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1、有限元事故箱、(1)結(jié)構(gòu)剖分時(shí),單位、節(jié)點(diǎn)必須分別使用連續(xù)正整數(shù)號(hào)。,但是為了幫助理解,以平面問(wèn)題對(duì)應(yīng)的三角形單位為對(duì)象進(jìn)行說(shuō)明和引用。說(shuō)明,引文有明確的目標(biāo)(平面問(wèn)題三角形單位),但必須指出原理、方法和主要矩陣公式都是普遍的。單元分析的內(nèi)容,節(jié)點(diǎn)變位,(1),單元內(nèi)的點(diǎn)變位,單元變形,單元應(yīng)力,(2),(3),節(jié)點(diǎn)力,(4),變位曹征模式1,單元曲面或邊界上任意點(diǎn)的表面力陣列qs,2由形式(2-9)給出的彈性矩陣D的矩陣元素,根據(jù)平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程得到。對(duì)于平面變形問(wèn)題,必須將表達(dá)式(2-9)的E替換為,各種類(lèi)型結(jié)構(gòu)的彈性物理方程都可以用表達(dá)式(2-8)來(lái)描述。但是,不同的結(jié)構(gòu)類(lèi)型具有不
2、同的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)(應(yīng)力分量、變形分量),彈性矩陣D的體積和元素大小也不同。其中:?jiǎn)卧治龅膬?nèi)容,節(jié)點(diǎn)變位,(1),單元內(nèi)部的點(diǎn)變位,(單元變形,單元應(yīng)力,(2),(3),節(jié)點(diǎn)力,(4),有限元法使用能量原理執(zhí)行單位分析,因此必須事先提供(設(shè)定)變位函數(shù)。通常,偏移函數(shù)選擇會(huì)影響或嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度。在彈性力學(xué)中,恰當(dāng)?shù)剡x擇變位函數(shù)不是件容易的事。在有限單元法中,單元被劃分為足夠的時(shí)間,即使將變位函數(shù)設(shè)置為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式,也能得到相當(dāng)精確的結(jié)果。這是有限元法的重要優(yōu)點(diǎn)之一。變位函數(shù)可能會(huì)因結(jié)構(gòu)類(lèi)型的不同而不同。這里,以平面問(wèn)題三角形單元(圖2-2)為例,說(shuō)明了與設(shè)置變位函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。圖2-2是
3、節(jié)點(diǎn)I、J、M牙齒逆時(shí)針排列的三節(jié)點(diǎn)三角形單元。每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移在單元平面內(nèi)有兩個(gè)茄子分量。(2-10),2,變位函數(shù)設(shè)置示例:三角形單元具有三個(gè)節(jié)點(diǎn)(I,J,M順序),總共有六個(gè)節(jié)點(diǎn)變位組件。單元格變位或單元格節(jié)點(diǎn)變位數(shù)組由以下六個(gè)組件確定:(2-11);牙齒問(wèn)題由變位函數(shù);(2-12);表達(dá)式中的:a1、a2、a6暫掛常量。格式(2-12)變位函數(shù)中,a1、a4表示剛體位移,a2、a3、a5、a6在單元中具有恒定變化,變位函數(shù)是連續(xù)映射。3,選擇變位函數(shù)時(shí)要考慮的問(wèn)題,(1)單元格中幾個(gè)變位函數(shù)單元格中的任意一點(diǎn)上有幾個(gè)變位組件,那么就有幾個(gè)變位函數(shù)。牙齒單元包含U和V。因此,有兩個(gè)變位函數(shù)。
4、(3)變位函數(shù)過(guò)程中的待定常量數(shù)待定常量數(shù)必須等于單元變位陣列中的變位組件數(shù)。使用單位位移確定變位函數(shù)過(guò)程中的待定常量。牙齒單元變位陣列有六個(gè)組件,在這兩個(gè)變位函數(shù)中,必須共有六個(gè)待定常量,以連接兩個(gè)變位函數(shù)(U、V)和單元位移的六個(gè)組件。(2)變位函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)牙齒單位的坐標(biāo)系是x,y;(4)變位函數(shù)必須包含單元的剛體位移。(5)變位函數(shù)必須包含單元的恒定變化。(6)單位內(nèi)連續(xù)變位函數(shù);相鄰單元之間要盡可能協(xié)調(diào)。條件(4),(5)構(gòu)成單元的完整性準(zhǔn)則,條件(6)是單元的曹征條件。理論和實(shí)踐都證明,完備性標(biāo)準(zhǔn)是有限元分析收斂到實(shí)際解決方案的必要條件,加上變位曹征條件(充分條件)是構(gòu)成有限元分
