同濟(jì)版 高數(shù)課件 1-1

1、“高等數(shù)學(xué)”課程所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容及內(nèi)容間的相互關(guān)系,第一章 函數(shù)與極限,一、集合,集合的概念,對于集合，我們并不陌生，通常把具有某種特定性質(zhì)的事物的全體稱為一個集合.,而把組成這個集合的每一個事物個體稱為該集合的元素,以下都可以作為集合的例子：,全體實數(shù),全體有理數(shù),全體 正整數(shù),我們經(jīng)常用到得都是數(shù)集所有元素都是數(shù)的集合.,以下的一些數(shù)集是我們經(jīng)常用到的：,全體非負(fù)整數(shù)的集合：,全體正整數(shù)的集合：,全體整數(shù)的集合：,全體有理數(shù)的集合：,數(shù)集間的關(guān)系:,2.區(qū)間:,是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,區(qū)間長度的定義:,兩端點間的距離(線段的長度)

2、稱為區(qū)間的長度.,半開半閉區(qū)間：,無窮區(qū)間：,用圖表示更清楚,3 鄰域：,去心鄰域：,試著在圖中表示出來.,二、函數(shù)的概念,定義1 設(shè)D是一個非空實數(shù)集，若存在對應(yīng)關(guān)系f，對 D中任意實數(shù) x，依照對應(yīng)關(guān)系f ，都有唯一的實數(shù) y與之對應(yīng)，則稱 f 是定義在 D上的函數(shù)，記作,與實數(shù) x0 對應(yīng)的實數(shù) y0稱為函數(shù)在點x0處的值，簡稱函數(shù)值，記作 或 .,數(shù)集D稱為函數(shù) f 的定義域，函數(shù)值的集合 稱為函數(shù) f 的值域,x稱作自變量, y稱作因變量,討論：定義中有哪些關(guān)鍵詞？決定一個函數(shù)有哪些主要因素？,答： 1. 定義域、對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的兩大要素。,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對

3、應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù),函數(shù)定義域的確定： （1）由算式表示的函數(shù)，定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)組成的集合. （2）有實際意義的函數(shù)，根據(jù)實際意義確定.,例1 Gauss函數(shù)，不超過自變量的最大整數(shù),幾個特殊的函數(shù)舉例,階梯曲線,答,例2 符號函數(shù),例3 分段函數(shù),例4 Dirichlet函數(shù),自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達(dá)式可能不同，這樣的函數(shù),稱為分段函數(shù)。,曲線的極坐標(biāo)方程,“三毛在你東偏北60度”你是否能夠準(zhǔn)確地確定對方的位置？,從該例可以看出，我們不僅可以利用平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)確定一個點還可以利用距離和角度這樣一組數(shù)來確定

4、一個點,從平面中的一個點 出發(fā)作一條射線 ，,再選定一個長度單位和角的正方向（通常取逆時針方向），,點 稱為極點射線 稱為極軸.,再知道“他距離你50公里”，能確定他的位置了嗎？,這就是極坐標(biāo)系，,點P 到極點的距離r，稱為點P的極徑；,因此在極坐標(biāo)系下，平面上任一點P（除極點外）都可以與一個二元有序數(shù)組 建立一一對應(yīng)關(guān)系稱二元有序數(shù)組 為點P的極坐標(biāo).,給定平面中的一個點（非原點）都可以確定一對數(shù)與它對應(yīng)：,例如：圖中的M,也可以記作 （當(dāng) 時）.,可以記為 （當(dāng) 時）；,注：極點 是唯一極坐標(biāo)不確定的點，其極徑 ，極角可以任意取值,討論： 在極坐標(biāo)系下分別是什么圖形？,答：,：射線,：半徑

