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文檔簡(jiǎn)介
1、統(tǒng)計(jì)學(xué)家沃爾德總結(jié)了關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論,并將不確定意義上的決策科學(xué)納入了統(tǒng)計(jì)范圍。1939年,他創(chuàng)立了統(tǒng)計(jì)決策理論,彌補(bǔ)了以往統(tǒng)計(jì)理論的缺陷。統(tǒng)計(jì)決策的顯著特征是統(tǒng)計(jì)決策以統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)為基礎(chǔ),是一種定量決策。統(tǒng)計(jì)決策是一種概率決策,它利用概率來(lái)計(jì)算和分析不確定條件下的決策。6.1統(tǒng)計(jì)決策,決策問(wèn)題的三個(gè)基本要素,狀態(tài)集、動(dòng)作集、動(dòng)作空間、損失函數(shù)、根據(jù)統(tǒng)計(jì)決策理論的觀點(diǎn),決策有用信息、先驗(yàn)信息、樣本信息、決策問(wèn)題的分類、無(wú)數(shù)據(jù)決策問(wèn)題(無(wú)樣本信息)、統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題、貝葉斯決策問(wèn)題、描述當(dāng)未知量處于一種狀態(tài)時(shí),由于采取行動(dòng)而造成的損失,這種損失被寫(xiě)成線性損失函數(shù),1?;靖?/p>
2、念,2。決策功能。從樣本空間到動(dòng)作空間的可測(cè)映射稱為決策函數(shù)。3.風(fēng)險(xiǎn)函數(shù),即決策函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。如果是決策函數(shù),損失函數(shù)關(guān)于樣本分布的數(shù)學(xué)期望,平均損失越小,決策函數(shù)越好。風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)描述的是當(dāng)未知量處于某種狀態(tài)并做出決策時(shí)所遭受的平均損失。2.通用決策標(biāo)準(zhǔn);1.統(tǒng)一最優(yōu)決策準(zhǔn)則稱為決策函數(shù)類的統(tǒng)一最小風(fēng)險(xiǎn)決策函數(shù),或統(tǒng)一最優(yōu)決策函數(shù)。定義是指在樣本空間中定義并在動(dòng)作空間中賦值的某個(gè)決策函數(shù)類。如果有一個(gè)決策函數(shù)對(duì)任何一個(gè)都有、和極大極小決策準(zhǔn)則,它就叫做統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題的極大極小決策函數(shù),相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)就叫做極大極小風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于一個(gè)統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題,讓它表示一個(gè)決策函數(shù)類,它的值在樣本空間的作用空間中。如果
3、有決策函數(shù),3。在統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題和統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題中,貝葉斯決策準(zhǔn)則、先驗(yàn)信息和先驗(yàn)分布總是包含未知數(shù)。為了做出統(tǒng)計(jì)決策或統(tǒng)計(jì)推斷,樣本信息是必不可少的,因?yàn)樗钚碌男畔ⅰ4送?,一些非樣本信息也可以用于統(tǒng)計(jì)決策和統(tǒng)計(jì)推斷。這些非樣本信息主要來(lái)自經(jīng)驗(yàn)或歷史數(shù)據(jù)。由于這類經(jīng)驗(yàn)或歷史數(shù)據(jù)大多存在于測(cè)試之前(用于獲取樣本),因此這些非樣本信息被稱為先驗(yàn)信息。統(tǒng)計(jì)學(xué)有兩個(gè)主要流派:古典(頻率)學(xué)派和貝葉斯學(xué)派。古典學(xué)派認(rèn)為這是一個(gè)未知的參數(shù);貝葉斯學(xué)派認(rèn)為它是一個(gè)隨機(jī)變量,應(yīng)該用概率分布來(lái)描述。這種概率分布存在于抽樣之前,它是關(guān)于先驗(yàn)信息的概率陳述。這種概率分布稱為先驗(yàn)分布,它由下式表示。貝葉斯公式和后驗(yàn)
