力學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo).ppt

1、一位游客在某處發(fā)現(xiàn)有座獨(dú)木橋，上面寫著：禁止獨(dú)自一人過橋。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)鼐用竦拇_都是成雙結(jié)隊(duì)并且好像以某種相互配合的方式過橋。他覺得很奇怪，為什么2個(gè)人可以過橋而1個(gè)人卻不能。等周圍沒有其它人時(shí)他想獨(dú)自試試，結(jié)果沒走到半程，就把獨(dú)木橋壓斷了而掉入水中。根據(jù)事后他的調(diào)查，小河寬4米，獨(dú)木橋長(zhǎng)6米，如圖1所示橫跨在小河上。獨(dú)木橋采用當(dāng)?shù)氐妮p質(zhì)木材做成，等截面，允許最大彎矩為600Nm。為方便假設(shè)每人的體重均為800N，而獨(dú)木橋的重量不計(jì)。請(qǐng)你分析一下： （1）本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？ （2）如果一個(gè)人想過橋，最多能走多遠(yuǎn)？ （3）當(dāng)?shù)鼐用襁^橋時(shí)兩人需要進(jìn)行配合，你認(rèn)為兩人應(yīng)如何配合才能安全過橋

2、？,圖1 奇怪的獨(dú)木橋,一、奇怪的獨(dú)木橋（25分）,（2）如果一個(gè)人想過橋，最多能走多遠(yuǎn)？,例題 一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載 P 的作用如圖所示.試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載 P 的位置.,解 :先設(shè)P 在距左支座 A 為 x 的任意位置.求此情況下梁的最大彎矩為極大.,支反力為,當(dāng)荷載 P 在距左支座為 x 的任意位置 C 時(shí)，梁的彎矩為,此結(jié)果說明，當(dāng)移動(dòng)荷載 F 在簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大.,得最大彎矩值,令,本題目梁有自己的允許最大彎矩。,（3）當(dāng)?shù)鼐用襁^橋時(shí)兩人需要進(jìn)行配合，你認(rèn)為兩人應(yīng)如何配合才能安全過橋？,用疊加法求彎矩，將梁上荷載分開,用一般法求彎矩，,分析：設(shè)繩子右端拴住B

3、樁頂端并消除去P力后繩中張力變?yōu)镻1，如果繩子不可伸長(zhǎng)，在P1作用下，兩根懸臂梁頂端的撓度之和應(yīng)與在P力作用下A端得撓度相等。故變形協(xié)調(diào) 條件為：,由得,當(dāng)拴住B樁頂端并消除去P力后，省中張力變?yōu)镻1，此時(shí)有，,由（1）、（2）式得,對(duì)于拉伸剛度為EcAc的彈性繩，課設(shè)該繩原長(zhǎng)為L(zhǎng)0，（ L0 稍 小于L）,用P拉繩的右端至B樁頂端時(shí)，有,根據(jù)（3）式，并考慮L0L,得,二、模特兒與新型舞臺(tái)（35分）,有位模特兒在一種新型舞臺(tái)上練習(xí)走臺(tái)步。該舞臺(tái)類似長(zhǎng)方形桌子，長(zhǎng)為2a，寬為a，有6條等長(zhǎng)的桌腿（圖2）。每條桌腿都與水平地面有接觸開關(guān)，如果接觸處有壓力就會(huì)使對(duì)應(yīng)的一盞燈亮起來。該模特兒發(fā)現(xiàn)，站

4、到舞臺(tái)不同的位置會(huì)有不同數(shù)目的燈亮起來，如圖2，她站在舞臺(tái)右上角附近時(shí)，左下角的燈就不亮。 如果把模特兒的重量認(rèn)為是集中載荷，把舞臺(tái)認(rèn)為是剛體且不計(jì)質(zhì)量，則 （1）本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？ （2）如果模特兒站在舞臺(tái)的正中央，會(huì)有幾盞燈亮起來？ （3）模特兒在不同區(qū)域時(shí)會(huì)有不同數(shù)目的燈亮起來，請(qǐng)?jiān)陂L(zhǎng)方形舞臺(tái)上確定各區(qū)域的邊界并畫出示意圖，然后在該區(qū)域內(nèi)寫上亮燈的數(shù)目（提示，亮燈的數(shù)目有可能為6、5、4、3、2、1）。,圖2 模特兒的新舞臺(tái),（1）本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？,關(guān)鍵詞：受力平衡、變形協(xié)調(diào)條件,（2）如果模特兒站在舞臺(tái)的正中央，會(huì)有幾盞燈亮起來？,1,2,3,4,5,6,

