ACM課件(lecture08)母函數(shù).ppt

1、ACM程序設計,杭州電子科技大學 劉春英 ,2020/8/10,2,上一周，,你 了嗎？,練習,2020/8/10,3,每周一星（7）：,07054202,2020/8/10,4,第八講,母函數(shù)及其應用 （Generation function）,2020/8/10,5,從遞推關(guān)系說起,2020/8/10,6,研究以下多項式乘法：,可以看出： x2項的系數(shù)a1a2+a1a3+.+an-1an中所有的項包括n個元素a1，a2， an中取兩個組合的全體； 同理：x3項系數(shù)包含了從n個元素a1，a2， an中取3個元素組合的全體； 以此類推。,(81),2020/8/10,7,若令a1=a2= =a

2、n=1，在（8-1）式中a1a2+a1a3+.+an-1an項系數(shù)中每一個組合有1個貢獻，其他各項以此類推。故有：,（82）,特例：,2020/8/10,8,母函數(shù)定義：,對于序列a0，a1，a2，構(gòu)造一函數(shù)：,稱函數(shù)G(x)是序列a0，a1，a2，的母函數(shù),2020/8/10,9,For example:,(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),.,C(n,n)的母函數(shù)。 如若已知序列a0，a1，a2，則對應的母函數(shù)G(x)便可根據(jù)定義給出。 反之，如若已經(jīng)求得序列的母函數(shù)G(x)，則該序列也隨之確定。 序列a0，a1，a2，可記為an 。,2020/8/10,10,實 例 分 析,2

3、020/8/10,11,例1：若有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？各有幾種可能方案？,如何解決這個問題呢？考慮構(gòu)造母函數(shù)。 如果用x的指數(shù)表示稱出的重量，則： 1個1克的砝碼可以用函數(shù)1+x表示， 1個2克的砝碼可以用函數(shù)1+x2表示， 1個3克的砝碼可以用函數(shù)1+x3表示， 1個4克的砝碼可以用函數(shù)1+x4表示，,2020/8/10,12,幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數(shù)的乘積表示：,(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x1

4、0,從上面的函數(shù)知道：可稱出從1克到10克，系數(shù)便是方案數(shù)。 例如右端有2x5 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。 故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1,2020/8/10,13,例2：求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數(shù)值的方案數(shù),因郵票允許重復，故母函數(shù)為：,以展開后的x4為例，其系數(shù)為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數(shù)為4； 即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2,2020/8/10,14,概念：整數(shù)拆分,所謂整數(shù)拆分即把整數(shù)分解成若干整數(shù)的和（相當于把n個無區(qū)別的球放到n個無標志的盒子，盒子允許空，也允

5、許放多于一個球）。 整數(shù)拆分成若干整數(shù)的和，辦法不一，不同拆分法的總數(shù)叫做拆分數(shù)。,2020/8/10,15,練習（寫出以下問題的母函數(shù)）：,例3：若有1克砝碼3枚、2克砝碼4枚、4克砝碼2枚，問能稱出哪幾種重量？各有幾種方案？,例4: 整數(shù)n拆分成1，2，3，m的和，求其母函數(shù)。,例5：如若上例中m至少出現(xiàn)一次，其母函數(shù)又如何？,2020/8/10,16,如何編寫程序?qū)崿F(xiàn)母函數(shù)的應用呢？,核心問題,關(guān)鍵：對多項式展開,2020/8/10,17,以整數(shù)拆分為例：,觀察以下的母函數(shù)：,首先思考：如果讓你手工計算，你是怎樣處理的？,實際編程：讓計算機按照自己的思路計算即可,/ Author by

6、lwg #include using namespace std;const int lmax=10000; int c1lmax+1,c2lmax+1;int main()int n,i,j,k;while (cinn)for (i=0;i=n;i+) c1i=0;c2i=0; for (i=0;i=n;i+) c1i=1; for (i=2;i=n;i+)for (j=0;j=n;j+)for (k=0;k+j=n;k+=i) c2j+k+=c1j; for (j=0;j=n;j+) c1j=c2j;c2j=0; coutc1nendl;return 0; ,2020/8/10,19,主打

7、例題：HDOJ_1398 Square Coins,Sample Input 210300 Sample Output 1427,2020/8/10,20,算法分析：,典型的利用母函數(shù)可解的題目。 G(x)=(1+x+x2+x3+x4+)(1+x4+x8+x12+)(1+x9+x18+x27+),2020/8/10,21,/HDOJ_1398 Square Coins #include using namespace std; const int lmax=300; int c1lmax+1,c2lmax+1; int main(void) int n,i,j,k; while (cinn ,

8、2020/8/10,22,/HDOJ_1398 Square Coins /變化一點點，靈活多多多 int main(void) int n,i,j,k; int elem17=1,4,9,16,25,36,169,196,225,256,289 while (cinn ,2020/8/10,23,思考（1）：,HDOJ_1028 Ignatius and the Princess III,2020/8/10,24,思考（2）：,HDOJ_1085 Holding Bin-Laden Captive!,2020/8/10,25,思考（3）：,HDOJ_1171 Big Event in HDU,2020/8/10,26,思考（4）：,HDOJ_1709The Balance,Any questions?,2020/8/10,28,附：相關(guān)作業(yè)(hdoj)：,2008ACM ProgrammingExercise(9)_母函數(shù),1，2，3，Go! 一定要練習