阻尼振動(dòng)的頻率

1、也談阻尼振動(dòng)的周期和頻率河北省遵化市建明鎮(zhèn)中學(xué)（064200）郭學(xué)山重慶市第七中學(xué)校（400030） 田雨禾文章提要：本文運(yùn)用求解二階常系數(shù)齊次微分方程的方法，討論了在欠阻尼條件下阻尼振動(dòng)的周期和頻率，得到了正確結(jié)論為阻尼振動(dòng)的周期要略大于該振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期，而阻尼振動(dòng)的頻率要小于其固有頻率。澄清了一些參考資料上對(duì)阻尼振動(dòng)周期和頻率的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在不考慮摩擦和其他阻力等因素的影響時(shí)，振動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以不管是單擺還是彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中振幅始終保持不變，這種振動(dòng)稱為無(wú)阻尼振動(dòng)。然而，實(shí)際的振動(dòng)總要受到阻力的影響，由于要克服阻力做功，振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少。同時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)與周

2、圍介質(zhì)相互作用，振動(dòng)向外傳播形成波，隨著波的傳播，系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少，因此振幅也逐漸減小。這種振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)因?yàn)檎穹c振動(dòng)的能量有關(guān)，阻尼振動(dòng)也就是能量不斷減少的振動(dòng)。阻尼振動(dòng)是非簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其圖象如圖1所示。筆者最近翻閱了幾本高中物理參考書(shū)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于阻尼振動(dòng)周期的說(shuō)法，概括起來(lái)有以下兩種：物體做阻尼振動(dòng)時(shí)，振幅雖不斷減小，但它振動(dòng)的周期和頻率仍由其自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)所決定，并不會(huì)隨振幅的減小而變化；阻尼振動(dòng)的振幅雖然不斷減小，但振動(dòng)頻率并不改變，這是因?yàn)檎駝?dòng)的頻率是由振動(dòng)物體的自身結(jié)構(gòu)決定的，等于固有頻率。無(wú)獨(dú)有偶，筆者在一些參考書(shū)上又看到了這樣的習(xí)題：“秒擺擺球質(zhì)量為0.2k

3、g，它振動(dòng)到最大位移時(shí)距最低點(diǎn)的高度為0.4cm，當(dāng)它完成10次全振動(dòng)回到最大位移時(shí)，因有阻尼作用距最低點(diǎn)的高度變?yōu)?.3cm，如果每振動(dòng)10次給它補(bǔ)充一次能量，使擺球回到原高度，那么1min內(nèi)總共應(yīng)補(bǔ)充多少能量？”此題的求解過(guò)程就是依據(jù)秒擺在做阻尼振動(dòng)時(shí)的周期依然是2秒來(lái)做的。對(duì)比以上兩種說(shuō)法，似異而實(shí)同。第一種說(shuō)法只是說(shuō)明了阻尼振動(dòng)的周期和頻率不隨振幅的減小而變化，這一點(diǎn)毫無(wú)疑問(wèn)是正確的。但是它又說(shuō)阻尼振動(dòng)的周期和頻率仍由其自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)所決定，言外之意就是等于其固有周期和頻率，因?yàn)橹挥泄逃兄芷诤皖l率才是由振動(dòng)系統(tǒng)自身的性質(zhì)所決定的。第二種說(shuō)法則非常明確地說(shuō)就是等于其固有周期和頻率。因此，

4、這兩種說(shuō)法無(wú)疑都認(rèn)為阻尼振動(dòng)的周期和頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期和固有頻率。以上說(shuō)法似乎言之鑿鑿，其實(shí)是錯(cuò)誤的。教材中只說(shuō)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期和頻率由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期和固有頻率，并未說(shuō)阻尼振動(dòng)的周期和頻率也由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，更沒(méi)有說(shuō)等于固有周期和固有頻率。筆者認(rèn)為，要徹底弄清這個(gè)問(wèn)題，還應(yīng)該進(jìn)行定量計(jì)算。以彈簧振子在較粘稠的液體中的緩慢運(yùn)動(dòng)為例，如圖2所示，由流體力學(xué)可知，當(dāng)彈簧振子的速度較小時(shí)，其所受阻力的大小和速度的大小成正比，即由牛頓第二定律，得式中是阻力系數(shù)。以m遍除各項(xiàng)，得令 0為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，為阻尼系數(shù)，和振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)以及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。

5、于是，方程可寫(xiě)為為二階常系數(shù)齊次微分方程，通解為為了與高中教材吻合，此處只討論阻力很小的欠阻尼狀態(tài)的阻尼振動(dòng)，即0，由上式可求出彈簧振子中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為其中A和為待定常數(shù)，由初始條件決定。此式中包含兩個(gè)因子，Aet表示隨時(shí)間衰減的振幅，表示振動(dòng)以為圓頻率做周期性變化，二因子相乘表示質(zhì)點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)范圍逐漸減小的往復(fù)運(yùn)動(dòng)阻尼振動(dòng)，其對(duì)應(yīng)的圖線亦如圖1所示。由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不可能每經(jīng)過(guò)一定時(shí)間便完全重復(fù)出現(xiàn)，因此阻尼振動(dòng)不是周期性運(yùn)動(dòng)。不過(guò)，是周期變化的，它保證了質(zhì)點(diǎn)每連續(xù)兩次通過(guò)平衡位置并沿相同方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間間隔是相同的，于是把的周期叫做阻尼振動(dòng)的周期，并用T表示，則有顯然，阻尼振動(dòng)的周期大于同樣振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期（固有周期）對(duì)應(yīng)的頻率則小于其固有頻率。綜上所述，阻尼振動(dòng)的周期和頻率是固定的，并不隨振幅的減小而改變，但也不等于其固有周期和固有頻率。在教學(xué)中雖不能講授有關(guān)微分方程的運(yùn)算，告訴學(xué)生正確的結(jié)論還是