第5章巖土體穩(wěn)定理論章5-極限穩(wěn)定分析20101101.ppt

1、路基工程理論與技術(shù) Theory and Technology of Subgrade Engineering 主講教師：王連俊 教師單位：土建學(xué)院道鐵系 授課班級：道鐵2010碩士 授課學(xué)時：32學(xué)時 授課時間：8周（10.11-12）,2020/8/10,2,第5章 極限穩(wěn)定分析,如果忽略材料的強化和物體由于變形而引起的幾何尺寸改變，則當外力達到某值時，理想塑性體可在外力不變的情況下，發(fā)生無限制的塑性變形塑性流動。這時，就稱物體處于極限狀態(tài)，或者說，物體瀕臨塑性破壞狀態(tài)。 與極限狀態(tài)或破壞狀態(tài)相對土的荷載叫做物體的極限荷載(或極限承載能力)或破壞荷載。 本章將主要介紹理想塑性體處于極限狀態(tài)

2、的原理，即是所謂上限和下限原理；另外也要涉及到滑移場理論和極限平衡理論。,2020/8/10,3,5.1 塑性和破壞 5.1.1 土的破壞型式,作用于土體上的面力和體力系將引起土體內(nèi)部的應(yīng)力與應(yīng)變的變化。應(yīng)變的變化常常有一部分是彈性的，并立即可以恢復(fù)，但也可以產(chǎn)生一部分不可恢復(fù)的顯著的塑性應(yīng)變(在部分發(fā)生屈服)。 當外力增加時，土體內(nèi)有些部分可漸漸 達到其抗剪強度極限。一旦這一部分足夠擴大，以致形成不穩(wěn)定的機理，就將發(fā)生無限制的屈服。只要能夠保持外力，則不管土體的幾何形狀怎樣改變，這個屈服將是連續(xù)增加的。這個無限制屈服(不穩(wěn)定的)稱為破壞。,2020/8/10,4,總的說來，土的破壞與土類、土

3、的物理狀態(tài)，外荷條件，加荷速率等等有關(guān)。 其型式可分為斷裂破壞和剪切破壞兩大類。 在剪切破壞型式中又可分為脆性剪斷和塑性流動兩類。 例如強超固結(jié)粘土在低3條件下，或qu試驗中可得到斷裂破壞的型式，而正常固結(jié)粘土則一般多呈塑性流動破壞的型式。,2020/8/10,5,5.1.2 土的破壞與屈服 如前所述，屈服與破壞并不是同一概念。 屈服是指：土的彈性變形的上限，超過屈服點，土并不一定破壞，從屈服到破壞之間有一個塑性變形的范圍。 只有像堅硬巖石那樣的脆性材料，則往往破壞之前，只有彈性變形。一旦超過彈性極限立即產(chǎn)生破壞。對這種材料才可定義為：屈服即破壞，如圖101(a)所示。,圖101 各類土的屈服

4、和破壞,2020/8/10,6,理想的線彈性完全塑性體(圖101(b)，不是脆性材料。當達到彈性極限之后，會產(chǎn)生連續(xù)不斷的流動變形。因此，對于這種材料，可以認為彈性變形與塑性變形的界限十分清楚，屈服點也等于塑性流動的起始點，最后這種材料要趨于破壞。 由于屈服條件與應(yīng)變無關(guān)，在此情況下，屈服條件與破壞條件是相同的。 然而，實際的土十分復(fù)雜，如圖101(c)所示，達到 a 點以后，一般都屬于塑性變形，這種情況要定義實際土的屈服點和破壞點十分困難。 應(yīng)變軟化或塑性流動的(A)類土雖破壞極限較明確(即a點)，但以a點為屈服點就不十分準確； 應(yīng)變硬化(B)類土，則破壞點不易確定，屈服點就更不明確了。,2

5、020/8/10,7,5.1.3 土的破壞狀態(tài)分析 引起土體破壞的外力系稱為破壞荷載或極限荷載。 原則上平衡條件和應(yīng)變相容條件以及材料的應(yīng)力應(yīng)變性狀就足夠決定破壞前的應(yīng)力和位移的分布。 實際上，土的應(yīng)力應(yīng)變性狀是如此復(fù)雜而且與荷載歷史有關(guān)，以致在進行土工結(jié)構(gòu)物的分析時，常常需要加以大力簡化。 另一方面，由于我們只要求結(jié)構(gòu)物的破壞荷載，則可以不考慮具體的加載歷史而直接采用極限原理求解。這樣只考慮極限狀態(tài)的方法不但比較簡單，而在實際問題中又有一定的意義。,2020/8/10,8,如果采用塑性理論中的極限分析方法來研究土在塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變率問題，就必須將實際土簡化為理想完全塑性材料，即將圖101

