三角形中的中點(diǎn)問(wèn)題

1、三角形中有關(guān)“中點(diǎn)問(wèn)題”是幾何中最常見(jiàn)的重要問(wèn)題之一，而有關(guān)中點(diǎn)的定理散見(jiàn)于各章節(jié)。三角形中的中點(diǎn)問(wèn)題例1：如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線，求證：AB=AC.分析：在ABC中，AD是BAD=CAD,AD=AD,BD=CD三個(gè)條件，但不能直接推出ABD和ACD全等，注意到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即AD是ABC的中線，可嘗試常用的輔助線添設(shè)“中線倍長(zhǎng)”。講評(píng)：一見(jiàn)到三角形一邊（即AB邊）上的中線，就應(yīng)該想到，可以試試將該中線延長(zhǎng)一倍，這樣就把原先成叉狀的三條線段（有共同端點(diǎn)的兩條邊（即BC邊），（即CA邊）和中線（即CD邊）整合到一個(gè)三角形中（在該三角形中，原中線以兩倍的

2、形式出現(xiàn)），由此可得出一些結(jié)論：例2：如圖，在ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，DEAC于點(diǎn)E，則DE等于（）A、B、C、D、講評(píng)：由于等腰三角形具有頂角平分線、底邊上的中線及底邊上的高線三線合一的性質(zhì)，因此若是題目給了等腰三角形底邊中點(diǎn)的條件，通常情況下應(yīng)該作出底邊上的中線，那么它不僅是底邊上的中線，而且是底邊上的高，頂角平分線，這樣就能把等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直角三角形。例3.如圖，在ABC中，BD、CE為高，M是DE的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，求證:MNDE.分析：可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察：有幾個(gè)直角三角形？然后容易看出N是某兩個(gè)直角三角形公共斜邊的中點(diǎn)。講評(píng)：如果題目中

3、有直角三角形斜邊中點(diǎn)的條件，那么最好的最好的輔助線是作出斜邊上的中線。例4：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD、BC與MN的延長(zhǎng)線分別交于E、F。求證：AEC=BFM.分析：待證的兩個(gè)角ANE、BFM的位置“參差不齊”，勢(shì)必要換成等角進(jìn)行過(guò)濾，本題中雖有中點(diǎn)條件，但明顯沒(méi)有等腰三角形、直角三角形，因此考慮利用三角形中位線定理來(lái)解決問(wèn)題。講評(píng)：已知兩個(gè)中點(diǎn)，常常另找第三個(gè)中點(diǎn)，由此可得到兩條中位線，而這個(gè)“第三者”的尋找有一定的難度，一般說(shuō)，要有利于已知條件的集中，本題雖有AD=BC，但它們是“散”的；要有利于待證對(duì)象的集中，本題兩個(gè)角的位置“參差不齊”

4、的。例5：如圖，在ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF，求證：BE+CFEF.分析：待證的線段BE、CF、EF太分散，要設(shè)法集中，簡(jiǎn)單的平移，顯然不行，那么可以不可以將它們折半后集中呢？可試試中位線。例6：如圖，在等腰三角形ABCD中，CDAB,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,ACD=60，點(diǎn)S、P、Q分別是DO、AO、BC的中點(diǎn)，求證：SPQ是等邊三角形。小結(jié)：初中數(shù)學(xué)中涉及三角形中有關(guān)中點(diǎn)的定理主要有三條：（1）等腰三角形的三線合一；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）三角形的中位線定理。2.涉及三角形中有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題，常規(guī)的思路有：（1）先看和中點(diǎn)相關(guān)的三角形是不是特殊三角形？一見(jiàn)等

5、腰三角形的底邊的中點(diǎn)，可以考慮利用定理等腰三角形的三線合一解決問(wèn)題；一見(jiàn)直角三角形的斜邊上的中點(diǎn)，可以考慮利用定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解決問(wèn)題；（2）如果和中點(diǎn)相關(guān)的三角形不是特殊三角形，那么通常的手法有：將中線延長(zhǎng)一倍“中線倍長(zhǎng)”；取另一邊的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理解決問(wèn)題，另一邊的中點(diǎn)的選取有兩個(gè)原則；有利于已知條件的集中，有利于待證對(duì)象的集中。3.在不能用平移等方法直接將線段集中打一個(gè)三角形中時(shí)，可以考慮將線段“折半”后集中，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，都有“折半”的功能。練習(xí)：1.如圖，在ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGD是等腰三角形。2.如圖，在ABC中，AD是三角形BC邊上的中線，求證：.3.如圖，在ABC中，AD是三角形的高，B=2C,E為BC的中點(diǎn)，求證：DE=AB.4.如圖，以ABC的ABAC為斜邊向形外作RtABE和RtACF，且使ABE=ACF,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：