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文檔簡介
1、上一頁,下一頁,掌握定積分概念及基本性質; 理解可積的充要條件、充分條件、必要條件; 掌握積分中值定理、微積分基本定理、牛頓萊布尼茲公式; 掌握定積分的計算方法(換元法、分部積公法等)。,教學目標:,第九章 定積分,1 定積分的概念,n=10 情況,n=50 情況, S(50) = 0.6717,S(100)=0.6717,n=100 情況,。,S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717,。,分割越細,越接近面積準確值,。,將這種方法用于一般的曲邊梯形:,上一頁,下一頁,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,上一頁,下一頁,再演示一下這個過程,變力
2、作功問題可表示為,學習定積分,不僅要理解、記住定積分的定義,還要學習建立定積分概念 的基本思想,我們以后的學習中還會遇到其它類型的積分,比如勒貝格積分、 斯蒂疌斯積分等,只要理解了定積分的思想,其他類型的積分就很容易理解了。 現(xiàn)在我們再來總結一下定積分建立的的思想和方法:從定積分的實例和概念中 看到定積分的基本思想是:首先作分割然后用“直”的長方形去近似代替小曲邊 梯形,以“直” 代“曲”;然后把所有長方形加起來,近似求和,得到曲邊梯形面 積的一個近似值;當分割無限加細時,就得到曲邊梯形的準確值,即,,這時又從“直”回到了“曲”?!胺指睢⒔魄蠛?、取極限”是定積分的核心思想。,四小結:,返回,
3、觀察下列演示過程,注意當分割加細時, 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程,注意當分割加細時, 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程,注意當分割加細時, 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程,注意當分割加細時, 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程,注意當分割加細時, 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程,注意當分割加細時, 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,應該說定積分的思想最早產生于中國,三國時候 (263 年),我國科學家劉徽就提出了“割圓術”方法, 他把圓的面積用正多邊形面積來近似代替,算出了 (稱徽 率)。劉徽所說的“割只彌細
4、,所失彌 小,割之又割,以之不可割,則與圓合體而無所失矣”,返回,劉 徽 祖沖之,,這正是定積分的核心思想。南北朝時我國古代數(shù)學家祖沖之(429-500)在綴術 一書 中又求得 在 與 之間 ”,比歐洲最早得出這 個近似值的德人鄂圖早1100余年,英國數(shù)學家和物理學家出生在一個農民家庭,出生前父親就去世了, 三歲母親改嫁,由外祖母撫養(yǎng)。1661年入劍橋大學,1665年獲學士學位, 1668年獲碩士學位。由于他出色的成就,1669年巴魯(Barrow)把數(shù)學 教授的職位讓給年僅26歲的牛頓。1703 年被選為英國皇家學會會長。牛 頓一生成就輝煌,堪稱科學巨匠。最突出的有四項重大貢獻:創(chuàng)立微積 分
5、,為近代數(shù)學奠定了基礎,推動了整個科學技術的發(fā)展。他發(fā)現(xiàn)了力 學三大定律,為經典力學奠定了基礎;他發(fā)現(xiàn)了萬有引力為近代天文學 奠定了基礎;他對光譜分析的實驗,為近代光學奠定了基礎 。他的巨著自然哲學的數(shù)學原理影響深遠,他被公認為歷史上偉大的科學家???惜他晚年研究神學,走了彎路。,牛 頓(I.Newton 1642.12.251727.3.3),黎 曼(B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20) 德國數(shù)學家,出生在德國一個鄉(xiāng)村牧師家庭,在哥廷根大學 和柏林大學學習,1851年獲博士學位1859年任教授,1886年 因肺結核去世。他四十年的生涯中,在數(shù)學許多分支,都作 出了劃時
6、代貢獻。他在1851年的博士論文“復變函數(shù)論的基礎” 給出了保角影射的基本定理,是幾何函數(shù)論的基礎,1854年 定義了黎曼積分,又提出了關于三角級數(shù)收斂的黎曼條件。同年在他的另一篇論文中引入n維流形和黎曼空間的概念,并定義了黎曼空間的曲率,開辟了幾何學的新領域。1857年他在關于阿貝爾函數(shù)的論文中,引入了黎曼面概念,奠定了復變函數(shù)的幾何理論基礎,1858年他關于素數(shù)分布的論文,用黎曼函數(shù)論述了素數(shù)的分布,開辟了解吸函數(shù)論。在此論文中還提出了柯西函數(shù)零點分布的黎曼猜想,至盡還未解決。他在非歐幾何、偏微分方程、理論物理、橢圓函數(shù)論等方面都有杰出貢獻,不愧是一位具有開拓精神的偉大數(shù)學家。,小知識:中
7、國古代數(shù)學對微積分創(chuàng)立的貢獻 微積分的產生一般分為三個階段:極限概念;求積的無限小方法;積分與微分的互逆關系 。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作,歐洲的大批數(shù)學家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對于這方面的工作,古代中國毫不遜色于西方,微積分思想在古代中國早有萌芽,甚至是古希臘數(shù)學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想;公元前4世紀墨經中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內)、無窮大(最大無外)的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術求圓面積和方錐體積,求得 圓周率約等于3 .1416,他的極限思想和無窮小方法,是世界古代極限思想的深
8、刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘,但它的概念和法則卻是16世紀下半葉,開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術”、“會圓術”和“棋局都數(shù)術”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。特別是13世紀40年代到14世紀初,在主要領域都達到了中國古代數(shù)學的高峰,出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術”、“大衍求一術”、“大衍總數(shù)術”(一次同余式組解法)、“垛積術”(高階等差級數(shù)求和)、“招差術”(高次差內差法)、“天元術”(數(shù)字高次方程一般解法)、“四元術”(四元高次方程組解法)、勾股數(shù)學、弧矢割圓術、組合數(shù)學、計算技術改革和珠算等都是在世界數(shù)學史上有重要地位的杰出成果,中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的出
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