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1、7.2 格論,集合代數(shù):((S),),對(duì)A,B,C(S),運(yùn)算,滿足: 等冪律 AA = A, AA = A, 交換律 AB = BA, AB = BA, 結(jié)合律 A(BC) = (AB)C, A(BC) = (AB)C, 分配律 A(BC) =(AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC), 吸收律 A(AB)=A, A(AB)=A, De Morgan定律:,命題代數(shù)(最后一篇)(S,),對(duì)A,B,CS,運(yùn)算,滿足: 等冪律 AA = A, AA = A, , 交換律 AB = BA,AB = BA 結(jié)合律 A(BC)=(AB)C, A(BC) = (AB)C 分配律 A(BC)=(AB
2、)(AC), A(BC) = (AB) (AC) 吸收律 A(AB)=A,A(AB)=A, 若引進(jìn)否定的概念,有De Morgan定律: (AB )= AB, (AB )= AB,7.2.1 格,定義(代數(shù)格):,定義: 設(shè)L是一個(gè)非空集合,+是L上兩個(gè) 二元代數(shù)運(yùn)算,如果這兩種運(yùn)算對(duì)于L中元 素滿足: (1)交換律:ab=ba,a+b=b+a。 (2)結(jié)合律:a(bc)=(ab)c, a+(b+c)=(a+b)+c。 (3)吸收律:a(a+b)=a, a +(ab)=a。 則稱此代數(shù)系統(tǒng)(L,+)為一個(gè)代數(shù)格。,定義(偏序格) 定義: 給出一個(gè)偏序集(L,), 如果對(duì)于任意a,bL,L的子集
3、a,b 在L中都有一個(gè)下確界(記為infa,b) 和一個(gè)上確界(記為supa,b),則 稱(L,)為一個(gè)格。,例. S是任意一個(gè)集合,(S)是S的冪集合, 則,偏序集(S),)是一個(gè)格,記 (S),)。 因?yàn)閷?duì)A,B(S), supA,B=AB(S),infA,B=AB(S) 例. 設(shè)Z+是所有正整數(shù)集合,D是Z+中的“整除關(guān)系”,對(duì)任意a,bZ+,aDb當(dāng)且僅當(dāng)a整除b,于是,(Z+,D)是一個(gè)格。 supa,b=lcm(a,b)(最小公倍數(shù))Z+, infa,b= gcd(a,b)(最大公因數(shù))Z+ 。 注:不是所有的偏序集都是格。,定義(子格),定義: 設(shè)(L,)是格,S L, 如果(S
4、,)是格, 則稱(S,)是格(L,)的子格。,格的性質(zhì):,1、格滿足冪等律: aa=a,a+a=a;Th7.3 2、格的子代數(shù)也是格;Th7.4 3、格滿足對(duì)偶律; 4、代數(shù)格必為偏序格。,注: 任取L中元素a,由,+滿足吸收律知, a(a+a)=a, a +(aa)=a。 故 aa=a(a+(aa), a+a=a+(a(a +a)。 又由,+ 滿足吸收律知,上面兩式的等式右 端都等于a。因此, aa = a, a + a = a。 即, 運(yùn)算亦滿足等冪律。,定義(對(duì)偶式),定義:在格(L,+ )的任一公式中,出現(xiàn),+處分別用+,替換后所得到的公式稱為該公式的對(duì)偶式。 如: (1) a+b+c 與 abc (2)
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