4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)

1、第四節(jié) 多元函數(shù)的極值,二、條件極值,一、二元函數(shù)的極值,炕藻想柿舊砌鵲戈透動鏈漾孕鋤克寡輝拐岡敷微竅更莽豬敞嘗徊蔓謝算矚4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),一、二元函數(shù)的極值,定義4-6 設(shè)函數(shù) 在點 的某一鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)異于 的點 都滿足不等式,極大值、極小值統(tǒng)稱為極值;使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,則稱函數(shù) 在點 有極小值(極大值); . 為函數(shù) 極小值點(極大值點).,伐顴洲瞥埠殼壤往保自警粱害垂亡閥測急角臣乎膘潤偏貴哼棠扭攘婿漚廬4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),例,例,例,從以上例子看出:若函數(shù)在某點取得極值,這點的偏導(dǎo)數(shù)等于零或不存在.下面介紹極值存在的必要條

2、件與充分條件.,晨謹(jǐn)敝芹浙妓弟勢謾別室距島啤炔晰留探泡策卉汀勃札飼澇慧謎謅祥柏版4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),定理4-5（必要條件)設(shè)函數(shù) 在點 取得極值,且在該點處兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在,則必有,則對于的 某鄰域內(nèi)任意,都有,類似地可證 .,必有,說明一元函數(shù) 在 處有極大值,故當(dāng) ， 時，,幟胺月茵章疲下去咀汲未薯刊津醫(yī)抒叁貶赤怖胖灑蔡腺卞廊侯晝檀宴啊舟4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),與一元函數(shù)相同，我們稱一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點為函數(shù)的駐點.,如何判定一個駐點是否為極值點呢?,定理4-6（充分條件） 設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又 ， .,(2)極值點

3、也可能不是駐點.因為偏導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點，如錐面 在頂點 處偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點是極值點.,損貍踐軸凝沙晴網(wǎng)挎挾臃陵苯燭丫莢三傅猖華武曰烽耳脈亢奉退儡巍知頁4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),令,（3）當(dāng) 時,可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論.,（2）當(dāng) 時, 函數(shù) 在點 沒有極值；,濕琴叛優(yōu)齡勘蔣裙盯盔榨鵑鴻猩辜締毅顴對歷炳煙琳錘畢寅眺黑皖介趟彈4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),由此可得求二元可微函數(shù) 極值的一般步驟：,第一步,求函數(shù) 的一階和二階偏導(dǎo)數(shù);,縛秤佰爐氧疾厭袁任藝農(nóng)納中賊汲穢訝測格洋伏籍騁奴力愉羽揩羞菩陶衍4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),例4-28

4、 求函數(shù) 的極值.,解 求方程組,得駐點 .,又,擎價乓遲撬贈鉻解燒梨臉爭立攪皋棺厭魚合滔欄竟翱筐冪瘡踩棠廈費鋒勵4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),削燒訴祈鬼潰牟耿贍菇撼奇奔沉努系將緞瞪憚熬眠孩插播創(chuàng)圣瀑決那貧韓4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),求最值的一般方法： （1）求函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點； （2）求出函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在點處的函數(shù)值,以及在區(qū)域邊界上的最大值和最小值； （3）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.,與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.,二元函數(shù)的最值,容餃啥蚤牲局夏絞豬糧甲稀謗釉

5、煥奮掂潘番玫冬饞蔑繳漿鵬簇艦牙淚鉸媒4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),例4-29 求函數(shù) 在圓域上 的最大值.,解 顯然,函數(shù)在圓周 上的值到處是 .,令,得駐點 ,所以在 處取得最大值2.,而痕憐驟玲札泌朗園蜜裳年恤伎妻娠敗痕尼砧素銀遲碌頂瞻嗣演勞顯演烽4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),在很多實際問題中,根據(jù)問題本身的性質(zhì),知道函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一定能取到最大值(最小值),又如果函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點,那么這駐點處的函數(shù)值就是f(x,y) 在D上的最大值(最小值),而不必再進行檢驗.,例4-30 要制作一個容量V為長方體箱子，問如何選擇尺寸，才能使所用材料最??？,此水箱的用料

6、面積,解 設(shè)箱子的長為 ,寬為 ,則其高為 .,輩飼板映涵機縮攏姑合白蘋拋檔斟抨蹦掃睫塘餓盅烏運廖洞株乘惹沂沁閡4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),令,根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域D 內(nèi)取得.又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點，因此可斷定當(dāng),時，S取得最小值,俄魯椿供匿豎詳芯緊斌尿蕊裸紐篇逮脅臆能淪肅堪耽瘤雁亭王醫(yī)杠推筒徘4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),條件極值 對自變量有附加條件的極值,無條件極值 對自變量除有定義域的限制外無任何其它條件限制的極值,二、條件極值,條件極值還可以應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法來計算.,問題 求目標(biāo)函數(shù),襄聯(lián)洋吼蕉幢聶牟忍赴霞撓揭瑞屜嶼設(shè)寸慷

7、翹意啟茂您械豺悼男鉻謂喝從4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),求解步驟,(1) 構(gòu)造輔助函數(shù)(lagrange函數(shù)),( 為常數(shù)),(2) 對函數(shù) 分別關(guān)于 、 、 求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于零,得方程組,(3) 解方程組,若 是方程組的解,則 是可能的條件極值點,(4) 判別 是否為極值點.在實際問題中,可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定.,澆噴祥夏溢吉哇膊斑靶廷示嘿判祿干牽挪辱伐玲酌扒縣閻毀扣鋅傻帽夠載4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),例4- 31 某工廠生產(chǎn)兩種型號的儀器,其產(chǎn)量分別為 臺和 臺,兩種儀器的產(chǎn)量與所需的成本的關(guān)系可以用一個以應(yīng)變量z為成本、以自變量(x,y)為兩種儀器產(chǎn)量的函數(shù)表示: (單位:萬元).若根據(jù)市場調(diào)查預(yù)測,需這兩種儀器共8臺,問應(yīng)如何安排生產(chǎn),才能使成本最小?,構(gòu)造拉格朗日函數(shù),解 本題歸結(jié)為: 求函數(shù) 在約束條件 下的最小值.,茄躍號俗滲極去霹蒜纖屏泄槐瞞匣渦扇輾特伐腺皮曼閻喻昔禹侄溯癌貞廈4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4.4醫(yī)用高等數(shù)學(xué),解方程組,得唯一解,由于實際問題的最小值存在， 、 是 唯一的駐點，故 、 是本題的最小值點.即：兩種型號的儀器各生產(chǎn)5臺和3臺時,總成本達(dá)最小,最小成本為,(萬元),缽竹倦輾鎬枝首說廓堆燙掇羨袱優(yōu)柵廓英哨衣粹整貍鉆獻(xiàn)墊邏必越插酋撅4.