5、根據(jù)結(jié)構(gòu)對(duì)稱和載荷對(duì)稱,設(shè)6條腿受的壓力分別為Ni,方法1,平衡方程為：,方法2,變形幾何方程,補(bǔ)充方程,變形幾何方程還可以寫成,例題：一剛性梁，由n根等間距桿吊著，各桿的長(zhǎng)度及拉伸壓縮剛度EA均相等，梁上作用k各鉛直向下的集中力，各力大小及間距課任意確定。不計(jì)剛性梁的重量，試求各桿內(nèi)力。,解：將力向1和n桿間的梁中點(diǎn)C簡(jiǎn)化，得到力P和力偶M,力P單獨(dú)作用時(shí)，設(shè) n各桿內(nèi)力為 ，拉力為正，壓力為負(fù)。,力偶M單獨(dú)作用時(shí)，設(shè) n各桿內(nèi)力為,顯然這些桿的內(nèi)力關(guān)于C是對(duì)稱的。,C,M,力偶M單獨(dú)作用時(shí)，設(shè) n各桿內(nèi)力為,顯然這些桿的內(nèi)力關(guān)于C是對(duì)稱的。,根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件。,二、力法正則方程 (Gene

6、ralized equations in the force method),上例中以多余力為未知量的變形協(xié)調(diào)方程可改寫成下式,X1 多余未知量；,變形協(xié)調(diào)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,即所謂的力法正則方程.,d11 在基本靜定系上, X1取單位值時(shí)引起的在X1作用點(diǎn)X1 方向的位移;,D1F 在基本靜定系上,由原載荷引起的在X1作用點(diǎn)沿X1方向的位移;,這是三次超靜定問題,對(duì)于有多個(gè)多余約束反力的靜不定系統(tǒng)的正則方程如下：,在靜定基上,由 F,X1,X2,X3單獨(dú)作用在點(diǎn)引起的水平位移分別記作 1F, 1X1, 1X2, 1X3,1表示B點(diǎn)的水平位移方向,B點(diǎn)的水平位移等于零,三次超靜定系統(tǒng)的正則方程,正

7、則方程的推廣:,由位移互等定理知:,一、對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱變形與反對(duì)稱變形 （Symmetrical and antisymmetrical deformation in symmetrical structure）,結(jié)構(gòu)幾何尺寸,形狀,構(gòu)件材料及約束條件均對(duì)稱于某一軸, 則稱此結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu).,14-3 對(duì)稱及反對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用( Application about symmetrical and antisymmetrical properties ),當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)受力也對(duì)稱于結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸,則此結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生對(duì)稱變形;,若外力反對(duì)稱于結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸,則結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生反對(duì)稱變形.,二、結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用（Appli

8、cation of symmetrical structure）,對(duì)稱結(jié)構(gòu)（symmetrical structure）:若將結(jié)構(gòu)繞對(duì)稱軸對(duì)折后,結(jié)構(gòu)在對(duì)稱軸兩邊的部分將完全重合.,對(duì)稱載荷（symmetrical load）:繞對(duì)稱軸對(duì)折后,結(jié)構(gòu)在對(duì)稱軸兩邊的載荷的作用點(diǎn)和作用方向?qū)⒅睾?而且每對(duì)力數(shù)值相等.,反對(duì)稱載荷（Antisymmetrical load）:繞對(duì)稱軸對(duì)折后，結(jié)構(gòu)在對(duì)稱軸兩邊的載荷的數(shù)值相等,作用點(diǎn)重合而作用方向相反.,例如：,例題8 試求圖示剛架的全部約束反力,并作彎矩圖,剛架EI為常數(shù).,解:圖示剛架有三個(gè)多余未知力. 但由于結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的,而載荷反對(duì)稱,故對(duì)稱軸橫截

