動態(tài)模型.ppt

1、數(shù)學(xué)模型 動態(tài)模型2,北京理工大學(xué) 王宏洲 （微分方程模型）,四、香煙過濾嘴的功效,過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系,人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。,模型分析,分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。,設(shè)想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。,問題,毒物均勻分布在煙草中；點燃后，毒物隨煙霧擴散，一部分進入空氣，一部分延香煙傳入人體。,沿香煙穿行的毒物要通過未點燃的煙草和過濾嘴進入人體，與之相比，進入空氣后再次被人吸收的毒物量要少得多。,模型假設(shè),定性分析,1）l1煙草長， l2過濾嘴長， l = l1+ l2

2、，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1,2）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a:a, a+a=1,3）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和,4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，燃燒速度是常數(shù)u， v u,Q 吸一支煙毒物進入人體總量,構(gòu)造模型,T = l1/u 時燃盡,，下面設(shè)法根據(jù)假設(shè)建立各個變量之 間的關(guān)系，計算出最終吸入人體的毒物總量來。,引入兩個函數(shù)：,t時刻單位時間內(nèi)通過截面x處的毒物流量,t時刻截面x處單位長度煙草中的毒物含量,t=0, x=0，點燃香煙,q(x,t) 毒物流量,w(x,t) 毒物密度,1) 求q(x,0)=q(x),t時刻

3、，香煙燃至 x=ut,2) 求q(l,t),3) 求w(ut,t),一段時間內(nèi)，x處的密度變化,單位時間流過的總量,4) 計算 Q,結(jié)果分析,2) 過濾嘴因素，, l2 負(fù)指數(shù)作用,是毒物集中在x=l1 處的吸入量,結(jié)果分析,根據(jù)資料，,與無過濾嘴香煙做對比,帶過濾嘴,不帶過濾嘴,結(jié)果分析,即：提高過濾嘴的吸附能力、降低煙草的吸附能力或加長過濾嘴的尺寸，對于減少毒物對人體侵害的作用是大致相同的。,五、煙霧的擴散與消失,模型分析,模型假設(shè),即單位距離上光強的相對減少量與煙霧濃度成正比，,看不到煙霧,構(gòu)造模型,1、煙霧濃度的變化規(guī)律,構(gòu)造模型,得到：,構(gòu)造模型,構(gòu)造模型,1、煙霧濃度的變化規(guī)律*,

4、2、穿過煙霧的光強變化規(guī)律,考慮沿一定方向穿過煙霧的光線。,l0 I0,l I,景物,構(gòu)造模型,1、煙霧濃度的變化規(guī)律*,2、穿過煙霧的光強變化規(guī)律*,3、儀器靈敏度與不透光邊界,構(gòu)造模型,模型結(jié)果,結(jié)果檢驗,本模型的另外一個用途是：可以根據(jù) t1 、t2 來確定大氣中的 擴散系數(shù) k .,評注：煙霧在大氣中擴散的擴散有現(xiàn)成的物理規(guī)律，但具體到 擴散與消失的關(guān)系、如何定義消失，并沒有結(jié)論。,我們通過引入觀察方和靈敏度指標(biāo)，成功地解決了這個問題。,六、減肥計劃,減肥有很多辦法：加強運動、節(jié)食、服用藥物、手術(shù)、采用專用儀器等。 減肥的一個重要原則是不能影響健康。 如果只采用運動和節(jié)食兩種手段，怎樣

5、在保證人體健康的情況下盡快實現(xiàn)減肥？ 建立數(shù)學(xué)模型，在保證健康、滿足客戶合理要求的情況下，幫助客戶制訂科學(xué)的減肥計劃。,問題分析,營養(yǎng)供給量：保證正常人體正常狀態(tài)的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)； 營養(yǎng)需求量：維持人體正常生理機能的營養(yǎng)數(shù)量； 人體體重是評定膳食能量攝入是否適當(dāng)?shù)闹匾獦?biāo)志； 人體熱量需求多少，主要取決于三方面：維持人體基本代謝所需能量；從事勞動或其他活動所消耗的能量；食物的特殊動力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需能量本身也耗費能量）。,問題分析,以“周”為單位來考察問題。 體重增減：由于吸收的和消耗的能量不平衡。 記E0為消耗的能量，則,記Ei為吸收的能量，i 表示能量來自不同的食物。各種 食物所含能

6、量的多少可以通過查資料得到。,基本代謝,食物熱效率,正常活動,運動消耗,顯然，只要Ei E0，體重就會變化。要想減肥，必須Ei E0.,模型假設(shè),體重增量正比于吸收的熱量，系數(shù)為.一般地， = 7930千卡/kg周，即每周大約8000千卡熱量會轉(zhuǎn)化成 1 kg 體重。 不運動時，體重減少與體重成正比，系數(shù)為 r ，r 一般在0.025-0.04 之間。胖人的 r 稍小，瘦人的r稍大。 運動時，體重減少與體重成正比，系數(shù) ， 的大小與運動形式、時間有關(guān)。 為保證健康，每周吸收熱量有一個底限 Cmin，男子為10500千卡/周，女子為8500千卡/周。 每周體重減少量不應(yīng)大于某個值 b（比如 1.

