高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 新人教A版必修4

1、14.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象預(yù)習(xí)課本P4245，思考并完成以下問題(1)正切函數(shù)有哪些性質(zhì)？ (2)正切函數(shù)在定義域內(nèi)是不是單調(diào)函數(shù)？ 正切函數(shù)ytan x的性質(zhì)與圖象ytan x圖象定義域值域R周期最小正周期為奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在開區(qū)間(kZ)內(nèi)遞增點(diǎn)睛正切函數(shù)的單調(diào)性：正切函數(shù)在每一個(gè)開區(qū)間(kZ)上，都是從增大到，故正切函數(shù)在每一個(gè)開區(qū)間(kZ)上是增函數(shù)，但不能說函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.()(2)正切函數(shù)在整個(gè)定義域上是增函數(shù)()(3)正切函數(shù)在定義域內(nèi)無最大值和最小值()(4)正切函數(shù)的

2、圖象既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形()答案：(1)(2)(3)(4)2函數(shù)ytan的定義域是()ABCD答案：A3函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間為()A，kZB(k，(k1)，kZC，kZD，kZ答案：C4函數(shù)ytan x，x的值域是_答案：0,1正切函數(shù)的定義域典例求下列函數(shù)的定義域：(1)ytan；(2)y.解(1)由xk(kZ)得，xk，kZ，所以函數(shù)ytan的定義域?yàn)?(2)由tan x0得，tan x.結(jié)合ytan x的圖象可知，在上，滿足tan x的角x應(yīng)滿足x，所以函數(shù)y的定義域?yàn)?求正切函數(shù)定義域的方法(1)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還

3、要保證正切函數(shù)ytan x有意義即xk，kZ.而對(duì)于構(gòu)建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解(2)求正切型函數(shù)yAtan(x)(A0，0)的定義域時(shí)，要將“x”視為一個(gè)“整體”令xk，kZ，解得x.活學(xué)活用求函數(shù)y的定義域解：要使函數(shù)有意義，則有1tan x0，tan x1，xk且xk，kZ.因此，函數(shù)y的定義域?yàn)?與正切函數(shù)有關(guān)的周期性、奇偶性問題典例(1)求f(x)tan的周期；(2)判斷ysin xtan x的奇偶性解(1)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.(2)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，它是奇函數(shù)與正切函

4、數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略(1)一般地，函數(shù)yAtan(x)的最小正周期為T，常常利用此公式來求周期(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若不對(duì)稱，則該函數(shù)無奇偶性，若對(duì)稱，再判斷f(x)與f(x)的關(guān)系活學(xué)活用1函數(shù)ytan的最小正周期是()A4B4C2 D2解析：選DT2.2已知函數(shù)f(x)tan x，若f()5，則f()_.解析：f(x)的定義域?yàn)?kZ)可知f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又f(x)tan(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)f()f()5.答案：5正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用題點(diǎn)一：求單調(diào)區(qū)間1求函數(shù)ytan的單調(diào)區(qū)間解：ytantan，由k

5、xk(kZ)，得2kx2k，kZ，函數(shù)ytan的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.題點(diǎn)二：比較大小2比較tan與tan的大小解：tantantantan，tantantantan，0tan，tantan.題點(diǎn)三：求最值或值域3已知f(x)tan2x2tan x，求f(x)的值域解：令utan x，因?yàn)閨x|，所以u(píng)， ，所以函數(shù)化為yu22u.對(duì)稱軸為u1， 所以當(dāng)u1時(shí)，ymin12211.當(dāng)u時(shí)，ymax32.所以f(x)的值域?yàn)?,32 1求函數(shù)yAtan(x)(A，都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若0，由于ytan x在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kxk，求得x的范圍即

6、可(2)若0，可利用誘導(dǎo)公式先把yAtan(x)轉(zhuǎn)化為yAtan(x)Atan(x)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可2運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法(1)運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)(2)運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1函數(shù)y2tan的定義域是()A，kZB，kZC，kZD，kZ解析：選A由kxk，kZ，解得2kx2k，kZ.2f(x)tan的最小正周期為()A.BC D2解析：選B法一：函數(shù)ytan(x)的周期是T，直接套用公式，可得T.法二：由誘導(dǎo)公式可得tantantan，所以ff(x)，所以周期為T.3函數(shù)f(x)tan

7、與函數(shù)g(x)sin的最小正周期相同，則()A1 B1C2 D2解析：選Ag(x)的最小正周期為，則，得1.4函數(shù)y|tan 2x|是()A周期為的奇函數(shù) B周期為的偶函數(shù)C周期為的奇函數(shù) D周期為的偶函數(shù)解析：選Df(x)|tan(2x)|tan 2x|f(x)為偶函數(shù)，T.5與函數(shù)ytan的圖象不相交的一條直線是()Ax BxCx Dx解析：選D當(dāng)x時(shí)，2x，而的正切值不存在，所以直線x與函數(shù)的圖象不相交6函數(shù)y的定義域是_解析：由1tan x0即tan x1結(jié)合圖象可解得答案：(kZ)7函數(shù)ytan的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析：令k2xk，kZ，解得x，kZ.答案：，kZ8函數(shù)y3tan(x)

8、，x的值域?yàn)開解析：函數(shù)y3tan(x)3tan x，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以3y，所以值域?yàn)?3， 答案：(3， 9比較下列各組中兩個(gè)正切函數(shù)值的大小(1)tan 167與tan 173；(2)tan與tan.解：(1)90167173180，又ytan x在上是增函數(shù)，tan 167tan 173.(2)tantantan，tantantan，又0，函數(shù)ytan x，x是增函數(shù)，tantan，即tantan.10已知f(x)tan，(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)是奇函數(shù)，則應(yīng)滿足什么條件？并求出滿足|的值解：(1)法一：ytan x的周期是.ytan的周期是.法二：由

9、誘導(dǎo)公式知：tantantan，即f f(x)f(x)的周期是.(2)f(x)tan是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，2(kZ)，(kZ)令(kZ)，解得k，kZ.k1,0,1，或2.從而得，或.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1函數(shù)y的定義域是()ABCD解析：選C要使函數(shù)有意義，只要logtan x0，即0tan x1.由正切函數(shù)的圖象知，kxk，kZ.2函數(shù)ytan(cos x)的值域是()ABCtan 1，tan 1 D以上均不對(duì)解析：選C1cos x1，且函數(shù)ytan x在1,1上為增函數(shù)，tan(1)tan xtan 1.即tan 1tan xtan 1.3函數(shù)ytan在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是()解析

10、：選A令ytan0，則有xk，x2k，kZ.再令k0，得x，可知函數(shù)圖象與x軸一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故可排除C、D.令x，得x，或令x，得x.故排除B，選A.4方程tan在區(qū)間0,2)上的解的個(gè)數(shù)是()A5B4C3 D2解析：選B由tan，得2xk(kZ)，x(kZ)，又x0,2)，x0，.故選B.5若tan xtan且x在第三象限，則x的取值范圍是_解析：tan xtantan，又x為第三象限角，kxk(kZ)答案：(kZ)6已知函數(shù)ytan x在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是_解析：函數(shù)ytan x在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則有0，且周期T，即，故|1，10.答案：1,0)7已知x，求函數(shù)y2tan x1的最值及相應(yīng)的x的值解：y2tan x12tan x1tan2x2tan x2(tan x