5、為a的圓,將直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x 軸正半軸重合，,你能給出極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系嗎？,那么,則極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為：,利用極坐標(biāo)可以建立平面中的圖形與方程間的一一對應(yīng),例： 方程,表示以極點 為中心、半徑為2的圓；,一般極坐標(biāo)系下的曲線方程可以表示為 或 ，由后者可以看出 是 的函數(shù).,答： 將 帶入到極坐標(biāo)方程 中，得,方程 用極坐標(biāo)表示就是,將 帶入到直角坐標(biāo)方程 中，得,你能用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系之間的關(guān)系驗證這兩個結(jié)論嗎？,極坐標(biāo)常用函數(shù)舉例：,這就得到一個D 到D的函數(shù)，稱其為函數(shù) f 的反函數(shù)，,函數(shù) y=3x+1，對任意的 ，都有y 的唯一

6、取值與其對應(yīng)；,稱為函數(shù)y=3x+1, 的反函數(shù).,三、反函數(shù),反過來，由這個對應(yīng)關(guān)系，對每個 都有唯一的 與其對應(yīng)。,反函數(shù)：設(shè)函數(shù) 的值域為D，如果對任意的 都有唯一的 滿足 f(x)=y，,通常記作,一般的，有反函數(shù)的概念：,例如 由于 是 到 的一一對應(yīng)，因此，它 存在 的反函數(shù)，記作,同一條曲線從兩個不同的角度描述了變量x和y的同樣的對應(yīng)關(guān)系.,因此，函數(shù) 的圖形與它的反函數(shù) 的圖形是同一個,根據(jù)習(xí)慣，反函數(shù)通常也用x表示自變量，用y表示相應(yīng)的函數(shù)值，,于是通常將函數(shù) 的反函數(shù)記為,因此，函數(shù) 的圖形與它的反函數(shù) 的圖形關(guān)于直線 對稱.,而將 變成了 符號的改變造成了 上的點(x,

7、y)變成了 上的點(y, x) ，,我們知道函數(shù) 與 的圖形是同一個.,我們知道鐘擺的振動周期,四、復(fù)合函數(shù),下面研究溫度的變化對鐘表快慢的影響,建立鐘擺的周期T 和溫度t 之間的函數(shù)關(guān)系：,稱為 的復(fù)合函數(shù)。,復(fù)合函數(shù)：設(shè)D 為一非空實數(shù)集合，稱由函數(shù) 和 所確定的 的函數(shù)h 為函數(shù) 的復(fù)合函數(shù)，記作 即,一般的，有復(fù)合函數(shù)的概念：,例如：,復(fù)合為函數(shù),復(fù)合為函數(shù),復(fù)合為函數(shù),注意:,2.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;,1.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.,思考：在復(fù)合函數(shù)的定義中，若記 y=f(u) 的定義域為D1，必 有 如果 非空可以嗎？如果可以，復(fù)合 后的函數(shù)

8、的定義域?qū)⑹窃鯓拥募希?因此可以限制 x，如,思考：在復(fù)合函數(shù)的定義中，若記 y=f(u) 的定義域為D1，必 有 如果 非空可以嗎？如果可以，復(fù)合 后的函數(shù)的定義域?qū)⑹窃鯓拥募希?例如：,可以看到，由 得,考慮函數(shù),但是，對函數(shù) 要求,得到復(fù)合函數(shù),五、函數(shù)的四則運算,函數(shù) 的定義域分別為 定義這兩個函數(shù)的四則運算為,和(差),積,商,六、基本初等函數(shù)與初等函數(shù),在中學(xué)里我們學(xué)習(xí)了下面這些函數(shù). 1常值函數(shù) 2 冪函數(shù) 3 指數(shù)函數(shù) 4 對數(shù)函數(shù) 5 三角函數(shù) 6 反三角函數(shù),基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的復(fù)合、有限次的四則運算得到的且能用一個算式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).,有限次的復(fù)合 有限次