7、5kg ）.,模型構(gòu)造,體重增量正比于吸收的熱量，系數(shù)為 . 不運動時，體重減少與體重成正比，系數(shù)為 r. 運動時，體重減少與體重成正比，系數(shù) 。,在公式的基礎(chǔ)上，為客戶制定減肥計劃。,分為兩個階段：,第一階段：將吸收的熱量逐漸縮減到Cmin，在此過程中應(yīng)注意 避免每周體重減少量超過 b。,第二階段：保持Cmin，增加運動或不運動，使體重減少達到預(yù) 期目標(biāo)。,實施這個計劃，需要了解w(0)、目標(biāo)體重w*, 和目前吸收的熱 量C，以及此人的 r.,減肥計劃舉例,男性, w(0) = 110kg，每周吸收熱量C = 26000千卡。希望最終達到 w*= 80kg。,第一階段：不運動，每周減去 b

8、= 1.5kg；,第二階段：保持Cmin，增加運動或不運動，使體重達到w*.,計算C(k), k = 1, 2, , N1, 使得C(N1) = Cmin. 根據(jù)C(k)為客戶制 定每周食譜。,計算w(k), k = N1+1, N1+2, , N1+N2, 使得w(N1+N2) = w*.,模型求解,1）確定r。,當(dāng)不運動，體重穩(wěn)定時，由上面的公式，我們有,2）第一階段，節(jié)食但不運動。假設(shè)要用N1周達到目的。,模型求解,必須保證C(n+1) Cmin，所以N1 10周。,到第10周，w(10) = 110 1.5*10 = 95 kg。,每周計劃吸收的熱量由 C(n+1) 得到，我們可以根據(jù)

9、C(n+1) 為客戶定制菜譜。,注意：這時人體吸收的熱量已經(jīng)達到維持健康所需的最低限度， 不能繼續(xù)減少熱量的吸收了，只能保持在這個水平上。,3) 第二階段，假設(shè)要用 N2 周。有兩種辦法：,模型求解,I、 不運動， Cmin保持穩(wěn)定。,w*= 80kg,所以如果不運動的話，通過節(jié)食需要22周達到目標(biāo)。,體重增量正比于吸收的熱量，系數(shù)為 . 不運動時，體重減少與體重成正比，系數(shù)為 r. 運動時，體重減少與體重成正比，系數(shù) 。,模型求解,II、 如果客戶希望在一定時間內(nèi)達到目標(biāo)，比如20周，則第 一階段可以不變，在第二階段加上運動。,為什么不在第一階段加上運動？,節(jié)食已經(jīng)能夠?qū)崿F(xiàn)每周減 1.5 k

10、g 的最高速度了。,w*= 80kg,即每周運動，每公斤體重要消耗掉24千卡熱量才可以。,返回實際問題,每周每公斤體重要消耗掉24千卡熱量,下面查資料確定運動形式及需要的時間(單位：千卡/kg小時),每天1小時，每周消耗 3.4*7=23.8千卡/kg,每周三次，每次1小時，可以達到目標(biāo)。,評注：,這里用一階差分方程給出了離散的動態(tài)模型。,關(guān)鍵之處在于了解實際問題的要求，以及獲取重要參數(shù)。,實際減肥過程要更加復(fù)雜，在飲食、運動之外還有很多 因素在起作用。,七、新的人口模型,在此前講解的指數(shù)和Logistic人口模型中，都沒有考慮人口的年齡分布。但年齡分布對于人口增長的重要性是顯而易見的。 下面

11、將在考慮人口的年齡分布的情況下，重新建立人口增長模型。,模型構(gòu)造,模型構(gòu)造,方程求解需要兩個定解條件。,模型構(gòu)造,t = 0時刻年齡結(jié)構(gòu),任意時刻出生率,模型構(gòu)造,考慮簡單一些的情形：社會安定，較短的時間內(nèi)，可以認(rèn)為 (r,t) = (r) ，即暫時視為不隨時間改變。,可以求得方程的解：,結(jié)果分析,根據(jù)解的形式可以看出，t r 時要求 t 時刻 r 歲人口的密度，必須考慮初始時刻 r t 歲人口的密度和 r t 到 r 歲人口的死亡率。,t r 時，表示 t 時刻 r 歲人口的密度，這些人在 t = 0初始時刻還沒有出生，所以要考慮稍后幾年，f (t-r)和0到 r 歲人口的死亡率(s) 。,