4、分布,稱為后驗(yàn)分布。先驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則和后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則,定義1:在給定的統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題中,如果設(shè)定為決策函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)是先驗(yàn)分布的,那么平均風(fēng)險(xiǎn)稱為決策的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)。如果它存在于決策函數(shù)類中,則稱為貝葉斯(先驗(yàn))風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下決策函數(shù)類的最優(yōu)決策函數(shù),簡(jiǎn)稱貝葉斯決策函數(shù)或貝葉斯解。定義2:在給定的統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題中,如果決策函數(shù)的損失函數(shù)是后驗(yàn)分布,那么條件期望風(fēng)險(xiǎn)稱為決策函數(shù)的貝葉斯后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)。如果它存在于決策函數(shù)類中,則稱為貝葉斯后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下決策函數(shù)類的最優(yōu)決策函數(shù),或者稱為貝葉斯后驗(yàn)決策函數(shù)。一位收藏家打算以5000元的價(jià)格買一幅名畫(huà)。如果這幅畫(huà)是真跡,它值一萬(wàn)元;如果它是假的,它就一文不值。另外,買假畫(huà)
5、或不買真畫(huà)都會(huì)損害收藏家的聲譽(yù),收入如下。現(xiàn)在,收藏家需要決定是否購(gòu)買。(1)如果收藏家有以下三種選擇:(1)購(gòu)買概率為0.5的畫(huà);請(qǐng)鑒賞家鑒定(據(jù)了解,鑒賞家鑒定真跡的概率為0.95,鑒定贗品的概率為0.7)。如果鑒賞家認(rèn)為它是真品,就買這幅畫(huà);當(dāng)然不會(huì)。那么,收藏家的最小和最大決策是什么?(2)根據(jù)賣方過(guò)去的數(shù)據(jù),如果發(fā)生的概率是0.75,發(fā)生的概率是0.25,收藏家應(yīng)該買這幅畫(huà)嗎?在(2)的條件下,為了安全起見(jiàn),收藏家雇了一個(gè)鑒定家來(lái)作鑒定。眾所周知,鑒賞家鑒別真跡的概率為0.95,鑒別贗品的概率為0.7。如果鑒賞家說(shuō)這幅畫(huà)是真跡,收藏家應(yīng)該買嗎?這是一個(gè)決策問(wèn)題,狀態(tài)集是真的還是假的,
6、動(dòng)作集的意思是“買”和“不買”,損失函數(shù)可以用矩陣表示,統(tǒng)計(jì)決策中提到的損失可以理解為“該賺而不該賺的錢”、“不該丟的錢”或“不該付的錢”。解決方案:(1)計(jì)算結(jié)果表明,收藏家的最小和最大決策是如果鑒賞家認(rèn)為這幅畫(huà)是真跡,就購(gòu)買它,這個(gè)決策的最小和最大風(fēng)險(xiǎn)是1800元。(3)引入隨機(jī)變量,先驗(yàn)分布:是由貝葉斯公式得到的后驗(yàn)分布,所以樣本空間和作用空間,所以決策函數(shù)只有以下四個(gè)、當(dāng)給定該值時(shí),這些決策函數(shù)的貝葉斯后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)分別為:并且這些決策函數(shù)的貝葉斯后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)分別為:這可以在貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則中看到。在(3)中這些決策函數(shù)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)和邊緣分布計(jì)算如下:因此,可以看出,在貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函
