中考數(shù)學(xué)圓數(shù)學(xué)思想方法聚焦

1、【圓】數(shù)學(xué)思想方法聚焦一、分類討論思想例1已知兩相交圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長(zhǎng)為6cm，求這兩圓的圓心距分析：已知兩圓相交，求兩圓圓心距。解：分兩種情況：（1）如圖1，設(shè)O1的半徑為r1=5cm，O2的半徑為r2=4cm圓心Ol，02在公共弦的異側(cè) O1 O2垂直平分AB，AD=AB=3cm連O1A、 O2A，則 （cm）（2）如圖2，圓心Ol，02在公共弦AB的同側(cè)，同理可求01D=4cm，02D=（cm） （cm）點(diǎn)評(píng)：此題為基本題目；此題未給出圖形，所以應(yīng)分兩種情況求解；若題中給出圖形，按已知圖形分析求解即可；若題中已知的相交兩圓是等圓時(shí)，兩相交等圓的圓心只能在公共弦兩側(cè)二、

2、方程思想例2 如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于E，弦CD，AF相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作O的切線交AF的延長(zhǎng)線于M，且.（1）在圖中找出相等的線段（直接在橫線上填寫，所寫結(jié)論至少3組，所添輔助線段除外，不寫推理過程）：.（2）連結(jié)AD，AF（請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整），若，求ACDF的值.【分析】（1）利用垂徑定理易知：CE=DE，而由可知C=CAG. AG=CG.根據(jù)相似可求得CGDG=AGGF，可得DG=FG.（2） 先根據(jù)相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，設(shè)EG=x，則AG可用x表示，再用RtAEG建立x的方程，求出x，用AGCDGF得AC與DF的比.解：（1）CE=DE，AG=CG，DG=

3、FG.（2）連接AC. ABCD， EC=ED，AC=AD.由相交弦定理，得AEBE=CE2 . CE=3. CD=AF=6.又 GDF=GFD， GD=GF.設(shè)EG=x，則AG=6-（3-x）=3+x.在RtAEG中，【小結(jié)】本題是一道垂徑定理，圓周角定理，相交弦定理，切割線定理合為一體的綜合題，第（1）問有開放性和探索性，第（2）問運(yùn)用了方程思想，全面考查了對(duì)圓相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí).三、代數(shù)思想例3如圖所示，O的直徑ABCD，E為OD的中點(diǎn)，AE交O于點(diǎn)G，CG交OB于點(diǎn)F.求證：OB3OF.【分析】 確定兩條線段之間的倍數(shù)關(guān)系，一般采用尋找等分點(diǎn)的直接證法和借助中間量的間接證法.根據(jù)本題的已知

4、條件，可依據(jù)三角形相似比的關(guān)系，借助系數(shù)k尋求OB、OF的關(guān)系.證明：設(shè)半徑OA2k，則OE=ED=k，AB=2OA=4k，OA=OCOB2k.連結(jié)DG、BG.四、運(yùn)動(dòng)的思想例4已知：如圖，ABC的外部有一動(dòng)點(diǎn)P（不能在直線BC上），分別連結(jié)PB、PC，試確定BPC與BAC的大小關(guān)系分析：BPC與BAC之間沒有聯(lián)系，要確定BPC與BAC的大小關(guān)系，必須找恰當(dāng)?shù)妮d體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過構(gòu)造ABC的外接圓，問題就會(huì)迎刃而解解：如圖弧BAC和弧BMC是包含圓周角等于BAC 的兩段弧（BMCBAC），1當(dāng)點(diǎn)P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線BC上時(shí)，BPCBAC證明：1當(dāng)點(diǎn)P

5、在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線BC上時(shí)，如圖，連結(jié)BD，根據(jù)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，BPCBDC，又BDC=BAC，BPCBAC，（若點(diǎn)P在BC下側(cè)的弓形BAC和弓形BMC外時(shí)，同法可證出BPCBMC即BPCBDC，又BDC=BAC，BPCBAC，（若點(diǎn)P在弓形BMC內(nèi)且在MBC外時(shí)，同法也可證出BPCBMC即BPCBAC）五、割補(bǔ)思想例5如圖，將半徑為2cm的O分割成十個(gè)區(qū)域，其中弦AB、CD關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，EF、GH關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，連接PM，則圖中陰影部分的面積是_cm2（結(jié)果用表示）解析：如圖，根據(jù)對(duì)稱性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此陰影部分的面積

6、占整個(gè)圓面積的，應(yīng)為：（cm2）點(diǎn)評(píng)把所求不規(guī)則圖形，通過已知的分割線把原圖形分割成的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，轉(zhuǎn)化為可求面積的圖形分類思想在圓中的應(yīng)用例1已知兩圓半徑之比是5:3，如果兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于6，問當(dāng)兩圓的圓心距分別是24、5、20、0時(shí)，相應(yīng)兩圓的位置關(guān)系如何?選題意圖：考查兩圓五種位置關(guān)系.解：設(shè)大圓半徑R=5x兩圓半徑之比為5: 3，小圓半徑r=3x，兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于6，5x-3x=6，x=3，大圓半徑R=15，小圓半徑r=9，當(dāng)兩圓圓心距dl=24時(shí)，有dl=R+r，此時(shí)兩圓外切；當(dāng)兩圓圓心距d2=5時(shí)，有d2R-r， 此時(shí)兩圓內(nèi)含；當(dāng)兩圓圓心距d3=20時(shí)， 有R-rd3PQ BSQP CSP且P=Q DS=P=Q分析：要想比較各個(gè)圖形中陰影部分的面積，由于若逐一計(jì)算，顯然有些麻煩，但考慮將六個(gè)扇形的圓心角合為一個(gè)整體，則可以利用多邊形內(nèi)角和定理，分別求得六個(gè)圓心角之和，這樣就可以通過扇形面積公式從整體上求解。解：因?yàn)閳D甲是六邊形，即六個(gè)圓心角之和為=720；圖乙六個(gè)圓心角之和為平行四邊形的內(nèi)角和加上兩個(gè)半圓的圓心角，即；圖丙中六個(gè)圓心角之和為三角形內(nèi)角和加上三個(gè)半圓的圓心角，即：。因此可見，這三個(gè)圖形中的六個(gè)扇形的面積之和是相等的，即陰影部分的面積為：.故外側(cè)扇形面積S=P=