6、(c)的應(yīng)變軟化實曲線簡化為一種塑性體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系線(即圖101(c)中虛線)。,2020/8/10,9,其關(guān)鍵問題在于折點如何選擇，若土體中各點應(yīng)變均勻，這種土將在相同時刻發(fā)展其峰值強度，塑性區(qū)內(nèi)最大平均強度，接近峰值強度，則折點可取峰值點；若土體的大部分要經(jīng)歷較大的塑性應(yīng)變才破壞，塑性區(qū)的平均強度更接近于殘余強度，則折點應(yīng)取殘余強度或終值。所以在土的極限分析中，常采用下面幾個假定： 1 屈服條件與應(yīng)變無關(guān)，不考慮彈性階段的變形。 2 沒有強化效應(yīng)和應(yīng)變軟化現(xiàn)象，屈服條件與破壞條件相同。 3 變形足夠小，變形前后都能使用同一個平衡方程。 4 在獲得極限(破壞)荷載前，土體不失去穩(wěn)定性。,20

7、20/8/10,10,在土的極限分析中，主要應(yīng)該求出極限荷載的大小，即要知道土體在極限狀態(tài)下，能承受多大的荷載，如果超過這個荷載值，土體即將破壞，當由完全塑性材料組成的土體處于破壞點時，土體的某區(qū)域必定已經(jīng)達到其抗剪強度極限(即超過了屈服點)。這個區(qū)域必須足夠的大，以便形成不穩(wěn)定機理。 例如地基穩(wěn)定性被破壞后，至少基礎(chǔ)底面以下和兩側(cè)有相當大的區(qū)域達到了極限狀態(tài)，荷載也達到了極限，于是形成了不穩(wěn)定機理。在這個塑性區(qū)域中，應(yīng)力與應(yīng)變分量必須滿足： 1. 平衡條件； 2. 屈服條件； 3. 控制屈服應(yīng)力分量與應(yīng)變速率之間關(guān)系的流動規(guī)則,2020/8/10,11,5.2 屈服條件與流動規(guī)則 5.2.1

8、 屈服條件與應(yīng)變速率 如前所述，對于任何完全塑性的模型土，屈服條件與破壞條件是相同的。雖然摩爾庫侖屈服條件有些缺點，但是仍用于解決常見的實際問題，如土的極限分析等。屈服(以及破壞)條件可以寫成土的破壞型式,（101）,2020/8/10,12,為了使(101)式能配合應(yīng)力平衡條件聯(lián)合求解，必須把(101)式予以演化，以y，z，yz各項表達出來。如圖102所示，利用幾何關(guān)系可得：,（102）,2020/8/10,13,在粘性土中上式中括號內(nèi)的項可以始終視為外荷引起應(yīng)力與內(nèi)應(yīng)力Ccot之和，公式推演起來較方便，且可把C的因素視為一種應(yīng)力引起的強度分量。 若(y，z)坐標軸方向與大主應(yīng)力作用方向夾角

9、，則又可利用幾何關(guān)系得：,（103）,2020/8/10,14,將(102)式代入(103)式即獲得破壞時的y，z，yz項的表達式：,（104）,同時，利用幾何關(guān)系可求得(y，z)坐標上的通過a點的兩平面與1的作用方向夾角為(/4-/2)。土在這兩個平面上達到了強度的極限，因此形成滑動線，破壞時沿滑動線將發(fā)生移動。注意這些滑動線是摩爾庫侖模型土的一個特征，并不意味著在真正土中會出現(xiàn)這樣一些滑動線。,2020/8/10,15,其次，根據(jù)完全塑性材料的假定，凡滿足屈服條件的塑性區(qū)內(nèi)的任意應(yīng)力狀態(tài)，只要繼續(xù)維持下去，都會引起無限制的塑性應(yīng)變。因此屈服應(yīng)力與塑性應(yīng)變之間沒有直接的相互關(guān)系。于是，需要確

10、定的不是應(yīng)變，而是應(yīng)變相對于時間而增長的比率應(yīng)變速率。應(yīng)變速率的絕對值也不需要確定，因為在這種土工問題的研究中，只關(guān)心穩(wěn)定與否，并不規(guī)定土的特殊的流變性質(zhì)。只要求了解塑性區(qū)內(nèi)相對的應(yīng)變率分量值，由它決定著應(yīng)變率矢量的方向和塑性區(qū)土體變形的形狀。 總之，只要知道了塑性區(qū)內(nèi)任何處的應(yīng)變大小，就可以 確定該土體內(nèi)任意一點的相對位移及位移速度。我們所關(guān)心的仍然是速度分量的相對大小，因為它決定著速度矢量的方向。換言之，要求出表示塑性區(qū)內(nèi)各處運動的速度矢量的圖形速度場。,2020/8/10,16,（104b）,5.2.2 流動規(guī)則和塑性勢,2020/8/10,17,因而，對于莫爾庫侖材料，塑性勢函數(shù)可用下