7、數(shù)仍然是在兩個(gè)不同的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下獲得相同的最優(yōu)決策函數(shù)。理論基礎(chǔ)是定理6.1.1。定理6.1.1對(duì)于給定的統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題(包括給定的先驗(yàn)分布)和決策函數(shù)類,如果貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)滿足,定理6.2貝葉斯推理,在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中,總體的分布函數(shù)用表示未知參數(shù)和參數(shù)空間的。改寫(xiě)為,定義6.1如果函數(shù)只有一個(gè)常數(shù)因子比的差,則稱它為的核,這被記錄為,例如,貝葉斯學(xué)派認(rèn)為的后驗(yàn)分布集成了先驗(yàn)信息和樣本信息,并包含所有可用的信息,因此相關(guān)的統(tǒng)計(jì)推斷如點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)該基于后驗(yàn)分布。樣本分布,其中是總體的條件概率密度。1.貝葉斯估計(jì);1.點(diǎn)估計(jì)。貝葉斯估計(jì)器是貝葉斯決策函數(shù)(貝葉斯解),所以它被稱為貝葉斯估計(jì)器
8、。定理如果損失函數(shù)是和,那么貝葉斯估計(jì)是,其中是的后驗(yàn)概率密度。注:根據(jù)定理,當(dāng)使用平方損失函數(shù)時(shí),貝葉斯估計(jì)是(或),即后驗(yàn)分布的期望,所以這種估計(jì)稱為后驗(yàn)期望估計(jì)。在示例1中,假設(shè)總體的分布為,其中未知量是隨機(jī)變量,并且是總體的樣本值,并獲得貝葉斯估計(jì)。解:由于后驗(yàn)概率密度的核是,貝葉斯估計(jì)的是,因此,在樣本條件下,條件分布是,條件(1)和(2)表明,D集合的點(diǎn)具有盡可能大的后驗(yàn)概率密度,所以最大后驗(yàn)密度置信區(qū)間是在相同置信概率下具有最短長(zhǎng)度的區(qū)間。,2,區(qū)間估計(jì),參數(shù)的后驗(yàn)分布被定義為,對(duì)于給定的樣本和概率,如果存在區(qū)域D,它滿足以下條件:(1),示例2被設(shè)置為來(lái)自正態(tài)分布的樣本,這是已
9、知的。此外,先驗(yàn)分布是正態(tài)分布,其中它是已知的和計(jì)算的置信區(qū)間。解決方案:由于的后驗(yàn)概率密度可以看作正態(tài)分布,對(duì)于給定的,找到了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù),因此的最大后驗(yàn)置信區(qū)間為。利用后驗(yàn)分布,分別計(jì)算假設(shè)和假設(shè)的后驗(yàn)概率。3,貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn),當(dāng)后驗(yàn)概率比被接受時(shí);必要時(shí)拒絕;當(dāng)時(shí)機(jī)成熟時(shí),不宜倉(cāng)促做出判斷,需要進(jìn)一步采樣或收集更多的先驗(yàn)信息。在示例3中,假設(shè)從正態(tài)總體中隨機(jī)選擇容量為10的樣本,并且計(jì)算樣本平均值,并且先驗(yàn)分布是正態(tài)分布?,F(xiàn)在,檢驗(yàn)下面的假設(shè),并且從示例2中可以知道,的后驗(yàn)分布仍然是正態(tài)分布,并且其中,假設(shè)和的后驗(yàn)概率分別是兩個(gè)后驗(yàn)概率的比率,因此它被拒絕,即,正態(tài)平均值大于1
10、。貝葉斯檢驗(yàn)的特點(diǎn)是:(1)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和確定抽樣分布簡(jiǎn)單易行;(2)不必預(yù)先給出顯著性水平來(lái)確定檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域;(3)它可以很容易地?cái)U(kuò)展到多個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)場(chǎng)合。第二,先驗(yàn)分布的選擇,從前面的介紹中,我們可以看出貝葉斯推斷是基于后驗(yàn)分布的,而根據(jù)貝葉斯公式,后驗(yàn)分布取決于先驗(yàn)分布的選擇。選擇不同的分布作為先驗(yàn)分布會(huì)影響后驗(yàn)分布,從而影響貝葉斯推理的結(jié)果,因此先驗(yàn)分布的選擇對(duì)貝葉斯推理非常重要。1.貝葉斯假設(shè),貝葉斯學(xué)派認(rèn)為,如果沒(méi)有先驗(yàn)信息來(lái)確定未知量的先驗(yàn)分布,那么均勻分布就被用作其先驗(yàn)分布,而這種確定先驗(yàn)分布的原理稱為貝葉斯假設(shè)。根據(jù)這一原理選擇的先驗(yàn)分布也稱為無(wú)信息的先驗(yàn)分布。共軛先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布在貝葉斯推理中起著重要的作用,但有時(shí)后驗(yàn)分布的計(jì)算比
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