9、面上軸力,彎矩為零,只有一個(gè)多余未知力（剪力）,只需列出一個(gè)正則方程求解.,用莫爾定理求D1F和d11.,B,則,由平衡方程求得:,代入正則方程,例題10 求圖a 所示鋼架的反力.,解:鋼架有4個(gè)反力,是一次超靜定結(jié)構(gòu).,基本靜定系如圖b.,結(jié)構(gòu)上的載荷是反對(duì)稱的,C截面只有剪力不為零.,鋼架的左半部分簡(jiǎn)化成圖（c）所示情況,由平衡方程得到:,q,A,B,C,q,a,a,(a),(1)兩個(gè)人同步旋轉(zhuǎn)，單杠對(duì)稱受力,對(duì)稱截面C上剪力為0,取單杠一般研究。外載荷作用下彎矩方程,(a),(b),B,單位力作用下彎矩方程,1,A,C,x1,x2,B,1,A,C,x1,x2,B,單位荷載法計(jì)算C處水平位

10、移和轉(zhuǎn)角,1,A,C,x1,x2,B,1,A,C,x1,x2,B,根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件,聯(lián)立求解,彎矩圖。最大彎矩308.1Nm,彎矩圖。最大彎矩308.1Nm,所以安全,(2)兩個(gè)人相差180度旋轉(zhuǎn)，單杠反對(duì)稱受力,對(duì)稱截面C上剪力為不為0，彎矩和軸力都為0,取單杠一般研究。外載荷作用下彎矩方程,單位荷載法計(jì)算C處水平位移和轉(zhuǎn)角,1,A,C,x1,x2,B,單位荷載法計(jì)算C處垂直位移,根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件,M,-30,A,285,彎矩圖。最大彎矩285Nm幸存者,所以安全,（3）增加橫桿后，兩人相差180度旋轉(zhuǎn)時(shí)，單杠反對(duì)稱受力，在對(duì)稱面上只存在反對(duì)稱內(nèi)力，不存在對(duì)稱內(nèi)力，故橫桿軸力為0，對(duì)結(jié)構(gòu)受力

11、無(wú)影響。兩人同步旋轉(zhuǎn)，單杠受對(duì)稱內(nèi)力，在對(duì)稱面上存在對(duì)稱內(nèi)力，故橫桿軸力不為0，對(duì)結(jié)構(gòu)受力有影響。,圖示勻質(zhì)木箱重G=5kN，它與地面間的靜摩擦因數(shù) fs =0.4。圖中h =2a =2m，=30。 （1）問當(dāng)D處的拉力F=1kN時(shí)，木箱是否平衡？ （2）求能保持木箱平衡的最大拉力。,h,a,A,D, 例題,解:,因?yàn)?FfFmax ，所以木箱不滑動(dòng)。,又因?yàn)閐 0 ，所以木箱不會(huì)翻倒。,解方程得,1. 取木箱為研究對(duì)象，受力分析如圖。,欲保持木箱平衡，必須,（1）不發(fā)生滑動(dòng)，即FfFmax= fsFN 。,（2）不繞點(diǎn)A翻倒，即d 0 。,木箱與地面之間的最大摩擦力為,列平衡方程,2. 求平

12、衡時(shí)最大拉力，即求滑動(dòng)臨界與翻倒臨界中的最小力F。,列平衡方程,解得,木箱發(fā)生滑動(dòng)的條件為 Ff=Fmax= fsFN,木箱繞 A 點(diǎn)翻倒的條件為d= 0，則,F = F翻=1 443 N,由于F翻F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力為,解：（1）分析杯子滑動(dòng)情況（共12分）,設(shè)杯子不動(dòng)，小球在杯子未運(yùn)動(dòng)前不脫離杯子。取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，求小球運(yùn)動(dòng)到任意位置時(shí)的速度,利用動(dòng)能定理,由牛頓運(yùn)動(dòng)定理,求小球受到杯子的力，對(duì)小球受力分析,取杯子為研究對(duì)象，受力分析,根據(jù)庫(kù)倫定理，計(jì)算最大靜滑動(dòng)摩擦力,杯子不滑動(dòng),（2）分析杯子會(huì)不會(huì)傾倒,如果杯子傾倒，會(huì)繞C點(diǎn)傾倒，對(duì)此分析臨界狀態(tài)，受力分析,由于杯子先經(jīng)