5、析的必要條件。很容易證明三角形三節(jié)點(diǎn)常變單元滿足上述需要和充分條件。例如:平面應(yīng)力矩形板分為多個(gè)三角形單位。變位函數(shù)包含單位的恒定變化。(a2、a6、a3 a5),變位函數(shù)包含單元的剛體變位:牙齒。對(duì)于所有單元(例如單元),變位函數(shù):、和是的。以的邊界26為例,如果兩條線上的兩點(diǎn)重合,則兩條線必須完全重合。4、造型函數(shù)、造型函數(shù)是用儲(chǔ)存格變位元件描述變位函數(shù)的內(nèi)插函數(shù)。(1)形函數(shù)定義現(xiàn)在通過(guò)單元位移確定變位函數(shù)期間的待定常量a1、a2、a6。將節(jié)點(diǎn)I、j和m的坐標(biāo)分別設(shè)置為(Xi,yi)、(XJ,yj)、(XM,ym),并將節(jié)點(diǎn)偏移分別設(shè)置為(ui,VI)、(uj,VJ)和,賦值表達(dá)式(2-
6、14)賦值表達(dá)式(2-12)的第一個(gè)表達(dá)式,清理后,相同的:(2-16),表達(dá)式中的:,表示式(2-17)是ai、bi、ciam、BM和cm牙齒儲(chǔ)存格三個(gè)節(jié)點(diǎn)座標(biāo)的函數(shù)。(2-16),命令,(2-18),變位模式(2-16)縮寫(xiě)為,(2-19),表達(dá)式(2-19)的Ni使用,(2-16),格式函數(shù)(2-16)構(gòu)建矩陣。例如,縮寫(xiě),(2-20),格式函數(shù)是描述變位函數(shù)作為單位變位組件的插值函數(shù)。N是格式函數(shù)矩陣,組件塊格式為:(2-21),其中子矩陣,(2-22),I是22的單位矩陣。如下所示,型函數(shù)是有限單元法中的重要函數(shù)。理解它的幾個(gè)茄子基本性質(zhì)是有益的。(2)造型函數(shù)性質(zhì)、圖2-3、性質(zhì)1
7、造型函數(shù)Ni節(jié)點(diǎn)I的值為1,其他節(jié)點(diǎn)的值為0。對(duì)于牙齒儲(chǔ)存格,(I,J,M),性質(zhì)2為儲(chǔ)存格中任意點(diǎn)的所有造型函數(shù)的總和為1。對(duì)于牙齒課程,有。為什么?圖2-4,格式函數(shù),I,j,m,(2)單位變位章節(jié)和節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行了調(diào)整。(3)節(jié)點(diǎn)位移為變位場(chǎng)的數(shù)值大小,特性3三角形單元的邊界ij上的任意點(diǎn)(X,Y),證明,圖2-5,特性4英寸函數(shù)單元的面積劃分和邊界的線積分公式,(2-23,),對(duì)于牙齒問(wèn)題,維為36。塊格式為、子矩陣:(2-26)。B矩陣也是常量,因?yàn)闊o(wú)論x,Y,都是常量。單元中所有點(diǎn)的變形分量是B矩陣和單元節(jié)點(diǎn)位移的乘積,因此也是常數(shù)。因此,這些單位稱為常數(shù)應(yīng)變單位。2,單位應(yīng)力矩陣,
8、公式(2-25)為物理方程式(2-8),結(jié)果,(2-8),(2-27),形狀度,(;其中S稱為單元應(yīng)力矩陣,(2-29),D為33彈性矩陣,B為36變形矩陣,因此S也為36矩陣??梢灾付▔K格式、(2-30)、彈性矩陣(2-9)和變形矩陣(2-26),并將其寫(xiě)為子矩陣Si、格式(2-29)。對(duì)于平面變形問(wèn)題,將常識(shí)的E改為即可。(2-32),相同單元的D,B矩陣都是常數(shù)矩陣,因此S矩陣也是常數(shù)矩陣。也就是說(shuō),三角形三節(jié)點(diǎn)單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量。當(dāng)然,相鄰單元的E、A和bi,ci(i,J,M)通常不相同,因此應(yīng)力不同,相鄰單元的公共邊上產(chǎn)生了應(yīng)力突變現(xiàn)象。但是,隨著網(wǎng)格的細(xì)分,牙齒突變類(lèi)型迅速減
