常微分方程課件-解的存在唯一性定理.ppt

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 2.2 解的存在惟一性定理,引入：對于給定的微分方程,它的通解一般有無限多個(gè),而給定初始條件后,其解有時(shí)惟一,有時(shí)不惟一.,確定給定初始條件的微分方程解的存在惟一性十分重要: (一)它是數(shù)值解和定性分析的前提; (二)若實(shí)際問題中建立的方程模型的解不是 存在且惟一的,該模型就是一個(gè)壞模型.,而同一方程滿足,例1:初值問題 有解: 在 .,的解為:,. 它的存在區(qū)間為,例3:初始值問題:,有無窮多解,存在區(qū)間為:,2.2.1例子和思路 例 4: 證明初值問題,的解存在且惟一。,滿足,取,惟一性證明: 設(shè)有兩個(gè)解,這就證明了惟一性。,2.2.2 存在惟一性定理及其證

2、明,上連續(xù)，如果有常數(shù) L0,使得對于所有的,都有:,考慮微分方程:,Lipschitz 條件:,(2.2.3),L 稱為 Lipschitz 常數(shù)。,定理1:,在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足,在區(qū)間,Lipschitz條件，則初值問題,證明：,若,（）將初值問題解的存在惟一性化為積分方 程的解的存在惟一性,思路：,(2.2.3),（）構(gòu)造積分方程迭代函數(shù)序列，并證明該 序列收斂,（）證明該序列的極限是積分方程的解,（）證明惟一性,詳細(xì)證明：,的解等價(jià)。,（ 2 ）構(gòu)造 Picard 迭代數(shù)列,這樣就得到一個(gè)連續(xù)函數(shù)列,（ 3 ) Picard 序列的收斂性,證明:,則,證明：考慮函數(shù)項(xiàng)級數(shù),它的前,

3、估計(jì)級數(shù)通項(xiàng):,項(xiàng)的部分和為:,其中第二個(gè)不等式由Lipschitz條件可以得到，,于是，由數(shù)學(xué)歸納法得，對于所有自然數(shù)k，有,由Weiestrass判別法知，,設(shè):,引理1.3,是積分方程定義于,上的連續(xù)解。,證明：由 Lipschitz 條件,上一,即,（ 5 ）解的惟一性,證明：,則,引理 1.4,上的連續(xù)解，則必有,令,且,令,于是,注1:,定理中,的幾何意義:,故取,.,注2:,函數(shù),的連續(xù)性得解的存在性,Lipschitz條件得解的惟一性,注:,定理的結(jié)論只是在局部范圍內(nèi)給出解的存,惟一性在許多情況下，可反復(fù)使用該定理，,使解的范圍延拓到最大的區(qū)間,則在,解有可能跑到,之外,的解,連續(xù)，且它關(guān)于y有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。,計(jì)算,例證明初始值問題：,故由解得存在唯一性定理可知，初始值問題的解,內(nèi)存在唯一，當(dāng)然也在,內(nèi)存在唯一。,對于任意的正數(shù),函數(shù),在,因,任意先取,使,最大,解：,的解存在唯一的區(qū)間,例討論初始值問題,取,則由定理得解的存在惟一區(qū)間為：,再使用依次存在惟一性定理：,當(dāng),時(shí)，,取得最大值,此時(shí),故取,可