12、比如，初始時間是2000年。,1、問2005年7歲人口數(shù)量。,t = 5，r = 7，這要根據(jù)2000年時2歲 人口的數(shù)量得到，包括他們在這5年中的死亡率。,2、問2005年3歲人口數(shù)量。,t = 5，r = 3，這些人在2000年時尚未出生，所以是由2002年的出生率和隨后3年的死亡率來決定。,注意：在整個模型中，唯一可控的只有新生嬰兒出生率 f (t),生育率和生育模式分析,t 時刻年齡在r , r + r內(nèi)的女性性別之比。即此年齡段的人數(shù)為 k(r, t) p(r, t) r.,t 時刻 r 歲女性單位時間內(nèi)平均每人的生育數(shù)。,模型結(jié)果分析,在這個嬰兒 出生率的公式中，可控的手段只有生育

13、數(shù) b(r, t)。,另外，注意到：,從控制論的角度看，f 是控制變量，p 是狀態(tài)變量：,S系統(tǒng),f (t),輸出,p (r, t),正反饋,p (r, t)的增加會通過f (t)使 p 進一步增加，不穩(wěn)定，很難控制。,模型改進,既然現(xiàn)有的模型是正反饋結(jié)構(gòu)，難以控制，我們需要對問題進行更深入的分解。,反映 t 時刻單位時間內(nèi)平均每個育齡 女性的生育數(shù),這個新的指標(biāo)實際上也反映了 t 時刻平均每個女性一生的生育 數(shù)量，故稱為總和生育率或生育胎次。,至于h (r, t) ，表示的是年齡為 r 歲的女性生育加權(quán)因子，稱為 生育模式，反映生育的早晚、疏密等。,比如提高r1，就是提倡晚育。,人口控制措施

14、,生育胎次，中國城市中這個參數(shù)為1.,綜上所述， p (r, t)和F (r, t)都是描述人口發(fā)展的最佳函數(shù)，但使用起來有些復(fù)雜，人們創(chuàng)造了一些更為簡單實用的人口指標(biāo)。,h (r, t) ，年齡為 r 歲的女性生育加權(quán)因子，反映生育的早晚、疏密等,常用人口指數(shù),1）人口總數(shù),2）平均年齡,3）平均壽命,t時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間,4）老齡化指數(shù),控制生育率,控制 N(t)不過大,控制 (t)不過高,八、離散人口模型,前面我們建立了多個人口模型，都采用的是微分方程形式，屬于連續(xù)型模型。下面考慮更符合實際情況、更容易應(yīng)用的離散型模型，給出相應(yīng)的離散形式。,模型假設(shè),

15、時間以年為單位，年齡按周歲計算。 設(shè)最大年齡為 m 歲。 記 x i (t) 為第 t 年 i 歲( 滿 i 歲但不到 i +1 周歲) 的人數(shù)，t = 0, 1, 2, ; i = 0, 1, 2, , m. 同樣只考慮出生、死亡引起的人口變化，不計遷移等因素。,模型構(gòu)造,記 d i (t) 為第 t 年 i 歲人口的死亡率，即,人口的減少,人口的增加,記 b i (t) 為第 t 年 i 歲女性生育率；,k i (t)為第t 年 i 歲人口女性女性之比。,則第t 年出生的人數(shù)為,構(gòu)造模型,表示出生但未活到人口統(tǒng)計時 刻的人數(shù)嬰兒死亡率。,x i (t) 為第 t 年 i 歲人數(shù),和連續(xù)型模

16、型一樣，考慮將 b i (t)第 t 年 i 歲女性生育率分解：,生育模式,構(gòu)造模型,即第 t 年每個育齡婦女的平均生育人數(shù)。,即跟蹤一個育齡婦女在整個育齡期內(nèi)的生育數(shù)，以此來估算 第 t 年婦女的平均生育人數(shù)，又稱生育胎次。,構(gòu)造模型,已有結(jié)果,構(gòu)造模型,引入向量、矩陣記號：,模型結(jié)果分析,常用的人口指標(biāo)：,中國30年代平均壽命為35歲；解放初為50歲；1978年為68.3歲。,標(biāo)志人口老齡化程度。,w(t) 0.5，為青壯年社會,九 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn),戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭,只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱,兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加,戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān),建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例,第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型,一般模型,每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比,甲乙雙方的增援率為u(t), v(t),f, g 取決于戰(zhàn)爭類型,x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假設(shè),模型,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力,雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn),忽略非戰(zhàn)斗減員,假設(shè)沒有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每個士兵的殺傷率,a=