11、列方程來確定：,（105a）,（106）,2020/8/10,18,2020/8/10,19,則相適應(yīng)的流動規(guī)則可寫成下式：,（105b）,因此，如果將屈服應(yīng)力分量及相應(yīng)的應(yīng)變率分量繪成圖形， 如圖103(a)所樂，由于屈服軌跡的斜率為tan 則可以看到應(yīng)變率矢量正交于屈服軌跡。土力學(xué)中，屈服條件也可以表示為下列形式：,或,2020/8/10,20,相適應(yīng)的流動規(guī)則可以用下式表達：,但是屈服軌跡的斜率為,（105c）,（105d）,2020/8/10,21,如圖103(b)所示，應(yīng)變率矢量正交于屈服軌跡。這個正交條件可以表明采用相適應(yīng)規(guī)則的一般結(jié)論,（a） （b） 圖103 應(yīng)變速率矢量的正交

12、性,2020/8/10,22,5.2.3 實際土的流動規(guī)則,2020/8/10,23,（106a）,2020/8/10,24,又因整個單元是屈服的，故,所以將上式代入式(106a)得到：,（106b）,上式意味著，剪應(yīng)力中整個摩擦所作的功在單元膨脹中被吸收，而能量消耗率只與C和p有關(guān)。如果沒有體積變化，那就沒有內(nèi)摩擦角了。 例如對于飽和不排水的軟粘土來說，它的uu值及體積應(yīng)變速率都是很小的，它的確符合上述相適應(yīng)流動規(guī)則。 當然不是所有的摩擦材料都具有這種不斷剪脹的特性，如對砂土來講，內(nèi)摩擦角o的中密以上的砂開始也可能產(chǎn)生剪脹，但它并不能一直不斷地繼續(xù)下去。試驗表明，即使在等體積條件下，砂一般仍

13、存在有摩擦阻力，因此很難認為砂土符合相適應(yīng)的流動規(guī)則。,2020/8/10,25,雖然相適應(yīng)的流動規(guī)則一般很難應(yīng)用于實際土工問題，但把相適應(yīng)的流動規(guī)則應(yīng)用到模型土上常有其優(yōu)點。首先，許多如極限原理的塑性理論的證明需要正交條件；其次，研究地基破壞荷載等對邊界上的速度場很少加以特殊限制，而且破壞荷載對速度場的微小改變是不大敏感的，因而受到流動規(guī)則變化的影響甚微。,2020/8/10,26,5.3 極限分析原理 5.3.1 基本概念,理論上，平衡條件和屈服條件以及流動規(guī)則是足以確定速度場、應(yīng)力分布以及破壞荷載的。然而，實際上除了很簡單的情況外，很少能獲得精確解答。大多數(shù)情況下只能獲得可用的近似解答，

14、例如上，下限原理、滑動線場有限差分法以及假定滑動面的近似解等。,2020/8/10,27,在載荷系作用下處于平衡的變形體，若給出一微小的虛變形(或位移)，那么由于外力(或荷載)所做的虛功必等于內(nèi)力(或應(yīng)力合力)所做的虛功。 應(yīng)當指出，所謂虛變形，即不一定是實際的變形。 因而在產(chǎn)生虛變形的過程中真實的力所做的功就稱為虛功，這就是虛功原理。 它有兩個特點，(1)形狀的虛變化可以任意加入變形體上，不應(yīng)把它與真實荷載所引起變形體形狀的變化混淆起來；(2)在虛功原理的論述中，根本沒有涉及變形體的材料特性，所以虛功原理適用于所有變形體。應(yīng)用虛功原理時，所有力在虛變形中都當作常量。 設(shè)變形體處于平衡受力狀態(tài)

15、，體積為V，總表面積為A，變形體內(nèi)部受力狀態(tài)為ij則在變形體內(nèi)應(yīng)為,2020/8/10,28,其中F為單位體積力，在表面上應(yīng)有,Ti為作用表面上的力，ni為外法線n的方向余弦。因此，虛功原理可以用下列方程式表達：,當體積力Fi零時，上式為,式中ui為表面上虛變形。,(10-7a),(10-7b),2020/8/10,29,現(xiàn)在我們利用虛功原理來證明在極限狀態(tài)下，應(yīng)變速率的彈性部分為零。 設(shè)對應(yīng)于面力速率Ti和體力速率Fi的應(yīng)力速率場為ij及應(yīng)變速率場為ij,ij又分成彈性和塑性兩部分,利用虛功率原理，可得,在極限狀態(tài)下，外力為常值，所以,從上式得到,2020/8/10,30,對于理想塑性材料據(jù)

