高等數(shù)學第9章試題

1、高等數(shù)學院系_學號_班級_姓名_得分_題號選擇題填空題計算題證明題其它題型總分題分2020202020核分人得分復查人一、選擇題（共 20 小題，20 分）1、 設(shè) 是由z及x2+y2+z21所確定的區(qū)域，用不等號表達I1，I2，I3三者大小關(guān)系是A. I1I2I3; B. I1I3I2; C. I2I1I3; D. I3I2I1. 答 ( )2、 設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則積分 可交換積分次序為 答 ( )3、 設(shè)是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所圍第一卦限部分的有界閉區(qū)域，且f(x,y,z)在上連續(xù)，則等于(A) (B) (C) (D) 答 ( )4、 設(shè)u=f(t)是(,

2、+)上嚴格單調(diào)減少的奇函數(shù)，是立方體：|x|1;|y|1;|z|1.I= a,b,c為常數(shù)，則(A) I0 (B) I0 (B) I0(C) I=0 (D) I=2(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv 答 ( )20、 設(shè)為一空間有界閉區(qū)域，f(x,y,z)是一全空間的連續(xù)函數(shù)，由中值定理而V為的體積，則：(A) 若f(x,y,z)分別關(guān)于x,y,z為奇函數(shù)時f(,)=0(B) 必f(,)0(C) 若為球體x2+y2+z21時f(,)=f(0,0,0)(D) f(,)的正負與x,y,z的奇偶性無必然聯(lián)系 答 ( )二、填空題（共 20 小題，20 分）1、 根據(jù)二重積分的幾何意義 =_.

3、其中D：x2+y21.2、 設(shè)是一空間有界閉區(qū)域，其上各點體密度為該點到平面Ax+By+Cz=D的距離平方。則質(zhì)量的三重積分公式為_.3、 設(shè)D：x2+y22x,由二重積分的幾何意義知=_.4、 設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且f(x,y)0,則的幾何意義是_.5、 二次積分f(x,y)dy在極坐標系下先對r積分的二次積分為_.6、 設(shè)積分區(qū)域D的面積為S,(r,e)為D中點的極坐標，則_.7、 根據(jù)二重積分的幾何意義 其中D：x2+y2a2,y0,a0.8、 設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界，把D任意分成幾個小區(qū)域i(i=1,2,n)，在每一個小區(qū)域i上任取一點(i,i),如

4、果極限存在(其中入是_)，則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分，記作9、 設(shè)積分區(qū)域D的面積為S，則 10、 設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)，則由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=f(xy)2所圍立體的體積可用二重積分表示為_.11、 設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域上可積，=12,，則I=f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+_ _。12、 設(shè)為空間有界閉區(qū)域，其上各點的體密度為該點到平面Ax+By+Cz+D=0的距離。則關(guān)于直線 的轉(zhuǎn)動慣量的三重積分公式為_.13、 設(shè)D：x2+y24,y0,則二重積分 14、 設(shè)1:x2+y2+z2R2,2:x2+y2+z2R2;x0;y0;z

5、0.u=f(t)是(,+)上的偶函數(shù)，且在(0，+)上嚴格單調(diào)增加，則(A) xf(x)dv=4xf(x)dv (B) f(x+z)dv=4f(x+z)dv(C) f(x+y)dv=4f(x+y)dv (D) f(xyz)dv=4f(xyz)dv 答（ ）15、 二次積分f(x,y)dy在極坐標系下先對r積分的二次積分為_.16、 =_。17、 設(shè)平面薄片占有平面區(qū)域D，其上點(x,y)處的面密度為(x,y)，如果(x,y)在D上連續(xù)，則薄片的質(zhì)量m=_.18、 設(shè)區(qū)域D是x2+y21與x2+y22x的公共部分，試寫出在極坐標系下先對r積分的累次積分_.19、 設(shè)為一有界閉區(qū)域，其上各點的體密

6、度為(x,y,z).設(shè)M為其質(zhì)量，而 ( , )為其重心，關(guān)于xoy平面的靜矩定義為：Mxy = M, Mxy的三重積分計算式為_.20、 設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界，把D任意分成n個小區(qū)域i(i=1,2,n),在每一個小區(qū)域i任意選取一點(i,i),如果極限 (其中入是i(i=1,2,n)的最大直徑)存在，則稱此極限值為_的二重積分。三、計算題（共 20 小題，20 分）1、 計算二重積分其中2、 設(shè)是由x=0,y=0,z=0,x=1y2及所圍的有界閉區(qū)域。計算I=.3、 設(shè)D是由直線x+y=a,x+y=b,y=x,y=x所圍的有界閉區(qū)域(0ab;0b0)所確定的閉區(qū)域。試計算7