9、的四則運算,雙曲函數(shù),七、幾種具有特殊性質(zhì)的函數(shù),1.有界函數(shù),從字面意思上理解什么是有界?什么是無界?,我們能找到數(shù)K1, K2得使函數(shù)值在 K2 和K1之間.,對于給定的正數(shù)K1 K2 K3，總有函數(shù)值能夠 “超過”它.,有界與無界：如果存在正數(shù)M，使得 則稱函數(shù) 在X上有界，而M稱為 在X上的一個界；否則稱函數(shù) 在X上為無界函數(shù)，也簡稱 在X上無界,一個在某數(shù)集上有界的函數(shù)，它的界唯一嗎？,顯然函數(shù)的界不唯一，若M為函數(shù)的一個界，則大于M的數(shù)（如M1）都可以作為它的界.,從函數(shù)有界的定義來看，所謂函數(shù)有界一定是在整個定義域有界嗎？,上界：函數(shù) 的定義域為數(shù)集D，數(shù)集 ，如果存在數(shù) ，使得

10、 則稱函數(shù) 在X上有上界，而 稱為函數(shù) 在X上的一個上界.,下界：如果存在數(shù) ，使得 則稱函數(shù) 在X上有下界，而 稱為函數(shù) 在X上的一個下界.,您能否根據(jù)上面上界的定義，給出下界的定義？,例如：,既有上界，又有下界.,在 上只有下界，沒有上界.,討論：1. 如果正數(shù)M是有界函數(shù) f(x)的一個界那么它有上界、下界嗎？如果有，請指出它的一個上界、一個下界 2. 若在X上f(x)有上界K1 和下界K2，它有界嗎？如果有界請找出它的一個界,答：1. M為 f(x)的一個上界，-M為它的一個下界 這是因為,2. 取M=max|K1|, |K2| 則有下式成立,再給出最大值與最小值的概念,設(shè)函數(shù) 在區(qū)間

11、上I 有定義，若存在點 使得對于任意的 ，都有 成立，則稱 與 分別是函數(shù) 在區(qū)間I上的最大值與最小值，而稱 分別為該函數(shù)的最大值點與最小值點,最大值,最小值,最大值點,最小值點,討論：一個函數(shù)在某指定的范圍內(nèi)一定有最大值、最小值嗎？,在定義域內(nèi)既沒有最大值也沒有最小值；,在定義域內(nèi)只有最小值零而無最大值；,y=x在區(qū)間(-1,1)內(nèi)既無最大值也無最小值,可見，并不是每一個函數(shù)在指定的范圍內(nèi)都有最大值、最小值,顯然，如果函數(shù)在區(qū)間上有最大值與最小值，那么在區(qū)間上有界但是反過來未必成立,請分別舉出這樣的例子.,2.單調(diào)函數(shù),設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域為D，區(qū)間 ，若對于任意的兩點 ，當(dāng) 時，恒有

12、 則稱 f(x) 為區(qū)間I上的單調(diào)遞增（遞減）函數(shù),單調(diào)遞增與單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).,定義中有哪些關(guān)鍵詞？,單調(diào)遞增函數(shù),單調(diào)遞減函數(shù),事實上，有些函數(shù)在整個定義域不一定是單調(diào)的，但,例如：,在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增；,在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減.,若 f(x) 在其定義域的一個子區(qū)間I上單調(diào)，稱I為 f(x) 的,在定義域R內(nèi)不單調(diào)；,值得注意的是， 定義中并沒有要求討論函數(shù)在整個定義域內(nèi)的單調(diào)性,它卻在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間上單調(diào),單調(diào)區(qū)間,3.奇偶函數(shù),函數(shù) f(x) 的圖像關(guān)于y 軸對稱，我們稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)； 函數(shù) f(x) 的圖像關(guān)于原點對稱，我們稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,奇函數(shù),偶函數(shù),若函數(shù) y=f(x) 的定義域為關(guān)于原點對稱的區(qū)間D，并且對于任意的 ，恒有 成立，則稱f(x)為D上的偶函數(shù)；如