13、過63.4度得位置，故當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到63.5度位置時(shí)，杯子會(huì)繞C點(diǎn)傾倒,如圖所示，電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為m1、m2。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心O1，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2 到O1的距離為e，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度w 轉(zhuǎn)動(dòng)。求： (1) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程；(2) 基礎(chǔ)對(duì)電機(jī)總的水平和鉛垂反力；(3) 若電機(jī)沒有螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。,例題,解：(1) 建立如圖坐標(biāo)，任一瞬時(shí)，qw t，即有,故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為,(2) 以系統(tǒng)為研究對(duì)象,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,因,故,得,（3）以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。,在圖示坐標(biāo)下，設(shè)初始時(shí)

14、xC1a，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過q，定子向右移動(dòng)距離s，則,所以,解得,由此可見，電動(dòng)機(jī)在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。此時(shí),由于SFx(e)0,若 ，則 。因此如電動(dòng)機(jī)無(wú)螺栓固定，它將會(huì)跳起來。,解（1）圓環(huán)不是均質(zhì)的，質(zhì)心不在圓環(huán)的中心。開始滾動(dòng)角 速度大，圓環(huán)一條一跳地向前滾動(dòng)；隨后角速度減小，所以 圓環(huán)不離開地面向前滾動(dòng)。,半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)輪的慣性半徑為C，作用于圓輪的力偶矩為M。求輪心的加速度。如果圓輪對(duì)地面的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為fs，問力偶矩M必須符合什么條件方不致使圓輪滑動(dòng)。,M,C,r,aC,x,例題,平面運(yùn)動(dòng)微分方程可列出如下：,式中M和均以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎Ｒ?

15、aCy= 0 ，故 aCx= aC 。,M,C,r,aC,mg,F,FN,x,解：,根據(jù)圓輪滾而不滑的條件，有,aC= r,聯(lián)立求解，得：,欲使圓輪從靜止開始滾動(dòng)而不滑動(dòng)，必須有 F fsFN.,于是得圓輪只滾不滑的條件為,（2）圓環(huán)能自己滾回的條件,圓環(huán)初瞬時(shí)環(huán)心速度為v0,角速度大小為wo,以后為v和w。以C為基點(diǎn)，用機(jī)電法可求出圓環(huán)與地面的速度大小為,w,C,r,v,mg,F,FN,x,開始階段，u0,圓環(huán)與地面有相對(duì)滑動(dòng)，,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,w,C,r,v0,mg,F,FN,x,開始階段，u0,圓環(huán)與地面有相對(duì)滑動(dòng)，,w,C,r,v0,mg,F,FN,x,由于摩擦力存在，,由對(duì)圓環(huán)中心C

16、使用動(dòng)量矩定理,w,C,r,v0,mg,F,FN,x,當(dāng)u=0時(shí)，摩擦力為0，有,此時(shí)質(zhì)心速度為,當(dāng)v10，圓環(huán)自己就會(huì)滾回來。得到滾回來?xiàng)l件為,（b）離最遠(yuǎn)處開始無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)的距離,圓環(huán)到達(dá)最遠(yuǎn)處時(shí)，質(zhì)心速度v為0,時(shí)間為,w,C,r,v,mg,F,FN,x,當(dāng)u=0,圓環(huán)與地面開始無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，,在此過程中，質(zhì)心加速度大小為,w,C,r,v,mg,F,FN,x,在此過程中，質(zhì)心加速度大小為,所求距離為：,（c）圓環(huán)能不能脫離接觸地爬上臺(tái)階所應(yīng)滿足的條件,圓環(huán)只滾不滑，,塑性碰撞后，環(huán)繞O定州轉(zhuǎn)動(dòng)，環(huán)心速度,碰撞前對(duì)o點(diǎn)的動(dòng)量矩,碰撞后對(duì)o點(diǎn)的動(dòng)量矩,由于碰撞對(duì)O點(diǎn)動(dòng)量矩守恒，則,由動(dòng)能定理得

