中考攻略專題4：韋達(dá)定理應(yīng)用探討

1、專題4：韋達(dá)定理應(yīng)用探討韋達(dá)定理說的是：設(shè)一元二次方程有二實數(shù)根，則。這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系。其逆命題：如果滿足，那么是一元二次方程的兩個根也成立。韋達(dá)定理的應(yīng)用有一個重要前提，就是一元二次方程必須有解，即根的判別式。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考中有著廣泛的應(yīng)用。錦元數(shù)學(xué)工作室將其應(yīng)用歸納為：不解方程求方程的兩根和與兩根積； 求對稱代數(shù)式的值； 構(gòu)造一元二次方程； 求方程中待定系數(shù)的值； 在平面幾何中的應(yīng)用；在二次函數(shù)中的應(yīng)用。下面通過近年全國各地中考的實例探討其應(yīng)用。一、不解方程求方程的兩根和與兩根積：已知一

2、元二次方程，可以直接根據(jù)韋達(dá)定理求得兩根和與兩根積。典型例題：例1：若x1、x2是一元二次方程x23x20的兩根，則x1x2的值是【 】A2 B2 C3 D1例2：若x1、x2是一元二次方程x24x30的兩個根，則x1x2的值是【 】A.4. B.3. C.4. D.3.例3：已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個實數(shù)根為1，那么它的另一個實數(shù)根是【 】A2 B0 C1 D2練習(xí)題：1. 已知一元二次方程的兩根為x1、x2，則x1+x2= 。2. 已知一元二次方程的兩個根為x1、x2，則x1+x2的值是【 】A12 B12 C7 D73. 已知一元二次方程x2+mx2=0的兩個實數(shù)根分

3、別為x1、x2，則x1x2= 4.若關(guān)于的方程的一個根為，則另一個根為【 】ABC1D3 5.若x1，x2是一元二次方程2x27x+4=0的兩根，則x1+x2與x1x2的值分別是【 】A、，2B、，2 C、，2 D、，2二、求對稱代數(shù)式的值：應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。所謂對稱式，即若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變（），則稱這個代數(shù)式為完全對稱式，如等。擴(kuò)展后，可以視中與對稱。典型例題：例1：已知一元二次方程：x23x1=0的兩個根分別是x1、x2，則x12x2+x1x22的值為【 】A3B3C6D6例2：已知m、n是方程x22x10的兩根，則代數(shù)

4、式的值為【 】A9 B3 C3 D5例3：設(shè)m、n是一元二次方程x23x70的兩個根，則m24mn 例4：設(shè)x1、x2是一元二次方程x25x3=0的兩個實根，且，則a= .練習(xí)題：1. 已知m和n是方程2x25x3=0的兩根，則= 2. 已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的兩實數(shù)根，那么的值為 .3. 設(shè)a，b是方程x2x2013=0的兩個不相等的實數(shù)根，則a22ab的值為 4. 若方程的兩實根為、，求的值5.若、是一元二次方程的兩根，則的值為【 】A、2010 B、2011 C、 D、6. 若x1，x2是方程x 2+ x1=0的兩個根，則x 12+ x 22= 三、構(gòu)造一元二次方程：

5、如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個字母為根的一元二次方程。擴(kuò)展后字母可為代數(shù)式。典型例題：例1：設(shè)，且1ab20，則= .例2：如果方程的兩個根是，那么請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1） 已知關(guān)于的方程求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2） 已知滿足,求；（3） 已知滿足求正數(shù)的最小值。例3：某市政府為落實“保障性住房政策，2011年已投入3億元資金用于保障性住房建設(shè)，并規(guī)劃投入資金逐年增加，到2013年底，將累計投入10.5億元資金用于保障性住房建設(shè)（1）求到2013年底，這兩年中投入資金的平均年增長率（只需列出方程）；（2）設(shè)

