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第4.3節(jié) 齊次線性方程 組解的結(jié)構(gòu),線性代數(shù),主要內(nèi)容,一、齊次線性方程組非零解的存在性,二、齊次線性方程組解的性質(zhì),三、基礎(chǔ)解系及其求法,四、思考與練習,一、齊次線性方程組非零解的存在性,定理1.,AX=0有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩r(A)n,推論1.,AX=0只有零解的充要條件是r(A)=n,推論2.,方程個數(shù)m小于未知量個數(shù)n時,AX=0必有非零解;,當m=n時,AX=0有非零解的充要條件是|A|=0.,推論3.,當m=n時,AX=0只有零解的充要條件是|A|0.,二、齊次線性方程組解的性質(zhì),定理4.3:,證:,基礎(chǔ)解系的定義,三、基礎(chǔ)解系及其求法,即,(*)式稱為方程組的通解公式,定理4.4:,依次得,從而求得原方程組的n-r個解,所以 是齊次線性方程組解空間的一個基.,注:,解空間的基不是唯一的任意n-r(A) 個線性無 關(guān)的解都是基礎(chǔ)解系,2 若 是 的基礎(chǔ)解系，則 其通解為,例1 求下列齊次方程組的通解。,解：,初等行變換,行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為,法1：先求通解，再求基礎(chǔ)解系,即,是自由 未知量。,令,則,即,為任意常數(shù)。,法2：先求基礎(chǔ)解系，再求通解。,由,則通解為,為任意常數(shù)）,解：,初等行變換,所以只有零解。,解,對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾袠藴市?，?例3,證:,思考題:,四、思考與練習,解:,課
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