6統(tǒng)計(jì)第六課.ppt

1、玻色、費(fèi)米統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用,利用同樣的思路（玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)的推導(dǎo)過程），我們的到了遵從玻色和費(fèi)米分布的（量子）系統(tǒng)的（熱力學(xué)）統(tǒng)計(jì)公式，如：系統(tǒng)的平均粒子數(shù)目、內(nèi)能、物態(tài)方程、熵、巨熱力勢(shì)等。據(jù)此可以得到系統(tǒng)平衡狀態(tài)下的性質(zhì)。,根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)公式，我們對(duì)弱兼并的量子系統(tǒng)進(jìn)行了討論，看到了統(tǒng)計(jì)特性的影響；對(duì)于玻色系統(tǒng)，討論了玻色愛因斯坦凝聚現(xiàn)象；對(duì)于固體，討論了熱容量模型。對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)，討論了接觸電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生。,這些討論的基礎(chǔ)在于對(duì)（近獨(dú)立系統(tǒng)的）粒子的能級(jí)和兼并度的假設(shè)和計(jì)算。,玻色、費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的熱力學(xué)公式：,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,原子結(jié)合成金屬后，價(jià)電子脫離原子可在整個(gè)金屬中自由運(yùn)動(dòng)。失

2、去價(jià)電子后的原子變成離子。由于離子空間排列的周期性，離子在金屬中產(chǎn)生一個(gè)周期勢(shì)場(chǎng)。電子在周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。為了簡(jiǎn)單，采用自由電子模型，把價(jià)電子看作是在恒定的勢(shì)阱中的自由電子，形成自由電子氣。根據(jù)費(fèi)米分布，在溫度為T時(shí)，處在一個(gè)能量為的量子態(tài)上的平均電子數(shù)目為：,考慮到電子的自旋，在體積V內(nèi)，能量從到 d 范圍內(nèi)的電子的量子態(tài)數(shù)目為：,我們使用了能量準(zhǔn)連續(xù)近似。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,在體積V內(nèi)，能量從到 d 范圍內(nèi)的平均電子數(shù)目為,在給定電子數(shù)目N，溫度T和體積V時(shí)，化學(xué)勢(shì)由下式計(jì)算：,所以化學(xué)勢(shì)是溫度T和電子密度n=N/V的函數(shù)。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,現(xiàn)在討論溫度

3、T0K時(shí)的情況。,在T0K時(shí)，能量小于化學(xué)勢(shì)的能級(jí)都被占據(jù)了；能量高于化學(xué)勢(shì)的能級(jí)都空著。根據(jù)泡里不相容原理，化學(xué)勢(shì)是0K時(shí)電子的最大能量。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,所以，T0K時(shí)的化學(xué)勢(shì)(0)可以由下式得到：,0K時(shí)電子的最大動(dòng)量，稱為費(fèi)米動(dòng)量:0K時(shí)電子氣的內(nèi)能為：,0K時(shí)電子的平均能量為3(0)/5。,現(xiàn)在對(duì)0K時(shí)的化學(xué)勢(shì) （0）作一個(gè)估計(jì)。以Cu為例，N/V=8.5 1023 m-3， (0)=1.1 10-18 J。定義費(fèi)米溫度： 得到Cu的費(fèi)米溫度TF為7.8104K。在一般溫度下金屬中自由電子氣的化學(xué)勢(shì)與0K時(shí)近似相等,化學(xué)勢(shì)也被稱為費(fèi)米能級(jí)。由于 kT，e0K時(shí)有：

4、,溫度不為零時(shí)，在與相差kT量級(jí)的范圍內(nèi)分布函數(shù)發(fā)生了變化。熱激發(fā)將電子激發(fā)到能量稍高一些的能級(jí)上。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,從圖中看出，溫度T下，同0K時(shí)相比，只有在費(fèi)米能級(jí)附近的分布發(fā)生了改變。所以：只有費(fèi)米能級(jí)附近的電子對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)。,粗略估計(jì)以下。假設(shè)對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目為：,利用能量均分定理，金屬中自由電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)為,室溫范圍內(nèi)，T/TF1/260，所以，電子的貢獻(xiàn)很小，可忽略,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,對(duì)自由電子氣體的熱容量進(jìn)行定量計(jì)算?；瘜W(xué)勢(shì)由右式?jīng)Q定：,求出化學(xué)勢(shì)后，可以利用右式計(jì)算系統(tǒng)的內(nèi)能：,對(duì)于粒子數(shù)和內(nèi)能分別為：,這兩個(gè)積分式子可以寫成