16、Drucker公設(shè)有,故有,(10-8),2020/8/10,31,5.3.2 極限分析原理,1靜力場和機動場 凡滿足平衡方程和力的邊界條件，并且不違背屈服條件的應(yīng)力場，稱為靜力許可的應(yīng)力場(或靜力場)，用符號ij*來表示，換句話說，ij*符合下列要求,2020/8/10,32,說明了兩個極限原理中的名詞含義，下面將介紹兩個極限分析原理，它又稱為極限分析的上下限定理，它是用來估計極限荷載大小最基本的定理。,2020/8/10,33,2下限定理 現(xiàn)研究承受已知荷載(也就是已知面力和體力系統(tǒng))的物體。假設(shè)選取了一任意應(yīng)力場，即定出了物體內(nèi)各處應(yīng)力狀態(tài)的任意應(yīng)力圖形。 如果任何地方的應(yīng)力都不超過屈服

17、極限，則這應(yīng)力場稱之為穩(wěn)定的應(yīng)力場。 如果任意點應(yīng)力與表面力和體積力相平衡，則按前述定義這應(yīng)力場稱為靜力許可應(yīng)力場。,2020/8/10,34,所以，對于一個完全塑性材料，如可求得一個穩(wěn)定的靜力許可應(yīng)力場，則在已知荷載下土體不會發(fā)生破壞。但這并不意味著已知荷載是土體所能支持的最大荷載，因為還可找到另一種穩(wěn)定應(yīng)力場，與另一較大的荷載相平衡。而破壞荷載不可能小于該荷載，只可能大于該荷載。 于是在與任何穩(wěn)定的靜力許可應(yīng)力場相平衡的荷載中，選出其中最大者，它就是破壞荷載(極限荷載)的下限，或下限解這就是下限定理。 現(xiàn)證明如下；,2020/8/10,35,2020/8/10,36,2020/8/10,3

18、7,設(shè)粘土地基上的基礎(chǔ)寬度為B，作用在地面上的均布壓力為q，粘土的容重為r，不排水強度為Cuu。選取圖105(a),(a)所選應(yīng)力場 (b)三個破壞區(qū)域的應(yīng)力莫兒圓,2020/8/10,38,所示的任意應(yīng)力場。因為地面上沒有剪應(yīng)力，所以只有垂直應(yīng)力和水平應(yīng)力分量平衡就行。雖然，所選的應(yīng)力場在實踐中是很不可能發(fā)生的，但這并不影響我們的論證。這里所討論的，就是應(yīng)力場與面力和體力的平衡，即應(yīng)力場是靜力許可的。如果沒有超過屈服應(yīng)力，則根據(jù)圖105(b)的莫爾園可證明,（10-10）,因此，能夠與所選應(yīng)力場平衡的最大荷載qmaxB是4CuuB，稱為可靜解，這個荷載就是破壞荷載的下界。,2020/8/10

19、,39,3. 上限定理 設(shè)選取一任意速度場，即決定物體內(nèi)各處運動的任意速度圖形。如果運動與物體的連續(xù)性到處協(xié)調(diào)，與邊界上運動的任何約束也協(xié)調(diào)，那么速度場被稱為運動許可的。 如果荷載位移所做的功超過物體變形中消散的能量，則速度稱為不穩(wěn)定。 對于具有相適應(yīng)流動規(guī)則的完全塑性材料，如果任何不穩(wěn)定的運動許可的速度場可以求得。那么在給定荷載下或者在二較小荷載下必定發(fā)生破壞，因此任何的運動許可的速度場，將內(nèi)部能量消散等于外力做功而算得的荷載，就是真正破壞荷載的上限，或上限解這就是上限定理。現(xiàn)證明如下：,2020/8/10,40,2020/8/10,41,由以上二式可得,（10-11，a）,根據(jù)正交法則有,