6、（1）中方程的兩根分別為x1，x2，且mx124m2x1x2+mx22的值為12，求m的值練習(xí)題：1. 請你寫出一個二次項系數(shù)為1，兩實數(shù)根之和為3的一元二次方程： .2. 請寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且其兩根互為倒數(shù) .四、求方程中待定系數(shù)的值：已知方程兩根滿足某種關(guān)系，則可以利用韋達(dá)定理確定方程中待定字母系數(shù)的值。典型例題：例1：如果關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個不相等實數(shù)根x1，x2滿足x1x22x12x25=0，那么a的值為【 】A3 B3 C13 D13例2：已知關(guān)于x的一元二次方程x2bx+c=0的兩根分別為x1=1，x2=2，則b與c的值分別為【

7、】Ab=1，c=2Bb=1，c=2Cb=1，c=2Db=1，c=2例3：已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的兩根，且x1+x2=3，x1x2=1，則a、b的值分別是【 】Aa=3，b=1 Ba=3，b=1 C，b=1 D，b=1例4：若關(guān)于x的方程的兩根互為倒數(shù)，則a= .例5：已知關(guān)于x的一元二次方程x2(m3)xm10(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1x2|2，求m的值和此時方程的兩根例6：已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根.（1）是否存在實數(shù)a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由；（2）求使為負(fù)整

8、數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值.例7：關(guān)于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實數(shù)解是x1和x2（1）求k的取值范圍；（2）如果x1+x2x1x21且k為整數(shù)，求k的值練習(xí)題：1. 孔明同學(xué)在解一元二次方程時，正確解得，則的值為 2. 已知關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根x1，x2，（1）求的取值范圍；（2）若，求的值。3. 關(guān)于x的一元二次方程。（1）證明：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x1=x22，求m的值及方程的根。4. 題甲：已知關(guān)于x的方程的兩根為x1、x2，且滿足.求的值。五、在平面幾何中的應(yīng)用：在平面幾何中，兩圓外切，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和；勾股定理

9、兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的應(yīng)用，可以與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系相結(jié)合命題。典型例題：例1： 已知，如圖，RtABC中，ACB=900，AB=5，兩直角邊AC、BC的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根。（1）求m的值及AC、BC的長（BCAC）（2）在線段BC的延長線上是否存在點D，使得以D、A、C為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出CD的長；若不存在，請說明理由。練習(xí)題：1. 已知兩圓半徑r1、r2分別是方程x27x+10=0的兩根，兩圓的圓心距為7，則兩圓的位置關(guān)系是【 】 A相交 B內(nèi)切 C外切 D外離2. 已知：ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k

10、2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5試問：k取何值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？七、在二次函數(shù)中的應(yīng)用：一元二次方程ax2bxc(a0)可以看作二次函數(shù)yax2bxc(a0)當(dāng)y0時的情形，因此若干二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與軸交點的綜合問題都可以用韋達(dá)定理解題。典型例題：例1：（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=p，x1x2=q（2） 已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（1，1），設(shè)線段AB的長為d，當(dāng)p為何值時，d2取得最小值，并求出最小值例2：已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=（k1）x22

11、kx+k+2的圖象與x軸有交點（1）求k的取值范圍；（2）若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)，且滿足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；當(dāng)kxk+2時，請結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值例3： 已知二次函數(shù))圖象頂點的縱坐標(biāo)不大于(1)求該二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)若該二次函數(shù)圖象與軸交于A、B兩點，求線段AB長度的最小值 練習(xí)題：1. 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的一個解，另一個解= A、1 B、 C、 D、02. 已知拋物線與軸交干A、B兩點。（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)：（2）若 (O為坐標(biāo)原點)，求拋物線的解析式；（3）設(shè)拋物線與y軸交于點C，若ABC是直角三角形求ABC的面積3. 如圖所示，過點F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分別過M，N作直線l：y=1的垂線，垂足分別是 M1和N1判斷M1FN1的形狀，并證明你的結(jié)論（4）對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線 m，使m與以MN