5、：,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,定義：,令：,可以證明：,有：,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,當(dāng)T0K時(shí)，,利用kT/(0)代替 kT/，有：,系統(tǒng)的內(nèi)能近似為：,熱容量近似為：,與前面的粗略估計(jì)為相比，兩者相差一個(gè)系數(shù)。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,由于費(fèi)米溫度很高，在常溫下電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。但是當(dāng)溫度很低時(shí)，由于離子振動(dòng)的貢獻(xiàn)按照T3衰減，電子熱容量就不能再忽略不計(jì)。低溫下離子和電子的運(yùn)動(dòng)對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)可以從德拜模型和上述公式分別計(jì)算。,以Cu為例，D345 K，所以離子的運(yùn)動(dòng)對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)為：,以Cu為例，TF7.8 104 K，電子的運(yùn)動(dòng)對(duì)熱容量的貢

6、獻(xiàn)為：,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,以Cu為例，D345K，TF7.8 104 K。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,經(jīng)典統(tǒng)計(jì)（能量均分定理）可以給出高溫下的熱容量數(shù)值，但是不能解釋熱容量隨著溫度下降而減小的事實(shí)。定域的愛因斯坦模型（玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)）可以定性解釋隨著溫度下降的現(xiàn)象，但是具體趨勢(shì)不對(duì)（下降太快）。德拜模型比愛因斯坦模型進(jìn)了一步（聲子模型，玻色統(tǒng)計(jì)），可以定量解釋氣變化趨勢(shì)，對(duì)于絕緣體正確，但對(duì)于金屬在3K以下，又不對(duì)了。考慮金屬中自由電子的貢獻(xiàn)后（自由電子氣，費(fèi)米統(tǒng)計(jì)），金屬在3K以下的熱容量規(guī)律也可以被解釋了。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,對(duì)于固體熱容量的解釋

7、有個(gè)過程：經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理定域的愛因斯坦模型（玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)） 德拜模型（聲子模型，玻色統(tǒng)計(jì)） 考慮金屬中自由電子的貢獻(xiàn)（自由電子氣，費(fèi)米統(tǒng)計(jì)）。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,現(xiàn)在討論電子氣體的壓強(qiáng)。非相對(duì)論氣體的壓強(qiáng)與內(nèi)能的關(guān)系式為：,根據(jù)前面的數(shù)據(jù)可以估計(jì)在0K時(shí)電子氣體的壓強(qiáng)為：3.71010 Pa。根據(jù)泡里不相容原理，電子填充了能量從0到(0)的狀態(tài)。這些狀態(tài)的能量與V-2/3成正比。如果壓縮電子氣體的體積，則所有電子的能量都要增加。因此壓縮電子氣體時(shí)，外界需要作很大的功。在金屬中電子氣體的壓強(qiáng)被電子與離子間的相互作用力補(bǔ)償。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的

8、應(yīng)用：熱電子發(fā)射,高溫下金屬發(fā)射電子的現(xiàn)象稱為熱電子發(fā)射。根據(jù)前面所講的，金屬中的自由電子可以看成是在一個(gè)恒定勢(shì)阱中的自由粒子。假如勢(shì)阱的深度為，它等于將基態(tài)的電子（能量0）移到金屬外需要的最小功。如果將處在費(fèi)米能級(jí)處的電子移出金屬外，所需的最小功為： 。W稱為功函數(shù)。,考慮在常溫下，在單位體積內(nèi)動(dòng)量在dpxdpydpz范圍內(nèi)的可能狀態(tài)數(shù)目為：,則在此范圍內(nèi)的電子數(shù)目為：,單位時(shí)間內(nèi)，碰到單位面積的金屬表面上，動(dòng)量在dpxdpydpz范圍內(nèi)的電子數(shù)目為：,將上式改寫為：,滿足x的電子可以擺脫金屬的束縛到達(dá)金屬外。則發(fā)射電流為：,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：熱電子發(fā)射,在一般情況下，1：,功函數(shù)W一般是電子

