中考數(shù)學(xué)重難點專題講座 第四講 一元二次方程與二次函數(shù)

1、中考數(shù)學(xué)重難點專題講座第四講 一元二次方程與二次函數(shù) 智康劉豪【前言】前三講，筆者主要是和大家探討中考中的幾何綜合問題，在這一類問題當(dāng)中，尤以第三講涉及的動態(tài)幾何問題最為艱難。幾何問題的難點在于想象，構(gòu)造，往往有時候一條輔助線沒有想到，整個一道題就卡殼了。相比幾何綜合題來說，代數(shù)綜合題倒不需要太多巧妙的方法，但是對考生的計算能力以及代數(shù)功底有了比較高的要求。中考數(shù)學(xué)當(dāng)中，代數(shù)問題往往是以一元二次方程與二次函數(shù)為主體，多種其他知識點輔助的形式出現(xiàn)的。所以在接下來的專題當(dāng)中，我們將對代數(shù)綜合問題進(jìn)行仔細(xì)的探討和分析。 一元二次方程與二次函數(shù)問題當(dāng)中，純粹的一元二次方程解法通常會以簡單解答題的方式考

2、察。但是在后面的中難檔大題當(dāng)中，通常會和根的判別式，整數(shù)根和拋物線等知識點結(jié)合，所以我們繼續(xù)通過真題來看看此類問題的一般解法。第一部分 真題精講【例1】2010，西城，一模已知：關(guān)于的方程求證：取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱求二次函數(shù)的解析式；已知一次函數(shù)，證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立；在條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二

3、次方程，所以需要討論M=0和M0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實上這個一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個公共點（1，0）。根據(jù)這個信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號，也必須過該點。于是通過代點，將用只含a的表達(dá)式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,于是可以得出結(jié)果.【解析】解：（1）分兩種情況：當(dāng)時，原方程化為，解得， （不要遺漏）當(dāng)，原方程有實數(shù)根. 當(dāng)時，原方程為關(guān)于的一元二次方程， . 原方程有兩個

4、實數(shù)根. （如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了） 綜上所述，取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根. （2）關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，.（關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)一次項系數(shù)一定為0）.拋物線的解析式為. ，（判斷大小直接做差）（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）. （3）由知，當(dāng)時，.、的圖象都經(jīng)過. （很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）對于的同一個值，的圖象必經(jīng)過. 又經(jīng)過，. （巧妙的將表達(dá)式化成兩點式，避免繁瑣計算）設(shè).對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立，.又根據(jù)、的圖象可得 ，.（a

5、0時,頂點縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）. .而.只有，解得.拋物線的解析式為. 【例2】2010，門頭溝，一模關(guān)于的一元二次方程.（1）當(dāng)為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項系數(shù)不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個交點，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為

6、y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.【解析】： （1）由題意得 解得 解得 當(dāng)且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根. （2）由題意得 解得（舍） (始終牢記二次項系數(shù)不為0) （3）拋物線的對稱軸是 由題意得 (關(guān)于對稱軸對稱的點的性質(zhì)要掌握) 與拋物線有且只有一個交點 (這種情況考試中容易遺漏) 另設(shè)過點的直線（） 把代入，得， 整理得有且只有一個交點， 解得 綜上，與拋物線有且只有一個交點的直線的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點（1）求的值；（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0

7、是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由；（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值【思路分析】 拿到題目，很多同學(xué)不假思索就直接開始代點，然后建立二元方程組，十分麻煩，計算量大，浪費時間并且可能出錯。但是仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標(biāo)是一樣的，說明他們關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有一個未知系數(shù)，所以輕松寫出對稱軸求出b。 第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個熱點，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察?？忌欢ㄒ盐掌揭坪蠼馕鍪桨l(fā)生的變化，即左加右減(單獨的x),上加下減(表達(dá)式整體)然后求出結(jié)果?！窘馕觥?

8、1)因為點P 、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等所以，拋物線對稱軸，所以，（2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0因為，=16-8=80所以，方程有兩個不同的實數(shù)根，分別是 ，（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位后的解析式為若使拋物線的圖象與軸無交點，只需 無實數(shù)解即可由=0，得又是正整數(shù)，所以得最小值為2【例4】2010，昌平，一模已知拋物線，其中是常數(shù) （1）求拋物線的頂點坐標(biāo)； （2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點（坐標(biāo)為整數(shù)的點），求此拋物線的解析式【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點的公式也可以算，但是如果巧妙

9、的將a提出來,里面就是一個關(guān)于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點式,節(jié)省了時間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點的可能取值.（1）依題意，得， 拋物線的頂點坐標(biāo)為 （2）拋物線與軸交于整數(shù)點，的根是整數(shù)是整數(shù)，是整數(shù) 是整數(shù)的完全平方數(shù)， (很多考生想不到這種變化而導(dǎo)致后面無從下手)取1，4，當(dāng)時，； 當(dāng)時， 的值為2或 拋物線的解析式為或【例5】2010，平谷，一模已知：關(guān)于的一元二次方程（為實數(shù)）（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求證：無論取何

