1[1].4方陣的行列式.ppt

1、第一章 矩陣,1.1 矩陣的定義與運(yùn)算,1.2 線性方程組的矩陣表示,1.3 矩陣的初等變換,1.4 方陣的行列式,1.5 矩陣的秩,1.4 方陣的行列式,一、行列式定義,二、行列式性質(zhì),三、方陣的行列式及其可逆性,行列式是十分有用的工具，利用它可以進(jìn)一步研究矩陣及定義許多重要概念. 本節(jié)將介紹行列式的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法，給出行列式的一些應(yīng)用：求可逆矩陣逆矩陣的公式及定義矩陣的秩（1.5）.,一、 行列式的定義,本目從二、三階行列式出發(fā)，給出n階行列式的定義. 基本內(nèi)容： 二階與三階行列式 余子式、代數(shù)余子式 n階行列式,1.二階與三階行列式,(1)二階行列式,定義 已知2階方陣,稱,為方陣

2、A的二階行列式，記作A 或detA. 例如：,(2) 3階行列式,定義 已知3階方陣,稱,為三階行列式. 而,稱為元素 a11, a21及a31的余子式； 稱Aij = (-1)i+jMij 為元素aij的代數(shù)余子式.,在3階行列式中分別劃去元素a11, a21及a31所在行、列后剩余的元素保持原來的次序構(gòu)成的2階行列式,例如：行列式,中元素1,4,6的代數(shù)余子式為,利用代數(shù)余子式的概念，上述定義可表述為： 三階行列式等于第1列各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和， 即:,例1 計(jì)算3階行列式,解 由定義，有,2. n階行列式定義,利用遞推方法，可以得到n階行列式的定義. 定義：n 階矩陣 A=

3、(aij)nn的行列式是由矩陣的各元素確定的一個(gè)值，該值等于第1列元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,也稱為n階行列式按第1列展開.,例2 計(jì)算行列式,解 由行列式定義，有,例3 證明n階行列式(上三角),重要結(jié)論：上三角行列式的值等于其主對(duì)角線上各元素的乘積！,啟示：第一列元素若有零的話，將減少計(jì)算工作量.,用定義計(jì)算,思考練習(xí),答案,二、 行列式的性質(zhì) (數(shù)學(xué)歸納法證明),性質(zhì)1 行列式一行元素都為零，行列式值為零.,性質(zhì)2 行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列 式符號(hào)的外面.,亦可理解為： 用一個(gè)數(shù)k 乘行列式，相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘行列式的某一行.,1. 行的性質(zhì),性質(zhì)3 互換行列式

4、的兩行(rirj) ，行列式的值變號(hào) ., 推論1 若行列式D有兩行完全相同,則D=0 ., 推論2 若D的兩行對(duì)應(yīng)元素成比例,則D=0.,性質(zhì)4 （行列式相加）若行列式的某一行的元素都是兩項(xiàng)之和,則可把該行列式化為兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式這一行的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余位置的元素不變.即,性質(zhì)5 行列式D的某一行的所有元素都乘以數(shù) k加到另一行的相應(yīng)元素上,行列式的值不變,即,2. 行列式按列（行）展開,性質(zhì)6 行列式 D 的值等于它的任一列（行）元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,按列(行)展開定理,這里Aij為元素aij的代數(shù)余子式.,證：（先證“按任何一列展開”） 當(dāng)

5、j=1時(shí),為行列式的遞推定義,結(jié)論成立； 當(dāng)j 1時(shí),將D 的第j 列依次與它的前j-1列互換,得到行列式D1, 且有,從而,3. 轉(zhuǎn)置行列式 定義：方陣A轉(zhuǎn)置矩陣的行列式稱為轉(zhuǎn)置行列式，記為|A|T.即若,性質(zhì)7 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（|A|=|A|T） 證：當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k-1時(shí)結(jié)論成立, 現(xiàn)證n=k時(shí)結(jié)論成立. 由行列式的遞推定義，有,據(jù)此知：行列式的“行”成立的性質(zhì),對(duì)“列”也成立；反之亦然.,例4 行列式,解,結(jié)論：下三角行列式的值等于其主對(duì)角線上各元素的乘積.,性質(zhì)1 行列式一列元素都為零，行列式值為零.,性質(zhì)2 行列式中某一列所有元素的公因子可以提到行

6、列 式符號(hào)的外面. 也就是說，用一個(gè)數(shù)k 乘行列式，相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘行列式的某一列.,4. 列的性質(zhì), 推論1 若行列式D有兩列完全相同,則D=0 ., 推論2 若D的兩列對(duì)應(yīng)元素成比例,則D=0.,性質(zhì)4 （行列式相加）若行列式的某一列的元素都是兩項(xiàng)之和,則可把該行列式化為兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式這一列的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余位置的元素不變.即,性質(zhì)3 互換行列式的兩列(cicj) ，行列式的值變號(hào) .,性質(zhì)5 行列式D的某一列的所有元素都乘以數(shù) k加到另一列的相應(yīng)元素上,行列式的值不變.,性質(zhì)8 n階行列式,的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即,證:,考慮輔助行列式,0=,t列,j列,例5 計(jì)算行列式,解,解,解,本例是利用行列式性質(zhì)將其化為上三角形,再得出其值的！,例6 計(jì)算行列式,解,選取“0”多的行或列,化出“0”多的行或列，降階計(jì)算，最常用.,例7 計(jì)算行列式,解,例8 證明,證,證,例9 計(jì)算n階行列式,解,例10 已知4階行列式,解,法1,法2,利用行列