9、伏特的量級(jí)，因此一般在高溫下（103 K）才會(huì)發(fā)生可觀的熱電子發(fā)射。功函數(shù)越大，發(fā)射需要的溫度越高。同樣的溫度下，功函數(shù)小的發(fā)射電流大。,費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用：熱電子發(fā)射,近獨(dú)立粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)理論,對(duì)于由近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，粒子之間僅僅存在著微弱的相互作用。這種相互作用可以忽略。 對(duì)于這類系統(tǒng)，可以使用最概然分布的方法處理：玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布。據(jù)此，得到相應(yīng)的熱力學(xué)函數(shù)計(jì)算公式，確定系統(tǒng)在平衡時(shí)的性質(zhì)。 基礎(chǔ)：粒子的能級(jí)和兼并度、等幾率原理。,對(duì)于粒子之間存在著強(qiáng)的相互作用的系統(tǒng)，粒子之間的相互作用不能被忽略時(shí)，應(yīng)當(dāng)用系綜理論（Ensemble）討論系統(tǒng)的性質(zhì)。,系綜理論,本課內(nèi)容,

10、相空間和劉維爾定理,首先說明如何描述系統(tǒng)的微觀（力學(xué)）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。對(duì)于由N個(gè)近獨(dú)立粒子組成的經(jīng)典系統(tǒng)，假設(shè)每個(gè)粒子的自由度為r，則可以用N個(gè)在由r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量組成的空間中的點(diǎn)精確描述。如果粒子間的相互作用不能忽略時(shí)，應(yīng)當(dāng)把系統(tǒng)看作是一個(gè)整體來考慮。在經(jīng)典情況下，假設(shè)N個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)，粒子的自由度為r，則系統(tǒng)的自由度為fNr。如果粒子包含多種粒子，則：,Ni是第i中粒子的數(shù)目，ri是粒子第i中粒子的自由度。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)在任一時(shí)刻的,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用f個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2，qf和f個(gè)廣義動(dòng)量p1，p2，pf在此時(shí)刻的數(shù)值確定。如果以這f個(gè)廣義坐標(biāo)和f個(gè)廣義動(dòng)量為直角坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)

11、2f維的空間，稱為相空間或者空間，則系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)可以用該空間中的一個(gè)點(diǎn)描述：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。,相空間和劉維爾定理,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著時(shí)間改變，遵從哈密頓正則方程：,其中H是系統(tǒng)的哈密頓量。為了明確起見，我們考慮保守系統(tǒng)，則哈密頓量就是系統(tǒng)的能量，包括粒子的動(dòng)能、粒子間相互作用能和粒子在保守勢(shì)場(chǎng)中的勢(shì)能：是廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的函數(shù)；有外場(chǎng)時(shí)還是外場(chǎng)的函數(shù)。,當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)隨著時(shí)間變化時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)的在相空間中移動(dòng)，移動(dòng)軌道由上式?jīng)Q定。軌道的運(yùn)動(dòng)方向由坐標(biāo)和動(dòng)量的一階微分確定，而哈密頓量和它的微商又是單值函數(shù)，所以經(jīng)過相空間任意一點(diǎn)，軌道只能有一條。這樣，系統(tǒng)從某一初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)在相

12、空間中的軌道是一條封閉曲線，或者是一條自身永不相交的曲線。當(dāng)系統(tǒng)從不同的初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)沿著相空間中不同的軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同的軌道也不相交。,相空間和劉維爾定理,由于保守系統(tǒng)的能量E不隨著時(shí)間改變，所以系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量必然滿足條件：,這實(shí)際上確定了相空間中的一個(gè)曲面，稱為能量曲面。保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)一定在能量曲面上。,設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)，獨(dú)立的沿著正則方程所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng)。這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)將在相空間中形成一個(gè)分布。,相空間中的一個(gè)體積元,表示在時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在體積元內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù),相空間和劉維爾定理,那么，對(duì)整個(gè)相空間積分，就得到了設(shè)想的系統(tǒng)數(shù)

13、目：一個(gè)不隨著時(shí)間的改變而改變的量。,現(xiàn)在考慮代表點(diǎn)密度隨著時(shí)間的變化。時(shí)間從t變化到tdt：,相空間中代表點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),則在后一處的密度為：,其中，有：,為什么？,相空間和劉維爾定理,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)密度在相空間中是常數(shù)。為什么？,考慮一個(gè)相空間中的一個(gè)固定的體積元，由下面2f對(duì)平面為邊界組成。,在時(shí)刻t，在該體積元內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目為：d。經(jīng)過時(shí)間dt后，有些代表點(diǎn)走出了這個(gè)體積元，有些則走進(jìn)了這個(gè)體積元，使得這個(gè)體積元內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)目發(fā)生了變化。,？,兩者相減，得到體積元內(nèi)代表點(diǎn)的增加數(shù)目為：,代表點(diǎn)需要通過這2f對(duì)邊界平面才能夠進(jìn)入或者走出體積元?，F(xiàn)在計(jì)算通過平面qi走進(jìn)體積元內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)目。體積元在平面

