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文檔簡介

1、一、二項式定理 公式(ab)n (nN*)叫做二項式定理其中C(r0,1,2,n)叫做 ,Tr1 叫做二項展開式的通項,它表示第 項,an an1b1 anrbr bn,二項式,系數(shù),Canrbr,r1,(ab)n與(ba)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系?,提示:(ab)n的展開式與(ba)n的展開式的項完全相同,但對應的項不相同而且兩個展開式的通項 不同,二、二項式系數(shù)的性質 1對稱性:與首末兩端 的兩個二項式系數(shù)相等, 即,等距離,2增減性與最大值:二項式系數(shù)C,當 時,二 項式系數(shù)是遞增的;由對稱性知它的后半部分顯逐漸 減小的,且在中間取得最大值,k,當n為偶數(shù)時,中間一項 最大; 當n為奇數(shù)

2、時,中間兩項 , 相等且最大,3各二項式系數(shù)的和 (ab)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n,即 2n. 二項展開式中,偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和 奇數(shù) 項的二項式系數(shù)的和,即 .,等于,2n1,1 的展開式中x2的系數(shù)為 () A10B5 C. D1,解析:含x2的項為 x2的系數(shù)為,答案:C,2若 展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式 的常數(shù)項為 () A10 B20 C30 D120,解析:二項式系數(shù)之和2n64,則n6,Tk1 x6k ,當62k0時,即k3時為常數(shù)項, T31 20.,答案:B,3(1x)2n(nN*)的展開式中,系數(shù)最大的項是() A第 1項 B第n項 C第n1項

3、 D第n項與第n1項,解析:(1x)2n的展開式中,各項系數(shù)等于對應的二項式系數(shù),故系數(shù)最大的項是第n1項,答案:C,4若(ax2 )9的展開式中常數(shù)項為84,則a_, 其展開式中二項式系數(shù)之和為_(用數(shù)字作答),解析:二項式(ax2 )9的通項公式為 a9kx182k(1)kxk(1)k a9kx183k,令183k0可得k6,即得常數(shù)項為(1)6 a9684a384,解之得a1.其展開式二項式系數(shù)和為29512.,答案:1512,5若(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn,且a1a2 13,則正整數(shù)n的值是_,解析:由已知條件可得a1a2 解之得n7.,答案: 7,二項展開式的通項公

4、式Tk1 ankbk(k0,1,2,n)集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)以及數(shù)、式的整除等方面有著廣泛的應用使用時要注意:,1.通項公式表示的是第“k1”項,而不是第“k”項; 2 .通項公式中a和b的位置不能顛倒; 3 . 展開式中第k1項的二項式系數(shù) 與第k1項的系數(shù), 在一般情況下是不相同的,在具體求各項的系數(shù)時, 一般先處理符號,對根式和指數(shù)的運算要細心,以防 出差錯,已知在( )n的展開式中,第6項為常數(shù)項 (1)求n; (2)求含x2的項的系數(shù); (3)求展開式中所有的有理項,

5、利用通項公式可求,注意運算.,【解】(1)通項公式為 因為第6項為常數(shù)項,所以k5時,有 0,即n10. (2)令 得k (n6)2, 所求的系數(shù)為,,,(3)根據(jù)通項公式,由題意得 令 r(rZ),則102k3r,即k5 kZ,r應為偶數(shù), r可取2、0、2,即k可取2、5、8. 所以第3項,第6項與第9項均為有理數(shù),它們分別為,1在二項式 的展開式中,前三項的系數(shù)成等差 數(shù)列,求展開式中的有理項和二項式系數(shù)最大的項,解:二項展開式的前三項的系數(shù)分別是1, (n1), 2 1 (n1), 解得n8或n1(不合題意,舍去), Tr1,當4 Z時,Tr1為有理項, 0r8且rZ,r0,4,8符合

6、要求 故有理項有3項,分別是 T1x4,T5 T9 n8,展開式中共9項, 中間一項即第5項的二項式系數(shù)最大T5,求二項展開式系數(shù)和或部分系數(shù)和時,通常利用賦值法,注意取值要有利于問題的解決,可以取一個值或n個值,也可以取幾組值 如:若(axb)na0a1xa2x2anxn, 則設f(x)(axb)n. 有:(1)常數(shù)項a0f(0);,(2)各項系數(shù)之和a0a1a2anf(1); (3)a0a1a2a3(1)nanf(1); (4)奇數(shù)項系數(shù)之和a0a2a4a6 (5)偶數(shù)項系數(shù)之和a1a3a5a7,若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0, 求:(1)a7a6a1; (2)a7a5a3a1;

7、 (3)a6a4a2a0.,所求結果與各項系數(shù)有關,可以考慮用“特殊值”法,即“賦值法”整體解決.,【解】(1)令x0,則a01; 令x1,則a7a6a1a027128, a7a6a1129. (2)令x1, 則a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7, 由 得: a7a5a3a1 128(4)78 256. (3)由 得 a6a4a2a0 128(4)78 128.,2在本例條件求|a1|a2|a7|,解:(3x1)7展開式中,a7、a5、a3、a1均大于零,而a6、a4、a2、a0均小于零, |a7|a6|a1| (a1a3a5a7)(a0a2a4a6)a0 8 256(8 128)116

8、 383.,1求二項式系數(shù)最大項: (1)如果n是偶數(shù),則中間一項(第( 1)項)的二項式系數(shù) 最大; (2)如果n是奇數(shù),則中間兩項(第 項與第( 1) 項)的二項 式系數(shù)相等并最大,2求展開式系數(shù)最大項:如求(abx)n(a,bR)的展開 式系數(shù)最大的項,一般是采用待定系數(shù)法,設展開式各 項系數(shù)分別為A1,A2,An1,且第k項系數(shù)最大,應 用 從而解出k來,即得,已知( )n(nN*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是101. (1)求展開式中各項系數(shù)的和; (2)求展開式中含 的項; (3)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項,(1)可利用“賦值法”求各項系數(shù)的和; (2

9、)可利用展開式中的通項公式確定k的值; (3)可利用通項公式求出k的范圍,再確定項.,【解】由題意知,第五項系數(shù)為 (2)4, 第三項的系數(shù)為 則有 化簡得n25n240, 解得n8或n3(舍去) (1)令x1得各項系數(shù)的和為(12)81.,(2)通項公式 令 ,則k1, 故展開式中含 的項為T2,(3)設展開式中的第k項,第k1項,第k2項的系數(shù)絕對值分別為 若第k1項的系數(shù)絕對值最大,則, 解得5k6. 又T6的系數(shù)為負,系數(shù)最大的項為T71 792x11. 由n8知第5項二項式系數(shù)最大, 此時T51 120 x6.,3(1)( )n展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大, 則展開式的常數(shù)項是 ( ) A360 B180 C90 D45,(2)已知(1x)n的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為32,則(1x)n的展開式中系數(shù)最小的項是_,解析:(1)依題意:只有第6項的二項式系數(shù)最大,可得到n10,所以展開式的通項為 2kx2k , 令k2可得常數(shù)項T3 180. (2)令x1,得2n32,所以n5, 故系數(shù)最小的項是 10 x3.,答案:(1)B(2)10 x3,二項式定理的考查是高考熱點內(nèi)容之一,主要考查通項公式的應用.利用通項公式求特定的項或特定項的系數(shù),或已知某項,求指數(shù)n等.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn).20

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