9、少,平衡得到滿足。幾何關(guān)系變位函數(shù),幾何關(guān)系,平衡關(guān)系,(2-33),型式(2-33)不僅是平面問(wèn)題三角形單位,還是計(jì)算各種類(lèi)型單位K的一般表示式。在第2.6節(jié)中,明確K的機(jī)械意義是細(xì)胞剛度矩陣。格式(2-33)是計(jì)算單位剛度矩陣的默認(rèn)矩陣。適用于多種類(lèi)型的單元格。單位變形包括(2-34),2,單位外力勢(shì)能,單位外力通常包括體積力、表面力和集中力。自重屬于體積力范疇。表面力是作用于細(xì)胞表面的分布載荷,例如風(fēng)能、壓力、相鄰細(xì)胞相互作用的內(nèi)力等。(2-33),(1)體積力勢(shì)能,單位體積內(nèi)的體積力在公式(2-2)中列出。,單元體積力中的勢(shì)能Vv包括“注意”(2-20)、“是”、“(2)表面力勢(shì)能”、
10、“面積力”,它們包含與單位之間公共邊交互的分布力,但屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力,成對(duì)出現(xiàn),聚合時(shí)徐璐抵消,并且在結(jié)構(gòu)整體分析中可能不考慮?,F(xiàn)在僅考慮彈性體邊界的表面力,并僅在某些單元中形成表面力(右下)。設(shè)定施加在邊界單位長(zhǎng)度上的表面力的格式(2-1)。L單元邊框長(zhǎng)度H單元厚度A表面力作用區(qū)域,QS,單元表面力的勢(shì)能對(duì),(3)集中力勢(shì)能,當(dāng)結(jié)構(gòu)受到集中力時(shí),通常將集中力的作用點(diǎn)設(shè)定為節(jié)點(diǎn)。所以細(xì)胞集中力Pc的勢(shì)能Vc是,(4)外力總勢(shì)能,(2-35)將表達(dá)式中原括號(hào)內(nèi)的一部分換成數(shù)組Fd,綜合上述表達(dá)式,單位外力的勢(shì)能總V,F(xiàn)d具有相同的行數(shù)和列數(shù)。例如,單位的變形能量U(2-34)和外力勢(shì)能V(2-36)
11、,可用單位的總勢(shì)能,(2-37),節(jié)點(diǎn)位移未知量,總勢(shì)能極值問(wèn)題成為多元函數(shù)極值問(wèn)題。極值條件,2.5能量原理和單元平衡方程,(2-36),表達(dá)式(2-38)是從能量原理導(dǎo)出的單位平衡方程。牙齒方程式表示單位力和單位變位之間的關(guān)系。其中Fd和細(xì)胞節(jié)點(diǎn)力F具有相同的含義。(2-38),所以,如果代入表達(dá)式(2-37),那么根據(jù)單位平衡方程:牙齒彈性力學(xué)能量原理,結(jié)構(gòu)穩(wěn)定平衡所需的條件和充分條件就是總勢(shì)能最小值。2.6單元?jiǎng)偠染仃?,平衡方?2-38)的矩陣K是單元力和單元變位關(guān)系之間的系數(shù)矩陣,表示單元的剛度特性。這稱為單元?jiǎng)偠染仃?。單元?jiǎng)偠染仃嚨捏w積為NJ NJ,NJ是單元變位的總數(shù)。1,計(jì)算
12、單元?jiǎng)偠染仃嚨耐ㄓ霉?,?jì)算每個(gè)類(lèi)型單元的單元?jiǎng)偠染仃嚳捎?2-33)。與單位變形矩陣b和彈性矩陣d相關(guān)。對(duì)于平面應(yīng)力三角形儲(chǔ)存格,由于變形矩陣B是常數(shù)矩陣,彈性矩陣D也是常數(shù)矩陣,因此公式(2-33)可以簡(jiǎn)化,A表示三角形單位的面積。2,平面問(wèn)題三角形單位剛度矩陣,(1)平面應(yīng)力三角形單位,公式(2-9)和(2-26)生成平面應(yīng)力三角形單位剛度矩陣。組件塊格式,示例,(2-40),表達(dá)式中子矩陣是22矩陣,示例,(2-41),(2)平面變形三角形單位,(2-42)這可以從kij和bi、bj、ci、cj(i,j,m)計(jì)算公式(2-41)、(2-42)、(2-17)的分析中獲得。-嗯?-嗯?-嗯?圖2-7,請(qǐng)注意,單元格旋轉(zhuǎn)時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)不變。如圖2-7所示,當(dāng)圖A中所示的單元旋轉(zhuǎn)時(shí),到達(dá)圖B中所示的位置。兩個(gè)牙齒的k是相同的。坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到任意角度時(shí),公式(2-40)、(2-41)、(2-42)保持不變,因?yàn)?2-42)已包含坐標(biāo)系的影響。得出了平面問(wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃嘖方程式不取決于坐標(biāo)系的重要結(jié)論。因此,牙齒公式集是規(guī)范化公式。(3)樣例平面應(yīng)力直角三角形單位剛度矩陣,圖2-8顯示了平面應(yīng)力直角三角形單位(直角邊長(zhǎng)度分別為A、B、厚度H、楊氏模量E
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