14、qi上的邊界面積為：,相空間和劉維爾定理,在dt時(shí)間內(nèi)通過dA進(jìn)入體積元的代表點(diǎn)必定位于以dA為底，以 dt 為高的柱體內(nèi)。柱體內(nèi)的代表點(diǎn)為：,同樣地，在dt時(shí)間內(nèi)通過平面qidqi走出體積元的粒子數(shù)目為：,兩者相減得到經(jīng)過一對(duì)平面（qi，qidqi）凈進(jìn)入體積元的代表點(diǎn)數(shù)目：,由類似的討論，可以得到經(jīng)過一對(duì)平面（pi，pidpi）凈進(jìn)入體積元內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)目為：,相空間和劉維爾定理,將前面兩個(gè)式子相加，再對(duì)i進(jìn)行求和，就得到了在dt時(shí)間內(nèi)由于代表點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)穿過邊界而進(jìn)入體積元的凈增加數(shù)目。,根據(jù)哈密頓正則方程，有：,相空間和劉維爾定理,所以，有：,上式為劉維爾定理：隨著一個(gè)代表點(diǎn)在相空間中運(yùn)動(dòng)，

15、其鄰域的代表點(diǎn)密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。,相空間和劉維爾定理,將哈密度正則方程帶入上式，得到劉維爾定理的另一種形式：,本式對(duì)于變換tt保持不變，說明劉維爾定理是可逆的。,如果密度僅僅是哈密頓量H（即能量E）的函數(shù)，則上式中右邊為零，此時(shí)有：,微正則分布：,上面討論了系統(tǒng)微觀（力學(xué)）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述及其隨著時(shí)間的變化。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。例如：孤立系統(tǒng)，給定的宏觀條件是：體積V，粒子數(shù)目N，和能量E（EEdE的范圍）。,給定了宏觀條件后，系統(tǒng)可能取得的微觀狀態(tài)數(shù)目是十分巨大的。不可能肯定系統(tǒng)在某一時(shí)刻一定處在或者一定不處在某個(gè)微觀狀態(tài)。只能確定系統(tǒng)在某一時(shí)刻處在某個(gè)微觀狀

16、態(tài)的概率。宏觀量是相應(yīng)的微觀量在一切可能滿足給定宏觀條件的微觀狀態(tài)上的平均值。,在經(jīng)典理論中，可能的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在相空間中構(gòu)成一個(gè)連續(xù)分布。以,表示相空間中的一個(gè)體積元，在時(shí)刻t系統(tǒng)的微觀狀態(tài)處在該體積元內(nèi)的概率為：,（q，p，t）稱為分布函數(shù)，滿足歸一化條件。表示微觀狀態(tài)處在相空間各區(qū)域的概率總和為1。,為了形象的表示上式給出的統(tǒng)計(jì)平均值，我們?cè)O(shè)想有大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，處在相同的給定的宏觀條件下。這大量系統(tǒng)的集合稱為系綜。顯然，在統(tǒng)計(jì)系綜所包含的大量系統(tǒng)中，在時(shí)刻t運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在d內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)目將與（q，p，t）成正比。如果在時(shí)刻t，從統(tǒng)計(jì)系綜中任意選取一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)處在d內(nèi)的概率為：

17、（q，p，t）dt。這樣，上式可以看作是微觀量B在統(tǒng)計(jì)系綜上的平均值。,微正則分布：,當(dāng)微觀狀態(tài)處在體積元d內(nèi)時(shí)，微觀量B的數(shù)值為B（q，p）。微觀量B在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值（宏觀量）為：,同樣地，在量子理論中，在給定的宏觀條件下，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目也是巨大的。以s1，2，表示系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)，用s（t）表示在時(shí)刻t系統(tǒng)處在狀態(tài)s上的概率，則s（t）為分布函數(shù)，滿足歸一化條件：,如果用Bs表示微觀量B在態(tài)S上的數(shù)值，則微觀量B在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值為：,上式中給出了宏觀量與微觀量之間的關(guān)系。要具體的根據(jù)上式求出宏觀量，必須知道系綜的分布函數(shù)。因此確定分布函數(shù)是系綜理論的根本問

