03_第二章2.2.2,2.2.3牛頓插值法.ppt

1、2.2.2 Newton插值法,2.2.3 等距節(jié)點(diǎn)插值公式,華長生制作,2,我們知道,Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為,形式上太復(fù)雜,計(jì)算量很大,并且重復(fù)計(jì)算也很多,由線性代數(shù)的知識可知,任何一個n次多項(xiàng)式都可以表示成,共n+1個多項(xiàng)式的線性組合,那么，是否可以將這n+1個多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？,華長生制作,3,顯然，多項(xiàng)式組,線性無關(guān)，,因此，可以作為插值基函數(shù),華長生制作,4,有,再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜,為此引入差商和差分的概念,華長生制作,5,一、差商(均差),定義1.,稱,依此類推,華長生制作,6,差商具有如下性質(zhì)(請同學(xué)們自證)：,顯然,華長生制作,7,(2)

2、差商具有對稱性,即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序,差商的值不變,如,用余項(xiàng)的 相同證明,華長生制作,8,差商的計(jì)算方法(表格法):,規(guī)定函數(shù)值為零階差商,差商表,Chashang.m,華長生制作,9,例1 求 f(xi)= x3在節(jié)點(diǎn) x=0, 2, 3, 5, 6上的各階差商值 解: 計(jì)算得如下表,華長生制作,10,二、Newton基本插值公式,設(shè)插值多項(xiàng)式,滿足插值條件,則待定系數(shù)為,華長生制作,11,稱,定義3.,由插值多項(xiàng)式的唯一性,Newton基本插值公式的余項(xiàng)為,為k次多項(xiàng)式,華長生制作,12,因此可得,下面推導(dǎo)余項(xiàng)的另外一種形式,華長生制作,13,因此,一般,Newton插值 估計(jì)誤差的 重

3、要公式,另外,華長生制作,14,華長生制作,15,2.2.3 等距節(jié)點(diǎn)插值公式,定義.,華長生制作,16,依此類推,可以證明,如,華長生制作,17,差分表,華長生制作,18,在等距節(jié)點(diǎn)的前提下,差商與差分有如下關(guān)系,華長生制作,19,依此類推,華長生制作,20,由差商與向前差分的關(guān)系,Newton插值基本公式為,如果假設(shè),1.Newton向前(差分)插值公式,華長生制作,21,則插值公式,化為,其余項(xiàng),化為,華長生制作,22,稱,為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）,插值余項(xiàng)為,華長生制作,23,插值余項(xiàng)為,根據(jù)向前差分和向后差分的關(guān)系,如果假設(shè),可得Newton向后插值公式,2.Ne

4、wton向后(差分)插值公式,華長生制作,24,例 4 設(shè)x0=1.0,h=0.05,給出 在 處的函數(shù)值如表2-5的第3列，試用三次等距節(jié)點(diǎn)插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。,0 1.00 1.00000 0.02470 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00059 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00054 -0.00005 3 1.15 1.07238 4 1.20 1.09544 0.02307 -0.00048 -0.00003 5 1.25 1.11803 0.02259 -0.00045 6 1.30 1.14017 0.02

5、214,表2-5,華長生制作,25,解 用Newton向前插值公式來計(jì)算f(1.01)的近似值。先構(gòu)造與均差表相似的差分表，見表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得,例 2.5 已知f(x)=sinx的數(shù)值如表2-6的第2列，分別用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。,華長生制作,26,解 作差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,則t=(x-x0)/h=0.7891,即sin0.578910.54714。誤差為,華長生制作,27,若用Newton向后插值公式，則可取x0=0