10、值，拋物線總過軸上的一個固定點；（3）若是整數(shù)，且關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的整數(shù)根，把拋物線向右平移個單位長度，求平移后的解析式【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式0就可以了，依然不能遺漏的是m-10。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點既是求一個和未知系數(shù)無關(guān)的X,Y的取值.對于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進(jìn)行因式分解得到y(tǒng)=(mx-x-1)(x+1)就可以看出當(dāng)x=-1時,Y=0，而這一點恰是拋物線橫過的X軸上固定點.如果想不到因式分解,由于本題固定點的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個根,標(biāo)準(zhǔn)答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至

11、于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因為第二問中已求出另一根,所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡單.解：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根, ,的取值范圍是且. （2）證明：令得. (這樣做是因為已經(jīng)知道判別式是,計算量比較小,如果根號內(nèi)不是完全平方就需要注意了)拋物線與軸的交點坐標(biāo)為,無論取何值，拋物線總過定點 （3）是整數(shù) 只需是整數(shù).是整數(shù)，且, 當(dāng)時，拋物線為把它的圖象向右平移個單位長度，得到的拋物線解析式為 【總結(jié)】 中考中一元二次方程與二次函數(shù)幾乎也是必考內(nèi)容，但是考點無非也就是因式分解，判別式，對稱軸，兩根范圍，平移以及直線與拋物線的交點問題。總體來說這類題目不難，但是需要計算認(rèn)真，尤其

12、是求根公式的應(yīng)用一定要注意計算的準(zhǔn)確性。這種題目大多包涵多個小問。第一問往往是考驗判別式大于0，不要忘記二次項系數(shù)為0或者不為0的情況。第2,3問基于函數(shù)或者方程對其他知識點進(jìn)行考察，考生需要熟記對稱軸，頂點坐標(biāo)等多個公式的直接應(yīng)用。至于根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）近年來中考已經(jīng)盡量避免提及，雖不提倡但是應(yīng)用了也不會扣分，考生還是盡量掌握為好，在實際應(yīng)用中能節(jié)省大量的時間。第二部分 發(fā)散思考【思考1】. 2010，北京中考已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件

13、下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍. 【思路分析】去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過了.第一問自不必說，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡單.第二問要分情況討論當(dāng)k取何值時方程有整數(shù)根,一個個代進(jìn)去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個表達(dá)式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關(guān)于對稱軸的翻折,旋轉(zhuǎn)問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問題,一定要熟練掌握關(guān)于對稱軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖解決問題.【思考2】2009，東城，一模已知：關(guān)于的一

14、元二次方程（1）若求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若12m40的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值【思路分析】本題也是整根問題，但是不像上題，就三個值一個個試就可以試出來結(jié)果。本題給定一個比較大的區(qū)間,所以就需要直接用求根公式來計算.利用已知區(qū)間去求根的判別式的區(qū)間,也對解不等式做出了考察.【思考3】2009，海淀，一模已知: 關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2 的根為正實數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc（c0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標(biāo)為1. （1）若方程的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值； （2）求代數(shù)式的值；（3）求證: 關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 必有兩個不相等的實數(shù)根.【

15、思路分析】本題有一定難度，屬于拉分題目。第一問還好，分類討論K的取值即可。第二問則需要將k用a,b表示出來,然后代入代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.第三問則比較繁瑣,需要利用題中一次方程的根為正實數(shù)這一條件所帶來的不等式,去證明二次方程根的判別式大于0.但是實際的考試過程中,考生在化簡判別式的過程中想不到利用已知條件去套未知條件,從而無從下手導(dǎo)致失分.【思考4】2009，順義,一模. 已知：關(guān)于的一元二次方程（1）求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根滿足，求的值【思路分析】這一題第二問有些同學(xué)想到直接平方來去絕對值,然后用韋達(dá)定理進(jìn)行求解,但是這樣的話計算量就會非常大,所以此

16、題繞過韋達(dá)定理,直接用根的判別式寫出,發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于m的一次表達(dá)式, 做差之后會得到一個定值.于是問題輕松求解. 這個題目告訴我們高級方法不一定簡單,有的時候最笨的辦法也是最好的辦法.第三部分 思考題解析【思考1解析】解：（1）由題意得，為正整數(shù)，（2）當(dāng)時，方程有一個根為零；當(dāng)時，方程無整數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個非零的整數(shù)根綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意當(dāng)時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為AOxy864224B（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，則，依題意翻折后的圖象如圖所示當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得由圖象可知，符合題意的的取值范圍為【思考2解析

17、】證明： 方程有兩個不相等的實數(shù)根。 （2）方程有兩個整數(shù)根，必須使且m為整數(shù)又12m40， 59m=24 【思考3解析】解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.依題意 k-10. . 方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù), k-1=1或k-1=2. k1= 2, k2=3. （2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點（1，0）， 0 =a-b+kc, kc = b-a . = （3）證明：方程的判別式為 =(-b)2-4ac= b2-4ac. 由a0, c0, 得ac0.( i ) 若ac0. 故=b2-4ac0. 此時方程有兩個不相等的實數(shù)根. ( ii ) 證法一: 若ac0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1). 方程kx=x+2的根為正實數(shù)， 方程(k-1) x=2的根為正實數(shù).由 x0, 20, 得 k-10.