第十章 第三節(jié) 二項(xiàng)式定理.ppt

1、一、二項(xiàng)式定理 公式(ab)n (nN*)叫做二項(xiàng)式定理其中C(r0,1,2，n)叫做 ，Tr1 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，它表示第 項(xiàng),an an1b1 anrbr bn,二項(xiàng)式,系數(shù),Canrbr,r1,(ab)n與(ba)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系？,提示：(ab)n的展開式與(ba)n的展開式的項(xiàng)完全相同，但對應(yīng)的項(xiàng)不相同而且兩個(gè)展開式的通項(xiàng) 不同,二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1對稱性：與首末兩端 的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等， 即,等距離,2增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng) 時(shí)，二 項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；由對稱性知它的后半部分顯逐漸 減小的，且在中間取得最大值,k,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng) 最大； 當(dāng)n為奇數(shù)

2、時(shí)，中間兩項(xiàng) ， 相等且最大,3各二項(xiàng)式系數(shù)的和 (ab)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即 2n. 二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和 奇數(shù) 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即 .,等于,2n1,1 的展開式中x2的系數(shù)為 () A10B5 C. D1,解析：含x2的項(xiàng)為 x2的系數(shù)為,答案：C,2若 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式 的常數(shù)項(xiàng)為 () A10 B20 C30 D120,解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和2n64，則n6，Tk1 x6k ，當(dāng)62k0時(shí)，即k3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)， T31 20.,答案：B,3(1x)2n(nN*)的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是() A第 1項(xiàng) B第n項(xiàng) C第n1項(xiàng)

3、 D第n項(xiàng)與第n1項(xiàng),解析：(1x)2n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)等于對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)，故系數(shù)最大的項(xiàng)是第n1項(xiàng),答案：C,4若(ax2 )9的展開式中常數(shù)項(xiàng)為84，則a_， 其展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為_(用數(shù)字作答),解析：二項(xiàng)式(ax2 )9的通項(xiàng)公式為 a9kx182k(1)kxk(1)k a9kx183k，令183k0可得k6，即得常數(shù)項(xiàng)為(1)6 a9684a384，解之得a1.其展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為29512.,答案：1512,5若(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn，且a1a2 13，則正整數(shù)n的值是_,解析：由已知條件可得a1a2 解之得n7.,答案： 7,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公

4、式Tk1 ankbk(k0,1,2，n)集中體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化，它在求展開式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)以及數(shù)、式的整除等方面有著廣泛的應(yīng)用使用時(shí)要注意：,1.通項(xiàng)公式表示的是第“k1”項(xiàng)，而不是第“k”項(xiàng)； 2 .通項(xiàng)公式中a和b的位置不能顛倒； 3 . 展開式中第k1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 與第k1項(xiàng)的系數(shù)， 在一般情況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)， 一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防 出差錯(cuò),已知在( )n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng) (1)求n； (2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項(xiàng),

5、利用通項(xiàng)公式可求,注意運(yùn)算.,【解】(1)通項(xiàng)公式為 因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以k5時(shí)，有 0，即n10. (2)令 得k (n6)2， 所求的系數(shù)為,，,(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得 令 r(rZ)，則102k3r，即k5 kZ，r應(yīng)為偶數(shù)， r可取2、0、2，即k可取2、5、8. 所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)均為有理數(shù)，它們分別為,1在二項(xiàng)式 的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差 數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),解：二項(xiàng)展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別是1， (n1)， 2 1 (n1)， 解得n8或n1(不合題意，舍去)， Tr1,當(dāng)4 Z時(shí)，Tr1為有理項(xiàng)， 0r8且rZ，r0,4,8符合

6、要求 故有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別是 T1x4，T5 T9 n8，展開式中共9項(xiàng)， 中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大T5,求二項(xiàng)展開式系數(shù)和或部分系數(shù)和時(shí)，通常利用賦值法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或n個(gè)值，也可以取幾組值 如：若(axb)na0a1xa2x2anxn， 則設(shè)f(x)(axb)n. 有：(1)常數(shù)項(xiàng)a0f(0)；,(2)各項(xiàng)系數(shù)之和a0a1a2anf(1)； (3)a0a1a2a3(1)nanf(1)； (4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和a0a2a4a6 (5)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和a1a3a5a7,若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0， 求：(1)a7a6a1； (2)a7a5a3a1；

7、 (3)a6a4a2a0.,所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，可以考慮用“特殊值”法，即“賦值法”整體解決.,【解】(1)令x0，則a01； 令x1，則a7a6a1a027128， a7a6a1129. (2)令x1， 則a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7， 由 得： a7a5a3a1 128(4)78 256. (3)由 得 a6a4a2a0 128(4)78 128.,2在本例條件求|a1|a2|a7|,解：(3x1)7展開式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零， |a7|a6|a1| (a1a3a5a7)(a0a2a4a6)a0 8 256(8 128)116

8、 383.,1求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)： (1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第( 1)項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù) 最大； (2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第 項(xiàng)與第( 1) 項(xiàng))的二項(xiàng) 式系數(shù)相等并最大,2求展開式系數(shù)最大項(xiàng)：如求(abx)n(a，bR)的展開 式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各 項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，An1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng) 用 從而解出k來，即得,已知( )n(nN*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是101. (1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和； (2)求展開式中含 的項(xiàng)； (3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),(1)可利用“賦值法”求各項(xiàng)系數(shù)的和； (2

9、)可利用展開式中的通項(xiàng)公式確定k的值； (3)可利用通項(xiàng)公式求出k的范圍，再確定項(xiàng).,【解】由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為 (2)4， 第三項(xiàng)的系數(shù)為 則有 化簡得n25n240， 解得n8或n3(舍去) (1)令x1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(12)81.,(2)通項(xiàng)公式 令 ，則k1， 故展開式中含 的項(xiàng)為T2,(3)設(shè)展開式中的第k項(xiàng)，第k1項(xiàng)，第k2項(xiàng)的系數(shù)絕對值分別為 若第k1項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大，則， 解得5k6. 又T6的系數(shù)為負(fù)，系數(shù)最大的項(xiàng)為T71 792x11. 由n8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大， 此時(shí)T51 120 x6.,3(1)( )n展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， 則展開式的常數(shù)項(xiàng)是 ( ) A360 B180 C90 D45,(2)已知(1x)n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為32，則(1x)n的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是_,解析：(1)依題意：只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得到n10，所以展開式的通項(xiàng)為 2kx2k , 令k2可得常數(shù)項(xiàng)T3 180. (2)令x1，得2n32，所以n5， 故系數(shù)最小的項(xiàng)是 10 x3.,答案：(1)B(2)10 x3,二項(xiàng)式定理的考查是高考熱點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查通項(xiàng)公式的應(yīng)用.利用通項(xiàng)公式求特定的項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n等.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn).20