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1、齊次線性方程組有非零解的條件,(線性方程組可解的判別法)線性方程組(1)有解的充分且必要條件是:它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.,定理 設線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩,那么當r 等于方程組所含的未知量的個數(shù)n時,方程組有唯一解;當r n 時,方程組有無窮多解.,回顧,回顧,考察齊次線性方程組,(1),必然有解,零解,齊次線性方程組有非零解的條件,(1),唯一解,無窮多解,(只有零解),(除零解以外還有其他解),非零解,齊次線性方程組,解的情況:,定理 一個齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是:它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n。,齊次線性方程組有非零解的條件,方程個數(shù)m
2、=n,,齊次線性方程組(2)含有n個未知量n個方程,由克拉默法則,方程組(2)有唯一解當且僅當系數(shù)行列式不等于0.,(2),齊次線性方程組,齊次線性方程組有非零解的條件,反之,方程組(2)有非零解(無窮多解)當且僅當系數(shù)行列式等于0.,推論1 含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是:方程組的系數(shù)行列式等于零。,齊次線性方程組有非零解的條件,(1),齊次線性方程組,當mn時,,系數(shù)矩陣的秩rm,秩rn,齊次線性方程組(1)有非零解,齊次線性方程組有非零解的條件,推論2 若在一個齊次線性方程組中,方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n,那么這個方程組一定有非零解。,齊次線性方程組有非零解的條件,推論2 若在一個齊次線性方程組中, 方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n,那 么這個方程組一定有非零解。,推論1 含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是:方程組的系數(shù)行列式等于零。,定理 一個齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是:它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n。,齊次線性方程組有非零解的條件,例 設有齊次線性方程組 (*) 問當取何值時,上述方程組(*) 有非零解。,齊次線性方程組有非零解的條件,解齊次方程組(*)的系數(shù)行列式為,當 或 時, 齊次線性方程組(*)有非零解。,齊次線性方程組有非零解的條件,未知量的個數(shù),
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