數(shù)學(xué)建模-傳染病模型.ppt

1、傳染病模型,傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。,醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。,問題的提出：,設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時刻共有i人得病，t時刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時間

2、內(nèi)將疾病傳播給k個人（k稱為該疾病的傳染強度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會康復(fù),模型1,此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。,已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。,模型2,記t時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時刻的病人數(shù)為 i。根據(jù)病人不死也不會康復(fù)的假設(shè)及（競爭項）統(tǒng)計籌算律，,其中：,統(tǒng)計結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報結(jié)果比(3.15)更接近實

3、際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線 為傳染病曲線，并稱 最大值時刻t1為此傳染病的流行高峰。,模型2仍有不足之處，它無法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時間趨與無窮時，模型預(yù)測最終所有人都得病，與實際情況不符。,為了使模型更精確，有必要再將人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng),（3.18）,求解過程如下：,對（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：,解得：,將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記t時刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：,模型3,由(1)式可得：,從而解得：,為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：,其中 通常是一個與

4、疾病種類有關(guān)的 較大的常數(shù)。,下面對 進行討論，請參見右圖,如果 ，則開始時 ，i(t)單增。但在i(t)增加的同時，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于 時， i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。,鑒于在本模型中的作用， 被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。 的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。,圖3-14,綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：,（1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過閥值時，疾病才會流傳起來。,（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導(dǎo)致所有人得病。,（3）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。,模型檢驗：,醫(yī)療機構(gòu)一般依據(jù)r(t)來統(tǒng)計疾病的波及人數(shù) ，從廣義上理解，r(t)為t時刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對模型并無影響。,及：,注意到：,通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：,代入（3.20）得近似方程：,積分得：,其中：,這里雙曲正切函數(shù) ：,而：,圖3-14（a）給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實際登錄數(shù)進行比較擬合得最