情況使得復合命題pq為假. 稱為實質(zhì)蘊含. 例:如果x5, 則x2. (1) x=6如果65, 則62. (2) x=3 如果35, 則32. (3) x=1 如果15, 則12. 例:如果我有車, 那么我去接你 常出現(xiàn)的錯誤, 沒有分清充分條件與必要條件.,定義1.5等價(two-w

12、ay-implication),設p, q為二命題, 復合命題“p當且僅當q”稱作p與q的等價式, 記作pq, 稱作等價聯(lián)結(jié)詞, 并規(guī)定pq為真當且僅當p與q同時為真或同時為假.,說明,“當且僅當”(if and only if) pq的邏輯關系為p與q互為充分必要條件. (pq)(qp)與pq的邏輯關系完全一致.,例1.6 將下列命題符號化, 并討論它們的真值,是無理數(shù)當且僅當加拿大位于亞洲. 2+35的充要條件是是無理數(shù). 若兩圓A, B的面積相等, 則它們的半徑相等;反之亦然. 當王小紅心情愉快時, 她就唱歌;反之, 當她唱歌時, 一定心情愉快.,設 p:是無理數(shù), q:加拿大位于亞洲.

13、 符號化為 pq, 真值為0. 設 p:2+35, q:是無理數(shù). 符號化為 pq, 真值為1. 設 p:兩圓A, B的面積相等, q:兩圓A, B的半徑相等. 符號化為 pq, 真值為1. 設 p:王小紅心情愉快, q:王小紅唱歌. 符號化為 pq, 真值由具體情況而定.,關于基本聯(lián)結(jié)詞的說明, , , , , 稱為一個聯(lián)結(jié)詞集. 由聯(lián)結(jié)詞集, , , , 中的一個聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)一個或兩個原子命題組成的復合命題是最簡單的復合命題, 可以稱它們?yōu)榛镜膹秃厦}. 基本復合命題的真值見下表:,關于基本聯(lián)結(jié)詞的說明,多次使用聯(lián)結(jié)詞集中的聯(lián)結(jié)詞, 可以組成更為復雜的復合命題. 求復雜復合命題的真值時,

14、除依據(jù)上表外, 還要規(guī)定聯(lián)結(jié)詞的優(yōu)先順序, 將括號也算在內(nèi). 本書規(guī)定的聯(lián)結(jié)詞優(yōu)先順序為:( ), , , , , , 對于同一優(yōu)先級的聯(lián)結(jié)詞, 先出現(xiàn)者先運算.,例1.7,令 p:北京比天津人口多. q:2+24. r:烏鴉是白色的. 求下列復合命題的真值:(1)(pq)(pq)r (2)(qr)(pr) (3)(pr)(pr),解:p、q、r的真值分別為 1、1、0 (1) 1(2) 1(3) 0,我們關心的是復合命題中命題之間的真值關系, 而不關心命題的內(nèi)容.,說明,1.2 命題公式及其賦值,簡單命題是真值唯一確定的命題邏輯中最基本的研究單位, 所以也稱簡單命題為命題常項或命題常元. (

15、proposition constant) 稱真值可以變化的陳述句為命題變項或命題變元 (proposition variable). 也用p, q, r, 表示命題變項. 當p, q, r, 表示命題變項時, 它們就成了取值0或1的變項, 因而命題變項已不是命題. 這樣一來, p, q, r, 既可以表示命題常項, 也可以表示命題變項. 在使用中, 需要由上下文確定它們表示的是常項還是變項. 將命題變項用聯(lián)結(jié)詞和圓括號按一定的邏輯關系聯(lián)結(jié)起來的符號串稱為合式公式或命題公式.,定義1.6 合式公式( wff ),(1)單個命題變項是合式公式, 并稱為原子命題公式. (2)若A是合式公式, 則(

16、A)也是合式公式. (3)若A, B是合式公式, 則(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式. (4)只有有限次地應用(1)(3)形式的符號串才是合式公式. 合式公式也稱為命題公式或命題形式, 并簡稱為公式. 設A為合式公式, B為A中一部分, 若B也是合式公式, 則稱B為A的子公式. 合式公式:Well Formed Formula,關于合式公式的說明,定義1.6給出的合式公式的定義方式稱為歸納定義或遞歸定義方式. 定義中引進了A, B等符號, 用它們表示任意的合式公式, 而不是某個具體的公式, 這與p, pq, (pq)r等具體的公式是有所不同的. A, B等符號被稱作元語

17、言符號. p, q等被稱作對象語言符號. 所謂對象語言是指用來描述研究對象的語言, 而元語言是指用來描述對象的語言, 這兩種語言是不同層次的語言. 例如中國人學習英語時, 英語為對象語言, 而用來學習英語的漢語則是元語言.,關于合式公式的說明,(A)、(AB)等公式單獨出現(xiàn)時, 外層括號可以省去, 寫成A、AB等. 公式中不影響運算次序的括號可以省去, 如公式(pq)(r)可以寫成pqr. 合式公式的例子:(pq)(q r)(pq)rp(qr) 不是合式公式的例子pqr(p(rq),定義1.7 公式層次,(1)若公式A是單個的命題變項, 則稱A為0層合式. (2)稱A是n+1(n0)層公式是指

18、下面情況之一: (a) AB, B是n層公式; (b) ABC, 其中B, C分別為i層和j層公式, 且n=max(i, j); (c) ABC, 其中B, C的層次及n同(b); (d) ABC, 其中B, C的層次及n同(b); (e) ABC, 其中B, C的層次及n同(b). (3)若公式A的層次為k, 則稱A是k層公式. 例如:(pq)r, (pq)(rs)p) 分別為3層和4層公式,公式的解釋,在命題公式中, 由于有命題符號的出現(xiàn), 因而真值是不確定的. 當將公式中出現(xiàn)的全部命題符號都解釋成具體的命題之后, 公式就成了真值確定的命題了. (pq)r 若p:2是素數(shù), q:3是偶數(shù),