7、、 計算二重積分 其中D：0ysinx, .8、 計算二重積分 其中D是由拋物線y2=2px和直線x=p(p0)所圍成的區(qū)域。9、 設(shè)是由曲面z=x2+y2,z=2(x2+y2),xy=1,xy=2,y=2x及x=2y所圍位于x0及y0部分的閉區(qū)域。試計算I=10、 計算三重積分I=，其中是由所圍位于部分的立體11、 設(shè)是由a2x2+y22a2 (a0)，y0，z0以及所確定的閉區(qū)域。試計算12、 計算二重積分 其中D：x2+y21.13、 由二重積分的幾何意義，求14、 計算二重積分 其中積分區(qū)域D是x2+y2a2 (a0).15、 設(shè)是由以及0zsin(x+y)所確定的立體。試計算16、

8、計算二次積分 17、 計算二重積分其中18、 計算二重積分 其中D：xy,0x1.19、 設(shè)是由,y=0,z=0及所圍的有界閉區(qū)域。試計算.20、 計算二重積分 其中D是由直線x=2,y=0,y=2及左半圓x= 所圍成的區(qū)域。四、證明題（共 20 小題，20 分）1、 試證：在平面薄片關(guān)于所有平行于oy軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量中，對于穿過重心的軸所得的轉(zhuǎn)動慣量最小。2、 設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明 3、 錐面x2+y2z2=0將閉區(qū)域x2+y2+z22az (a0)分割成兩部分，試證其兩部分體積的大小之比為3：1.4、 設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且D可以分為兩個閉域D1和D2，證明 5、

9、設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且f(0)=0,證明 6、 設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且M，m分別是f(x,y)在D上的最大值與最小值，證明： 其中是D的面積。7、 設(shè)為單位球體x2+y2+z21,試證可選擇適當?shù)淖鴺俗儞Q，使得 (a2+b2+c2=1)8、 設(shè)f(x,y)為區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)，試證9、 設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在D上連續(xù)，且f(x,y)g(x,y),(x,y)D，利用二重積分定義證明： 10、 設(shè)f(x)是a,b上的連續(xù)正值函數(shù)，試證不等式： 其中D：axb,ayb.11、 設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，試證 12、 設(shè)是上半單位球體x2+y2=z21,z0,f(x,y,

10、z)在上連續(xù)，試利用球面坐標積分方法證明(，)使得13、 設(shè)p(x)是a,b上的非負連續(xù)函數(shù)，f(x),g(x)是a,b上的連續(xù)單增函數(shù)，證明 14、 設(shè)f(x)是0,1上的連續(xù)單增函數(shù)，求證： 15、 設(shè)為由1所確定的立體(0abc)，其密度函數(shù)=(z)為關(guān)于z的偶函數(shù)。試證：對任意的(x0,y0,z0)，關(guān)于(x0,y0,z0)的轉(zhuǎn)動慣量滿足I(x0,y0,z0)=(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2(z)dvI(0,0,c).16、 設(shè)是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所圍的有界閉區(qū)域，,f(x,y,z)在上連續(xù)，試證

11、：(，)滿足17、 證明： 其中n為大于1的自然數(shù)。18、 設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)V,V為的體積，試證：當f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值時f(x,y,z)在必是一個常數(shù)。19、 設(shè)為區(qū)域x2+y2+z21,P0(x0,y0,z0)為外的一點，試證：。20、 設(shè)f(x)是0,1上的連續(xù)正值函數(shù)，且f(x)單調(diào)減少，證明不等式： 五、其它題型（共 20 小題，20 分）1、 設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分 的積分次序。2、 按照三重積分的定義：.試問這里的,(i,i,i)分別代表什么?3、 設(shè)f(x,

12、y)是連續(xù)函數(shù)，交換積分 的積分次序。4、 設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分 的積分次序。5、 是由x2+y2+z22Rz (R0)所確定的立體，試將化成球面坐標下的三次積分式。6、 在形狀為z=x2+y2的容器內(nèi)注入k立方單位的水，問此時水平面高度為多少，并求出高度對k的變化率。7、 設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分 的積分次序。8、 試求由封閉曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2), (a0)所圍立體的體積。9、 設(shè)是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所圍的有界閉區(qū)域，試將I=分別化成直角，柱面及球面坐標下的三次積分式。10、 將積分化為在極坐標系中先對r積分的累次積分。11、 是邊長分別為a,b,c的長方體，若其內(nèi)任一點處的體密度等于該點到一頂點距離的平方，試求是質(zhì)量。12、 F(t)=,其中f(u)為連續(xù)的偶函數(shù)，區(qū)域t:由|x+y+z|t,|xy+z|t,|x+yz|t來確定。求。13、 設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，交換積分 的積分次序。14、 平面薄片由曲線,x=0及所圍成，其面密度函數(shù)為(x,y)=x.試求薄片質(zhì)量。15、 將積分化為在極坐標系中的累次積分，其中