18、題。 系綜的分布函數(shù)與宏觀條件有關(guān)。下面我們考慮處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)。,微正則分布：,當(dāng)孤立系統(tǒng)處在熱平衡時(shí)，它的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間而改變。因此，上式分布函數(shù)中不含時(shí)間變量。根據(jù)劉維爾定理，如果密度函數(shù)只是能量的函數(shù)，則不含有時(shí)間變量。孤立系統(tǒng)的能量具有確定值，更精確的說，能量E在一個(gè)范圍內(nèi)：E到EdE之間。顯然，系統(tǒng)不可能處在這個(gè)能量范圍以外的微觀狀態(tài)上。但是在這個(gè)范圍內(nèi)，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目也是巨大的。這些狀態(tài)都滿足給定的宏觀條件，它們應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。因此，一個(gè)合理的假設(shè)是：一切可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等（等概率原理）。這也稱為微正則分布（N，V，E）。 等概率原理是平衡態(tài)條件物理的基本假設(shè)

19、。它的正確性由它的推論與實(shí)際相符合而得到肯定。,微正則分布：,等概率原理的經(jīng)典表達(dá)式為：,等概率原理的量子表達(dá)式為：,式中表示能量在E到EdE之間的微觀狀態(tài)數(shù)目。由于這各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率都相等，所以每一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的幾率為：1/ 。,如果把經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理解為量子統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典極限，對(duì)于含有N個(gè)自由度為r的全同粒子的系統(tǒng)，在能量在E到EdE范圍內(nèi)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目為：,微正則分布：,系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在相空間中的體積為hNr。,系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在相空間中的體積為hNr。考慮粒子的全同性，N個(gè)粒子交換所產(chǎn)生的N！個(gè)相格實(shí)際上是一樣的。,如果系統(tǒng)中含有不同的粒子，第i種粒子的自由度為ri。粒子數(shù)目為Ni，

20、則系統(tǒng)在能量為E到EdE范圍內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)目為：,微正則分布：,微正則分布的熱力學(xué)公式：,前面引進(jìn)了在給定N，E，V條件下系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)數(shù)目（N，E，V）。下面討論（N，E，V）與熱力學(xué)量的關(guān)系和微正則分布的熱力學(xué)公式。,考慮一個(gè)孤立系統(tǒng)A（0），它由兩個(gè)具有微弱相互作用的系統(tǒng)A1（N1，V1，E1）和A2（N2，V2，E2）構(gòu)成。其對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)目為： 1（N1，E1，V1） 2（N2，E2，V2）。這時(shí)復(fù)合系統(tǒng)A（0）的微觀狀態(tài)數(shù)目為：,令A(yù)1和A2進(jìn)行熱接觸：只能交換能量，不能改變粒子數(shù)和體積。則下式成立：,上式說明，對(duì)于給定的E（0），（0）取決于E1?；蛘哒f，取決于能量在子系A(chǔ)

21、1和A2間的分配。,根據(jù)等概率原理，在平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)一切可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等。假設(shè)當(dāng)E1 時(shí)，系統(tǒng)具有狀態(tài)數(shù)目的極大值。這意味著，A1具有能量 ，A2具有能量 E（0） 時(shí)，是一種最概然分布。由于其他能量分配出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于最概然分布，所以可以認(rèn)為此時(shí)就是A1和A2達(dá)到熱平衡時(shí)的內(nèi)能。,下面推導(dǎo)確定 和 的條件。系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)目取極大值時(shí)，有下式成立。利用前面的微觀狀態(tài)數(shù)目公式，有：,微正則分布的熱力學(xué)公式：,上式確定A1和A2達(dá)到熱平衡時(shí)的內(nèi)能。同時(shí)表明，在熱平衡時(shí)，兩個(gè)子系的 相等，用表示這個(gè)量。,微正則分布的熱力學(xué)公式：,則熱平衡條件為：,在熱力學(xué)中曾經(jīng)得到類似結(jié)果，兩個(gè)系統(tǒng)達(dá)到熱平衡的條件為：,由此可知：應(yīng)該與1/T成正比，令：,玻爾茲曼公式不僅適用于近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，也適用于粒子間存在相互作用的系統(tǒng)。此時(shí)我們沒有觸