20、（10-11，b）,式(1011，a)同式(1011，b)矛盾，原假設(shè)不成立。這樣，第二極值定理上限定理得到證明。,2020/8/10,42,對于圖105所示的問題，現(xiàn)研究如圖106所示的在園形薄變形層上的滑動破壞。因為等于零，所以這個運動是與流動規(guī)則相協(xié)調(diào)的。在邊界上的位移也沒有約束。因此速度場是運動許可的。總的能量消散速率根據(jù)式(106，b),如圖106所示。,于是總的能量消散速率是,2020/8/10,43,外力做功的速率是,根據(jù)外力做功與內(nèi)部能量消散相等，并在兩邊除以,得,2020/8/10,44,（10-12，a）,2020/8/10,45,因此它是破壞荷載的上限解。而實際的破壞荷載

21、可能介于上下限解兩者之間，即 （10-12，b）,2020/8/10,46,我們研究無支撐垂直邊坡臨界高度的確定問題。設(shè)垂直邊坡處于破壞點的高度為Hc，在坡外從上向下的開裂深度為nHc，如圖107所示。 1上限法解答 按外部所作的功等于內(nèi)部能量消耗的原理推演。 設(shè)楔體以速度v運動。因滑楔的運動與滑動圓成角(圖107)，所以垂直速度是vcos(+)。于是重力做功的速率為,5.3.3 應(yīng)用舉例,2020/8/10,47,內(nèi)部能量消散速率為,令兩者相等，得：,2020/8/10,48,代入Hc的表達式得到，,(10-13),2020/8/10,49,2. 下限法解答 現(xiàn)研究圖108，a所示的應(yīng)力場。

22、如果這個應(yīng)力場滿足破壞條件，它既是可靜的又是穩(wěn)定的，那么莫爾園圖解(圖108，b)證明，在區(qū)域1的底部單元體進入破壞狀態(tài)時：,(a)所選應(yīng)力場； (b)區(qū)域1底部破壞時莫爾圖 圖108 垂直邊坡的臨界高度,2020/8/10,50,(10-14) 下限,(10-13) 上限,2020/8/10,51,2020/8/10,52,5.4 滑動線場解答,2020/8/10,53,所以,（10-15，a）,2020/8/10,54,塑性區(qū)內(nèi)的平衡條件可以寫作,（10-15，b）,將上面給出的應(yīng)力分量值代入，就可以得到關(guān)于和的兩個聯(lián)合微分方程式。給出足夠的邊界條件后，這些方程式的解答得出塑性區(qū)內(nèi)各點應(yīng)力

23、分量的大小以及滑動線的方向，Kotter（1888）首先得出無粘性土的這種類型的方程，Jlky（1939）證明，Kotter方程式同樣適用于凝聚性材料。,2020/8/10,55,現(xiàn)研究一純粘性土（=0）地基上一條光滑底面的基礎(chǔ)穩(wěn)定性問題，假設(shè)土為無重介質(zhì)，故式（10-15，b）中體積為Z，Y=0?？梢宰C明，在=0的情況下，對數(shù)螺旋線演化為一圓弧地面內(nèi)破壞面如圖10-10（a）所示。土的抗剪強度為：,根據(jù)圖10-9，應(yīng)力分量yz以及yz可表示如下：,圖10一10 無重量上基表面上均布荷載作用下普朗特爾解答,2020/8/10,56,（10-16，a）,將此結(jié)果代入應(yīng)力平衡方程式(1015，b)

24、，得：,（10-16，b）,2020/8/10,57,若使y、z軸與第一，第二滑動線分別重合，則=0，并且,式中Sa和Sb分別為沿a，b兩滑動線上的長度。上述方程式就變成：,（10-17）,這個方程式就是描述破壞面上應(yīng)力變化的方程式，通常稱Kotter方程式。,2020/8/10,58,Kotter方程式并不隨所選擇的坐標方向而定，所以不必非取=0不可。若滑動線為直線，則沿線=const。得,這樣，式(1017)也變成,2020/8/10,59,沿a簇直線滑動線上,但沿b簇園弧滑動線就不同，設(shè)某滑動線其半徑為r， 則由式,2020/8/10,60,（10-18a）,將其積分可得：,（10-18b）,式中，A為待定常數(shù)。從=0處的邊界條件上應(yīng)力可以給出，例如條基外側(cè)地基表面ad開始計算，那里=0,2020/8/10,61,2020/8/10,62,接著，在主動RankineI區(qū)內(nèi)，平均主應(yīng)力又是常數(shù)， 所以,2020/8/10,63,或,（10-19a）,2020/8/10,64,由于aa為主應(yīng)力面(光滑基底)所以1就是條基下地基的極限承載力qf。這是Prandtl(1920)采用Kotter方程式求得的無重量土、=0地表上基礎(chǔ)問題的解答對于0，基礎(chǔ)破壞荷載的Prandtl解答是,（10-19b）,但若基土介質(zhì)為0，并且有重量，般難以求得精確解答。,2020/8