19、 r:是無理數(shù), 則p與r被解釋成真命題, q被解釋成假命題, 此時公式(pq)r解釋成:若2是素數(shù)或3是偶數(shù), 則是無理數(shù). (真命題) r被解釋為:是有理數(shù), 則(pq)r被解釋成:若2是素數(shù)或3是偶數(shù), 則是有理數(shù). (假命題) 將命題變項p解釋成真命題, 相當于指定p的真值為1, 解釋成假命題, 相當于指定p的真值為0.,定義1.8 賦值或解釋,設p1, p2, , pn是出現(xiàn)在公式A中的全部命題變項, 給p1, p2, , pn各指定一個真值, 稱為對A的一個賦值或解釋. 若指定的一組值使A的真值為1, 則稱這組值為A的成真賦值;若使A的真值為0, 則稱這組值為A的成假賦值. 對含n

20、個命題變項的公式A的賦值情況做如下規(guī)定:(1)若A中出現(xiàn)的命題符號為p1, p2, , pn, 給定A的賦值1, 2, , n 是指p11, p22, , pnn. (2)若A中出現(xiàn)的命題符號為p, q, r., 給定A的賦值1, 2, , n是指p1, q2, , 最后一個字母賦值n. 上述i取值為0或1, i1, 2, , n.,賦值舉例,在公式(p1p2p3)(p1p2)中, 000(p10, p20, p30), 110(p11, p21, p30)都是成真賦值, 001(p10, p20, p31), 011(p10, p21, p31)都是成假賦值. 在(pq)r中, 011(p1

21、0, p21, p31)為成真賦值, 100(p11, p20, p30)為成假賦值. 重要結(jié)論:含n(n1)個命題變項的公式共有2n個不同的賦值.,定義1.9 真值表,將命題公式A在所有賦值下取值情況列成表, 稱作A的真值表.,構(gòu)造真值表的具體步驟如下: (1)找出公式中所含的全體命題變項p1, p2, , pn (若無下角標就按字典順序排列), 列出2n個賦值. 本書規(guī)定, 賦值從000開始, 然后按二進制加法依次寫出各賦值, 直到111為止. (2)按從低到高的順序?qū)懗龉降母鱾€層次. (3)對應各個賦值計算出各層次的真值, 直到最后計算出公式的真值.,公式A與B具有相同的或不同的真值表

22、, 是指真值表的最后一列是否相同, 而不考慮構(gòu)造真值表的中間過程.,說明,例1.8,求下列公式的真值表, 并求成真賦值和成假賦值. (1)(pq)r (2)(pp)(qq) (3)(pq)qr,定義1.10 重言式、永真式、可滿足式,設A為任一命題公式 (1)若A在它的各種賦值下取值均為真, 則稱A是重言式(tautology)或永真式. (2)若A在它的各種賦值下取值均為假, 則稱A是矛盾式(contradiction)或永假式. (3)若A不是矛盾式, 則稱A是可滿足式(satisfactable formula).,定義1.10的進一步說明,A是可滿足式的等價定義是:A至少存在一個成真賦

23、值. 重言式一定是可滿足式, 但反之不真. 因而, 若公式A是可滿足式, 且它至少存在一個成假賦值, 則稱A為非重言式的可滿足式. 真值表可用來判斷公式的類型: 若真值表最后一列全為1, 則公式為重言式. 若真值表最后一列全為0, 則公式為矛盾式. 若真值表最后一列中至少有一個1, 則公式為可滿足式.,說明,n個命題變項共產(chǎn)生2n個不同賦值 含n個命題變項的公式的真值表只有 種不同情況,例題,例題1.9 下列各公式均含兩個命題變項p與q, 它們中哪些具有相同的真值表? (1) pq(4) (pq)(qp)(2) pq(5) qp(3) (pq),啞元,設公式A, B中共含有命題變項p1, p2

24、, , pn, , 而A或B不全含有這些命題變項, 比如A中不含pi, pi+1, , pn , 稱這些命題變項為A的啞元, A的取值與啞元的變化無關, 因而在討論A與B是否有相等的真值表時, 將A, B都看成p1, p2, , pn的命題公式.,例題,例1.10 下列公式中, 哪些具有相同的真值表?(1)pq (2)qr (3)(pq)(pr)p) (4)(qr)(pp),本章主要內(nèi)容,命題與真值(或真假值). 簡單命題與復合命題. 聯(lián)結(jié)詞:, , , , . 命題公式(簡稱公式). 命題公式的層次和公式的賦值. 真值表. 公式的類型:重言式(永真式), 矛盾式(永假式), 可滿足式.,本章

25、學習要求,在5種聯(lián)結(jié)詞中, 要特別注意蘊涵聯(lián)結(jié)的應用, 要弄清三個問題: pq 的邏輯關系 pq 的真值 pq 的靈活的敘述方法 寫真值表要特別仔細認真, 否則會出錯誤. 深刻理解各聯(lián)結(jié)詞的邏輯含義. 熟練地將復合命題符號化. 會用真值表求公式的成真賦值和成假賦值.,本章典型習題,命題符號化 求復合命題的真值與命題公式的賦值 判斷公式的類型,例題:命題符號化,(1)我和他既是兄弟又是同學 p:我和他是兄弟, q:我和他是同學. 故命題可符號化為: pq. (2)張三或李四都可以做這件事. p:張三可以做這件事. q:李四可以做這件事. 故命題可符號化為:pq. (3)僅當我有時間且天不下雨, 我將去鎮(zhèn)上. 對于

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