17、，,即,要使圓環(huán)爬上臺(tái)階的條件是：當(dāng)重心上升到最高位置時(shí)，還有剩余動(dòng)能。,w3是重心上升到最高位置時(shí)圓環(huán)的角速度,這是圓環(huán)爬上臺(tái)階條件,碰撞結(jié)束后，由動(dòng)能定理有,w4是圓環(huán)在爬升過程中的角速度,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，,圓環(huán)不挑起應(yīng)有FN0,故圓環(huán)不脫離接觸地爬上臺(tái)階的條件為,這是圓環(huán)爬上臺(tái)階條件,（3）確定推動(dòng)力F為最小值時(shí)的接觸點(diǎn)A,設(shè)半徑CA與鉛直線夾角為。A、B兩點(diǎn)處得摩擦角分別為,由于A點(diǎn)處圓環(huán)相對(duì)細(xì)棍運(yùn)動(dòng)，因此該點(diǎn)處是動(dòng)摩擦，角度為,在三角形ACD中，根據(jù)余弦定理,根據(jù)垂直方向之心運(yùn)動(dòng)定理，對(duì)B點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有,在推理增加的過程中，如果推力很小，滾動(dòng)摩阻可以阻止圓環(huán) 運(yùn)動(dòng)，只是當(dāng)推力大道一

18、定的時(shí)候，圓環(huán)才能運(yùn)動(dòng)起來，所以 這時(shí)滾動(dòng)摩阻為最大,根據(jù)以上三個(gè)方程,則,時(shí)取得極值,1、靜荷載（Static load） 荷載由零緩慢增長(zhǎng)至最終值,然后保持不變.構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)加速度很小,可略去不計(jì).,15-1 概述（Instruction）,2、動(dòng)荷載 （Dynamic load）,一、基本概念 （Basic concepts）,動(dòng)荷載：荷載隨時(shí)間作急劇的變化，或加載過程中構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)有較大的加速度。,. 構(gòu)件作等加速直線運(yùn)動(dòng),. 構(gòu)件受沖擊荷載作用時(shí)的動(dòng)應(yīng)力；,本章研究以下幾種動(dòng)荷載問題：,動(dòng)響應(yīng) （Dynamic response） 構(gòu)件在動(dòng)載荷作用下產(chǎn)生的各種響應(yīng)（如應(yīng)力、應(yīng)變、位移

19、等）,稱為動(dòng)響應(yīng)（dynamic response）.,動(dòng)荷因數(shù) （Dynamic factor）,實(shí)驗(yàn)表明 在靜載荷下服從胡克定律的材料,只要應(yīng)力不超過比例極限,在動(dòng)載荷下胡克定律仍成立且E靜=E動(dòng).,在沖擊過程中,運(yùn)動(dòng)中的物體稱為沖擊物 （impacting body）,阻止沖擊物運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件,稱為被沖擊物 （impacted body）,當(dāng)運(yùn)動(dòng)著的物體碰撞到一靜止的構(gòu)件時(shí),前者的運(yùn)動(dòng)將受阻而在短時(shí)間停止運(yùn)動(dòng),這時(shí)構(gòu)件就受到了沖擊作用.,原理（Principle） 能量法（Energy method）,15-3 構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形,15-3 構(gòu)件受沖擊荷載作用時(shí)的動(dòng)應(yīng)力計(jì)算,圖a表示重

20、量為P的重物，從高度h 處自由落下，當(dāng)重物與桿的B端接觸的瞬間速度減少至零，同時(shí)產(chǎn)生很大的加速度，對(duì)AB桿施加很大的慣性力Fd，使AB 桿受到?jīng)_擊作用。重物稱為沖擊物，AB 桿稱為被沖擊物，F(xiàn)d稱為沖擊荷載。,沖擊時(shí),沖擊物在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生很大的變化,其加速度a很難測(cè)出,無(wú)法計(jì)算慣性力, 故無(wú)法使用動(dòng)靜法.在實(shí)用計(jì)算中,一般采用能量法. 即在若干假設(shè)的基礎(chǔ)上,根據(jù)能量守恒定律對(duì)受沖擊構(gòu)件的應(yīng)力與變形進(jìn)行偏于安全的簡(jiǎn)化計(jì)算.,T,V 是 沖擊物 在沖擊過程中所 減少的 動(dòng)能和勢(shì)能.,Vd是被沖擊物所增加的應(yīng)變能.,自由落體沖擊問題,假設(shè) (Assumption),1.沖擊物視為剛體,不考慮其變形,2.被沖擊物的質(zhì)量遠(yuǎn)小于沖擊物的質(zhì)量,可忽略不計(jì),3.沖擊后沖擊物與被沖擊物附著在一起運(yùn)動(dòng),4.不考慮沖擊時(shí)熱能的損失,即認(rèn)為只有系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能的轉(zhuǎn)化,例題4 一重量為P的重